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第3章计算方法1第1页，本讲稿共72页1.1数值求积的必要性数值求积的必要性在高等数学中，曾用牛顿莱布尼兹（NewtonLeibniz）公式1引引言言（其中F(x)是f(x)的一个原函数）来计算定积分。但是，在工程技术和科学研究中，常常遇到如下情况：2第2页，本讲稿共72页(1)f(x)的结构复杂，求原函数困难；(2)f(x)的原函数不能用初等函数表示；(3)f(x)的精确表达式不知道，只给出了一张由实验提供的函数表。对于这些情况，要计算积分的精确值都是十分困难的，这就要求建立积分的近似计算方法。此外，积分的近似计算又为其它一些数值计算，例如微分方程数值解、积分方程数值解等提供了必须的基础。3第3页，本讲稿共72页1.2构造数值求积公式的基本方法构造数值求积公式的基本方法可以从不同的角度出发通过各种途径来构数值求积公式。但常用的一个方法是，利用插值多项式来构造数值求积公式。具体做法如下：在积分区间a，b上取一组点作f(x)的n 次插值多项式：4第4页，本讲稿共72页(1.1)为n 次插值基函数。用Ln(x)近似代替被积函数f(x)，则得其中(1.1)5第5页，本讲稿共72页若记得数值求积公式(1.2)(1.3)形如（1.3）的求积公式称为机械求积公式。机械求积公式。6第6页，本讲稿共72页其中xk称为求积节点求积节点，Ak称为求积系数求积系数。若求积公式（1.3）中的求积系数Ak是由（1.2）确定的，则称该求积公式为插值型求插值型求积公式积公式。本章主要讨论插值型求积公式。7第7页，本讲稿共72页1.3求积公式的余项求积公式的余项积分的真值与由某求积公式给出的近似之差，称为该求积公式的余项余项，记作Rf。例如，求积公式（1.3）的余项为8第8页，本讲稿共72页（1.4）如果求积公式（1.3）是插值型的，则由上知于是，由插值余项公式得9第9页，本讲稿共72页其中1.4求积公式的代数精度求积公式的代数精度为了使一个求积公式能对更多的积分具有良好的实际计算意义，就应该要求它对尽可能多的被积函数f(x)都准确地成立。在计算方法中，常用代数精度这个概念来描述。10第10页，本讲稿共72页对任意不高于m 次的代数多项式都准确成立，而对于xm+1却不能准确成立，则称该公式的代数精度为代数精度为m。例如例如，梯形公式（在几何上就是用梯形面积近似代替曲边梯形面积见图图4-1）定义定义1若求积公式11第11页，本讲稿共72页（1.5）的代数精度m=1。事实上，当f(x)=1时，在（1.5）中左端=右端=左端=右端12第12页，本讲稿共72页这表明求积公式（1.5）对f(x)=1是准确成立的；当f(x)=x时，在（1.5）中左端=右端=左端=右端这表明求积公式（1.5）对f(x)=x也是准确成立的；13第13页，本讲稿共72页0图图4-114第14页，本讲稿共72页综上所述，容易看出求积公式（1.5）对函数f(x)=1和f(x)=x的任一线性组合（不高于一次的代数多项式）都准确成立，故公式（1.5）的代数精度m至少等于1。但是，当f(x)=x2时，其左端=右端=左端右端（设a b）15第15页，本讲稿共72页故由定义知，梯形公式（1.5）的代数精度m=1。显然，一个求积公式的代数精度越高，它就越能对更多的被积函数f(x)准确（或较准确）地成立，从而具有更好的实际计算意义。由插值型求积公式的余项（1.4）易得定理定理1含有n+1个节点xk(k=0,1,n)的插值型求积公式（1.3）的代数精度至少为n.16第16页，本讲稿共72页2牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式在1中，介绍了插值型求积公式及其构造方法。在实际应用时，考虑到计算的方便，常将积分区间等分之，并取分点为求积分节点。这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿牛顿柯特斯（柯特斯（Newton-Cotes）公式。）公式。本节在介绍一般牛顿-柯特斯公式的基础上，介绍几个常用的牛顿-柯特17第17页，本讲稿共72页斯公式以及这些公式在实际计算时的用法。