2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(天津卷)解析板.pdf
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学文科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分钟.第卷 1 至 2 页,第卷 3 至 5 页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案凃写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第第卷卷注意事项：注意事项：1. 每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.2. 本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.参考公式参考公式:如果事件 A,B 互斥,那么)( )( )(BP AP AP B棱柱的体积公式 V=Sh，其中 S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高.如果事件 A,B 相互独立,那么)( ) ()BP AAPPB球的体积公式34.3VR其中 R 表示球的半径.一选择题一选择题:在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合 A=xR|x|2,B=xR|x1,则AB(A)(,2(B)1,2(C)2,2(D)2,1【答案】D【解析】因为22Axx ,所以21BAxx ，选 D.(2)设变量 x,y 满足约束条件360,20,30,xyyxy则目标函数2zyx的最小值为(A)7(B)4(C)1(D)2【答案】A【解析】由2zyx得2yxz。作出可行域如图，平移直线2yxz，由图象可知当直线2yxz经过点 D 时，直线2yxz的截距最小，此时z最小，由2030 xyy，得53xy，即(5,3)D代入2zyx得32 57z ，选 A.(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 n的值为(A)7(B)6(C)5(D)4【答案】D【解析】第一次循环，1,2Sn ；第二次循环，21 ( 1)21,3Sn ；第三次循环，31 ( 1)32,4Sn ；第四次循环，42( 1)42S ，满足条件输出4n ，选 D.(4)设, a bR,则“2()0ab a”是“ab”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若2()0ab a，则0ab，即ab。若0ab时2()0ab a，所以2()0ab a是ab的充分而不必要条件，选 A.(5)已知过点 P(2,2)的直线与圆225(1)xy相切,且与直线10axy 垂直,则a (A)12(B)1(C)2(D)12【答案】C【解析】设直线斜率为k，则直线方程为2(2)yk x，即220kxyk，圆心(1,0)到直线的距离22251kkk，即2251kk，解得12k 。因为直线与直线10axy 垂直，所以112ka ，即2a ,选 C.(6)函数( )sin 24f xx在区间0,2上的最小值是(A)1(B)22(C)22(D)0【答案】B【解析】当0,2x时，02x，32444x，所以当244x 时，函数( )sin 24f xx的最小值为2sin()42y ，选 B.(7)已知函数( )f x是定义在 R 上的偶函数,且在区间0,)单调递增.若实数 a 满足212(log)(log)2 (1)faffa ,则 a 的取值范围是(A)1,2(B)10,2(C)1,22(D)(0,2【答案】C【解析】因为函数( )f x是定义在 R 上的偶函数，且122loglogaa ，所以222122(log)(log)(log)( log)2 (log)2 (1)fafafafafaf，即2(log)(1)faf，因为函数在区间0,)单调递增，所以2(log)(1)faf，即2log1a ，所以21log1a ，解得122a，即 a 的取值范围是1,22，选 C.(8)设函数22, ( )ln)3(xxg xxxxfe .若实数 a,b 满足( )0, ( )0f ag b,则(A)( )0( )g af b(B)( )0( )f bg a(C)0( )( )g af b(D)( )( )0f bg a【答案】A【解析】由220, ( )ln(30)xxg xxexf x得22,ln3xxxex ，分别令122( ),( )xf xefxx ，221( )ln ,( )3g xx gxx 。在坐标系中分别作出函数122( ),( )xf xefxx ，221( )ln ,( )3g xx gxx 的图象，由图象知01,12ab。此时21( )( )g aga，所以( )0g a 又。12( )( )f bf b，所以( )0f b ，即( )0( )g af b，选A.2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学文科数学第第卷卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共 12 小题,共 110 分.二填空题二填空题:本大题共本大题共 6 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 30 分分.(9)i 是虚数单位.复数(3+i)(12i)= .【答案】55i【解析】(3+i)(12i)232655iiii 。(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为92,则正方体的棱长为 .【答案】3【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为直径，即32ar，即球半径32ra。若球的体积为92，即3439()322a，解得3a 。(11)已知抛物线28yx的准线过双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为 .【答案】2213yx 【解析】抛物线的准线方程为2x ，因为双曲线的一个焦点在准线2x 上，所以2c ，即2c ，且双曲线的焦点在x轴上。又双曲线的离心率为 2，即22ceaa，解得1a ，所以2224 13bca ，所以双曲线的方程为2213yx 。(12)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,60BAD,E 为 CD 的中点.若1AC BE ,则 AB 的长为 .【答案】12【解析】因为 E 为 CD 的中点，所以1122BEBCCEADDCADAB .ADACAB 因为1AC BE ，所以22111() ()1222AC BEADABADABADABAB AD ，即2111cos60122ABAB ，所以211024ABAB ，解得12AB 。(13)如图,在圆内接梯形 ABCD 中,AB/DC,过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E.若AB=AD=5,BE=4,则弦 BD 的长为 .【答案】152【解析】连结 AC,则EABACBADBABDDCA ，所以梯形 ABCD为等腰梯形，所以5BCAD，所以24 936AEBE CE，所以6AE ,所以2222226543cos22 6 54AEAB BEEABAE AB .又2222cosABADBDAD BDADB,即2223552 54BDBD ，整理得21502BDBD，解得152BD 。(14)设 a+b=2,b0,则1|2|aab的最小值为 .【答案】34【解析】因为2ab，所以1|2|aab|14|4|4|4|abaabaaabaaba 。显然当0a 时，且2ba时，上式取等号，此时2ba ，联立2ab，解得2a ，此时23114|424aa 。所以当2a 时，1|2|aab的最小值为34。三解答题三解答题:本大题共本大题共 6 小题小题,共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分 13 分)某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级.若 S4,则该产品为一等品.先从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)1,1,2)2,1,1)2,2,2)1,1,1)1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)()利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;()在该样品的一等品中,随机抽取两件产品,()用产品编号列出所有可能的结果;()设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”,求事件 B发生的概率.(16)(本小题满分 13 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知sin3 sinbAcB,a=3,2cos3B .()求 b 的值;()求sin 23B的值.(17)(本小题满分 13 分)如图,三棱柱 ABCA1B1C1中,侧棱 A1A底面 ABC,且各棱长均相等.D,E,F 分别为棱AB,BC,A1C1的中点.()证明 EF/平面 A1CD;()证明平面 A1CD平面 A1ABB1;()求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.(18)(本小题满分 13 分)设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为 F,离心率为33,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.()求椭圆的方程;()设 A,B 分别为椭圆的左右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两点.若8AC DBADCB ,求 k 的值.(19)(本小题满分 14 分)已知首项为32的等比数列na的前 n 项和为(*)nSnN,且234,2,4SSS成等差数列.()求数列na的通项公式;()证明13*)61(nnSnSN.(20)(本小题满分 14 分)设 2,0a ,已知函数332(5) ,03,0(,).2xfaxxaxxxxxa()证明( )f x在区间(1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;()设曲线( )yf x在点( ,( )(1,2,3)iiixf xiP处的切线相互平行,且1230,x xx证明12313xxx.