2.1牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式若将积分区间 a，bn等分，取分点作为求积节点，并作变量替换x=a+th，那么插值型求积公式(1.3)的系数由（1.2）可得：18第18页，本讲稿共72页记(2.1)19第19页，本讲稿共72页则于是，由（1.3）就可写出相应的插值型求积公式(2.2)20第20页，本讲稿共72页这就是一般的牛顿柯特斯公式，其中Ck(n）称为柯特斯系数柯特斯系数。从柯特斯系数的算式（2.1）可以看出，其值与积分区间 a，b及被积函数f(x)都无关，只要给出了积分区间的等分数n，就能毫无困难地算出C0(n）、C1(n）、Cn(n）。例如，当n=1时有21第21页，本讲稿共72页当n=2时，有22第22页，本讲稿共72页n123456表表4-1为了便于应用，部分柯特斯系数列见表表4-1。23第23页，本讲稿共72页利用这张柯特斯系数表（表表4-1），由（2.2）可以直接写出当n=1,2,6 时的牛顿-柯特斯公式。例如，当n=1时有两点两点公式公式(2.3)当n=2时有三点公式三点公式(2.4)24第24页，本讲稿共72页当n=4时有五点公式(2.5)其中求积公式（2.3）就是梯形公式梯形公式。25第25页，本讲稿共72页求积公式（2.4）称为辛普生（辛普生（Simpson）公）公式式。其几何意义就是通过A,B,C 三点的抛物线y=L2(x)围成的曲边梯形面积近似地代替原曲边梯形面积（见图图4-2）。因此，求积公式（2.4）又名抛物线公式。抛物线公式。求积公式（2.5）称为柯特斯公式柯特斯公式。梯形公式、辛普生公式和柯特斯公式，是三个最基本、最常用的等距节点下的求积公式。下述定理给出了这些求积公式的余项为：26第26页，本讲稿共72页图图4-227第27页，本讲稿共72页定理定理2若f(x)在 a，b上连续，则梯形公式（2.3）的余项为：(2.6)若f（4）(x)在 a，b上连续，则辛普生公式（2.4）的余项为：(2.7)28第28页，本讲稿共72页若f（6）(x)在 a，b上连续，则柯特斯公式(2.5)的余项为：(2.8)其中 a，b。29第29页，本讲稿共72页由定理定理2知，当积分区间 a，b较大时，直接使用牛顿柯特斯公式所得积分近似值的精度是很难得到保证的。因此在实际应用中，为了既能提高结果的精度，又使算法简便且易在电子计算机上实现，往往采用复合求积的方法。所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上用低阶牛顿柯特斯公式计2.2复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式30第30页，本讲稿共72页算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值。由此得到的一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求复合求积公式。积公式。例如例如，先将区间 a，bn 等分，记分点为其中31第31页，本讲稿共72页称为步长步长，然后在每个小区间 xi-1，xi上应用梯形公式（2.3），即就可导出复合梯形公式复合梯形公式32第32页，本讲稿共72页若将所得积分近似值记成Tn，并注意到x0=a，xn=b，则上式即为(2.9)仿上，可得复合辛普生公式复合辛普生公式(2.10)33第33页，本讲稿共72页(2.11)和复合柯特斯公式复合柯特斯公式其中34第34页，本讲稿共72页定理定理3若f(x)在积分区间 a，b上分别具有二阶、四阶和六阶连续导数,则符合求积公式(2.9)、(2.10)和(2.11)的余项分别为35第35页，本讲稿共72页其中，且当充分小时，又有(2.12)(2.13)(2.14)(2.15)36第36页，本讲稿共72页证明证明只对复合梯形公式（2.9）证明余项公式（2.12）和(2.15）.先证（2.12）。由于在上连续，故由定理定理2知，对每个小区间上积分使用梯形公式时，所得近似值的误差为，故即(2.16）(2.17）(2.18)37第37页，本讲稿共72页因为由介值定理知，在中必有点，使故余项公式（2.12）成立。再证（2.15）。由（2.18）和定积分的定义，有(2.19)38第38页，本讲稿共72页故当充分小时，（2.15）成立。由余项公式（2.12）（2.17）可以看出，只要所涉及的各阶导数在积分区间上连续，则当（即）时，、和都收敛于积分真值，而且收敛速度一个比一个快。定义定义2对于复合求积公式，若当时有则称是p阶收敛的阶收敛的。定理定理4复合求积公式（2.9）、（）、（2.10）和（2.11）分别具有二阶、四阶和六阶收敛性。证明证明由收敛性的定义，从（2.19）可以看出，复合梯形公式（2.9）具有二阶收敛性。同样，可证明复合辛普生公式（2.10）和复合柯斯特公式（2.11）分别具有四阶和六阶收敛性。对于一个数值求积公式来说，收敛阶越高，近似值收敛到真值的速度就越快，在相近的计算工作量下，有可能获得较精确的近似值。39第39页，本讲稿共72页例例1利用复合牛顿柯特公式，计算的近似值。解解这里用两种方法进行计算。先将积分区间八等分（分点及分点处的函数值见表表4-2），用复合梯形公式得再将积分区间四等分，用复合辛普生公式得40第40页，本讲稿共72页表表4-23.200000001/22.0000000013.506849323/82.265487637/83.764705881/42.560000005/83.938461541/82.876404493/84.00000000041第41页，本讲稿共72页两种方法都用到表表4-2中九个点以上的函数值，它们的计算工作量基本上相同，但所得结果与积分真值=3.14159265相比较，复合辛普生公式所得近似值远比复合梯形公式所得近似值要精确。因此，在实际计算时，较多地应用复合辛普生公式。为了便于上机计算，常将复合辛普生公式（211）改写成相应的程序框图见图图4-3。42第42页，本讲稿共72页输入a,b,nk=1,2,n输出积分近似值图图4-311243第43页，本讲稿共72页2.3 2.3 误差的事后估计与步长的自动选择误差的事后估计与步长的自动选择虽然可用余项公式（2.12）（2.17）来估计近似值的误差，也可以根据精度要求用这些公式来确定积分区间的等分数，即确定步长h。但由于余项公式中包含被积函数的高阶导数，在具体计算时往往会遇到困难。因此，在实际应用时，常常利用误差的事后估计法误差的事后估计法来估计近似值的误差或步长h。该方法的大致做法是：将积分区间逐次分半，每分一次就用同一复合求积公式算出相应的积将积分区间逐次分半，每分一次就用同一复合求积公式算出相应的积分近似值，并用前后两次计算结果来判断误差的大小。分近似值，并用前后两次计算结果来判断误差的大小。其原理和具体做法是：对于复合梯形公式（2.9），由余项公式（2.12）或（2.15）可以看出，当在积分区间上变化不大或积分区间的等分数n较大（即步长h较小）时，若将的等分数改为2n（即将步长缩小到原步长h的一半），则新近似值的余项约为原近似值余项的，即其中表示积分的真值。对求解得(2.20)44第44页，本讲稿共72页此式表明，若用作为积分真值的近似值，则其误差约为。故在将区间逐次分半进行计算的过程中，可以用前后计算结果和来估计误差与确定步长。具体做法是：先算出先算出和和，若，若（为计算结果的允许误差），为计算结果的允许误差），则停止计算，并取则停止计算，并取作为积分的近似值；否则，将区间再次分半后算出作为积分的近似值；否则，将区间再次分半后算出新近似值新近似值，并检查不等式，并检查不等式是否成立，是否成立，直到直到得到满足精度要求的结果为止。得到满足精度要求的结果为止。对于复合辛普生公式（2.10）和复合柯特斯公式（2.11），当所涉及的高阶导数在积分区间上变化不大或积分区间的等分数n较大时，由相应的余项公式可以看出分别对求解得和（2.21）（2.22）45第45页，本讲稿共72页因此，也可以象使用复合梯形法求积分近似值那样，在将积分区间逐次分半进行计算的过程中，估计新近似值和的误差，并判断计算过程是否需要继续进行下去。2.4 2.4 复合梯形法的递推算式复合梯形法的递推算式上段介绍的变步长的计算方案，虽然提供了估计误差与选取步长的简便方法，但还没有考虑到避免在同一节点上重复计算函数值的问题，故有进一步改进的余地。先看复合梯形公式。在利用（2.9）计算时，需要计算n+1个点（它们是积分区间n等分点的分点，不妨简称为“n分点分点”）上的函数值。当不满足精度要求时，根据上面提供的计算方案，就应将各个小区间分半，计算出新近似值。若利用（2.9）进行计算，就需要求出2n+1个点（它们是“2n分点分点”）上的函数值。而实际上，在这2n+1个2n分点中，包含有n+1个n分点，对应的函数值在计算时早已算出。为了避免这种重复计算，下面分析近似值与原有近似值之间的联系。46第46页，本讲稿共72页由复合梯形公式（2.9）知若注意到在2n分点中，当取偶数时是n分点，当取奇数时才是新增加的分点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有即（2.23）47第47页，本讲稿共72页由递推公式（2.23）可以看出，在已经算出的基础上再计算时，只要计算n个新分点上的函数值就行了。与直接利用复合梯形公式（2.9）求相比较，计算工作量几乎节省了一半。例例2利用递推公式（2.23）重新计算 的近似值，使误差不超 过 .解解 在积分区间逐次分半的过程中顺次计算积分近似值 并用是否满足不等式 (为计算结果的允许误差，根 据题意为 )来判断计算过程是否需要继续下去。先对整个区间使用梯形公式（2.3），得 然后将区间二等分，出现的新分点是 ,由递推公式（2.23）得 再将小区间二等分，出现了两个新分点 与 ，由（2.23）得48第48页，本讲稿共72页 这样，不断将各个小区间二分下去，可利用递推公式（2.232.23）依次算出 。计算结果见表4-3。因为 故 为满足精度要求的近似值。表表4-34-33.14159202 5123.14094161 163.14159011 2563.13898849 83.14158248 1283.13117647 43.14155196 64 3.1 23.14142989 32 3 1为了便于上机计算，我们将积分区间 的等分数依次取成 、（如表表4-34-3），并将递推公式（2.232.23）改写成49第49页，本讲稿共72页(k=1,2,3,)相应的程序框图框图4-4。其中为精度控制量,为最大二分次数（用来控制计算工作量）。对于复合辛普生公式与复合柯特斯公式，也可以根据上述原理构造相应的递推公式。但是,下节提供的算法给出了在积分区间逐次分半过程中，近似值或更为简便的算法。(2.24)50第50页，本讲稿共72页输入a,b,及按公式（2.24）计算k=1,2,按公式（2.24）计算输出近似值输出失败信息是否图图4-451第51页，本讲稿共72页3龙贝格算法龙贝格算法龙贝格（Romberg)算法是在积分区间逐次分半的过程中，对用复合梯形产生的近似值进行加权平均，一获得准确程度较高的一种方法，具有公式简练使用方便结果较可靠等优点优点。本节介绍它的基本原理和应用方法。3.1龙贝格算法的基本原理龙贝格算法的基本原理 上节中介绍的递推公式（2.23）或（2.24），虽然具有结构简单，易在电子计算机上实现等优点，但是由它产生的梯形序列 ，其收敛速度却是非常缓慢的。例如用此法计算 的近似值时，要一直算到才获得误差不超过的近似值（见例2）。因此，用这种方法计算更复杂的高精度要求的积分近似值显然是费时、费力甚至是不可能的。如何提高收敛速度，以节约计算工作量，自然是人们极为关心的课题。由近似等式（2.20），用 作为积分真值I的近似值，其误差约为 。因此，如果用作为的一种补偿，可以期望所得 52第52页，本讲稿共72页到的新近似值即有可能比更好地接近于积分的真值I。如在例2中，和是两个精度很差的近似值，但如果将它们按（3.1）作线性组合，所得到的近似值却具有七位有效数字，其准确程度比还要高，而计算只涉及求九个点上的函数值，其计算工作量仅为计算的。那么，按（3.13.1）式作线性组合得到的新近似值 ，其其实实质质又又是是什什么么呢呢？通过直接验证，易知 ，,亦即(3.1)（3.2）53第53页，本讲稿共72页 这表明在收敛速度缓慢的梯形序列 的基础上，若将 与 按（3.23.2）作线性组合，就可产生收敛速度较快的辛普生序列 ：同理，从近似等式（2.212.21）出发，通过类似的分析，可以得到故在辛普生序列 的基础上，将 与 按（3.33.3）作线性组合，就可产生收敛速度更快的柯特斯序列 ：这种加速过程还可以继续下去。例如，通过 与 的线性组合，可以在柯特斯序列 的基础上，产生一个称为龙龙贝贝格格序序列列的新序列 ，即（3.33.3）（3.43.4）54第54页，本讲稿共72页经过进一步的分析，可以证明，当f(x)满足一定条件时，龙贝格序列比柯特斯序列 更快地收敛到积分 的真值I。综上可知，可以在积分区间逐次分半的过程中利用公式（3.2）、（3.3）、和（3.4），将粗糙的近似值逐步“加工”成越来越精确的近似值。也就是说，将收敛速度缓慢的梯形序列逐步地“加工”成收敛速度越来越快的新序列。这种加速的方法就称为龙贝格算法龙贝格算法。其加工过程如图图4-5，其中圆圈中的号码表示计算顺序。图图4-5172411358121061391455第55页，本讲稿共72页例例3利用公式（3.2）、（3.3）和（）和（3.4）“加工”例2中得到的的近似值和，计算结果见表表4-4，其中k代表二分次数。由表表4-4可以看出，“加工”的效果非常显著，而“加工”的计算量，因只需做少量的四则运算，没有涉及到求函数值，故可以忽略不计。3.2龙贝格算法计算公式的简化龙贝格算法计算公式的简化为了便于上机计算，引用记号来表示各近似值，其中k仍代表积分区间的二分次数，而下标m则指出了近似值所在序列的性质：表表4-4k012333.13.1311763.1389883.1333333.1415693.1415933.1421183.1415943.14158856第56页，本讲稿共72页当m=0时在梯形序列中，当m=1时，在辛普生序列中，当m=2时在柯特斯序列中.。例如，表表4-4中的各近似值，若用记号表示则如表表4-5所示。表表4-5引入上面的记号后，龙贝格算法所用到的各个计算公式可以统一为:3210k57第57页，本讲稿共72页（3.5）相应的程序框图见图图4-6。其中为最大二分次数。最后指出下列几点：（1）当m较大时，由（3.5）第三式知。因此，在实际计算中，常规定m3，即在计算到出现龙贝格序列为止。在这种情况下，程序框图框图4-6应做相应的修改，需将“按式（3.5）计算改为“按式（3.5）计算，并将精度控法改为（2）为防止假收敛，可设置最小二分次数。当K时，跳过精度判别而继续运算；（3）可以用二维数组来存放与参加运算，也可用一维数组。58第58页，本讲稿共72页是输入a,b,及按公式（3.5）计算k=1,2,按公式（3.5）计算输出近似值输出失败信息否图图4-659第59页，本讲稿共72页4高斯型求积公式高斯型求积公式下面介绍一种高精度的求积公式高斯（Gauss）型求积公式。4.1高斯型求积公式的定义高斯型求积公式的定义在2中，限定把积分区间的等分点作为求积节点，从而构造出一类特殊的插值型求积公式，即牛顿柯特斯公式。这种做法虽然简化了计算，但却降低了所得公式的代数精度。例如，在构造形如(4.1)的两点公式时，如果限定求积节点、那么所得插值型求值公式的代数精度仅为1。但是，如果我们对（4.1）中的系数，和节点都不加限制，那么就可以适当选取和、，使所得公式的代数精度。事实上，若只要求求积公式（4.1）对函数都准确成立，只要和满足方程组:.(4.2)60第60页，本讲稿共72页解之得代入（4.1）即得容易验证，所得公式（4.4）是代数精度m=3的插值型求积公式。同理，对于一般求积公式只要适当选择个待定参数和（k=0,1,n）,使它的代数精度达到也是完全可能的。(4.3)(4.4)(4.5)61第61页，本讲稿共72页定义定义3若形如（4.5）的求积公式代数精度达到了，则称它为高斯高斯型求积公式型求积公式，并称相应的求积节点为高斯点高斯点。42高斯型求积公式的构造与应用高斯型求积公式的构造与应用可以象构造两点高斯型求积公式（4.4）那样，通过解形如（4.3）的方程组来确定高斯点和求积系数，从而构造点高斯型求积公式。但是，这种做法要解一个包含有个未知数的非线性方程组，其计算工量是想当大的。一个比较简单的方法是：（1）先用区间a,b上的次正交多项式确定高斯点（2）然后利用高斯点确定求积系数当积分区间是-1，1时，两点至五点高斯型求积公式的节点、系数T和余项见表表4-6，其中。利用表表4-6，可以方便地写出相应的高斯型积公式。例如，当N=2时，由表表4-6知62第62页，本讲稿共72页表表4-61 余项 系数 Gauss点数节点234563第63页，本讲稿共72页故得两点高斯型求积公式又如，当时，由表表4-6可以查出三个求积节点和对应的三个系数（注意，系数0.55555556应连用两次），从而得到三点高斯型求积公式对于一般区间a,b上的积分，也可以利用表表4-6写出高斯型求积公式。其原理与方法是：先作变量替换，令将区间a,b上的积分转化为区间-1，1上的积分记，则等式（4.6）右端的积分为。（4.6）64第64页，本讲稿共72页利用表表4-6，对于给定的，可以写出高斯型求积公式即代入（4.6）式得其中系数与节点可在表表4-6中查得。由变量替换式容易看出，由于求积公式（4.7）对变量不高于次的多项式准确成立，从而求积公式（4.8）对变量不高于次的多项式也准确成立，即(4.8)是高斯型求积公式。例例4利用四点高斯型求积公式计算的近似值。(4.7)(4.8)65第65页，本讲稿共72页解解由表4-6和高斯性求积公式（4.8）得其中将各数及已知函数代入（4.9）进行计算，即得在例4整个计算过程中，只涉及到求四个点上的函数值。可见高斯型求积公式具有计算工作量小，所得近似值精确程度高的优点，是一种高精度的求积公式。(4.9)66第66页，本讲稿共72页高高斯斯型型求求积积公公式式的的明明显显缺缺点点是是:当n改变大小时，系数和节点几乎都在改变。同时，由表表4-6给出的余项，其表达式都涉及被积函数的高阶导数，要利用它们来控制精度也是十分困难的。为了克服这些缺点，在实际计算中较多采用复合求积的方法。例如，先把积分区间a,b分成m个等长的小区间,然后在每个小区间上使用同一低阶（例如两点的、三点的）高斯型求积公式算出积分的近似值，将它们相加即得整个区间上积分的近似值其中，与由表表4-6查得。同时，在实际计算时，还常用相邻两次计算结果与的关系式来控制运算（当时相当于绝对误差，当时相当于相对误差），即在算出后，观察不等式（4.10）(4.11）67第67页，本讲稿共72页(为指定的精确度)是否满足。若满足此不等式，则停止计算，并把取作待求的积分近似值。否则计算，并观察不等式是否满足，直到得到满足精度要求的近似值为止。68第68页，本讲稿共72页本章用插值多项式P(x)近似代替被积函数f(x)，从而导出了计算定积分近似值的一些基本公式，从求积节点的分布情况看，这些公式可分为两类：（1）等距节点下的求积公式：牛顿-柯特斯公式（包括复合求积公式），龙贝格公式；（2）非等距节点下的求积公式：高斯型求积公式 （3）龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对用梯形法所获得的近似值进行多级“加工”，以获得准确程度较高的积分近似值的方法 （4）复合梯形公式和复合辛普生公式，与高斯型公式、龙贝格算法相比较，虽然其精度通常较差且计算工作量较大，但使用方便。小小结结69第69页，本讲稿共72页习习题题四四1.对于积分，以为节点，构造形如的插值型求积公式。并讨论所的求积公式的截断误差和代数精度。2.分别讨论在n=1,2,3,4下得牛顿-科特斯公式的代数精度。想一想，从中可得到什么启发?3.确定下列求积公式的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出所得公式的代数精度。（1）（2）4.用辛普生公式计算积分，并估计截断误差。70第70页，本讲稿共72页5.利用在五个点上的函数值：用多种方法计算积分的近似值。6.用复合梯形公式和复合辛普生公式计算下列积分：（1）（用九个点上函数值计算）；（2）（用七个点上函数值计算）。7.用复合梯形公式和符合辛普生公式计算积分的近似值，使截断误差不超过，需将区间0，1分成多少等分？8.用逐次分半梯形递推公式计算，使截断误差不超过。10.466758.030146.042414.425693.120142.62.42.22.01.871第71页，本讲稿共72页9.用龙贝格方法计算，使截断误差不超过。10.用下列方法计算：(1)龙贝格算法；(2)三点及五点高斯求积公式；(3)复合高斯求积法（区间等分数，m=4，所用高斯型求积公式使用的节点数点数N=2）。11.编出用复合高斯型求积公式（4.9）计算积分近似值的程序框图72第72页，本讲稿共72页