第3章恒定电流的电场和磁场精选PPT.ppt
第3章恒定电流的电场和磁场第1页，本讲稿共119页 电流及电流强度电流及电流强度 分类：传导电流分类：传导电流与与运流电流运流电流。传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流电流。运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场在空间中分布不随时间变化的电流称为恒定电流，与恒定在空间中分布不随时间变化的电流称为恒定电流，与恒定电流对应的电场称为恒定电场。电流对应的电场称为恒定电场。第2页，本讲稿共119页 电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，以电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，以 I 表示。电流的单位为表示。电流的单位为A（安培安培）。因此，电流因此，电流 I 与电荷与电荷 q 的关系为的关系为 电流密度：是一个矢量，以电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为正电荷的运动方表示。电流密度的方向为正电荷的运动方向，向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。因此，穿过任一有向面元因此，穿过任一有向面元 dS 的电流的电流 dI 与电流密度与电流密度 J 的关系为的关系为 第3页，本讲稿共119页第第25.26学时学时5.1 恒定电流的电场恒定电流的电场 体电流密度第4页，本讲稿共119页设通过S的电流为I，则该点处的电流密度电流密度 J为电流密度的单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场矢量场。称这一矢量场为电流场电流场。电流场的矢量线叫做电流线电流线。可以从电流密度J求出流过任意面积S的电电流流强强度度。一般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通量通量，即第5页，本讲稿共119页面电流密度第6页，本讲稿共119页 运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同与电场强度的方向也可能不同。可以证明。可以证明运流电流的电流密度运流电流的电流密度J 与运动与运动速度速度 v 的关系为的关系为 式中式中 为电荷密度。为电荷密度。与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。上述公式非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。仅适用于各向同性的线性媒质。第7页，本讲稿共119页v1、欧姆定律的微分形式由于电流密度可以视为单位面积的电流密度，电场强度可以视为在电场强度方向单位长度上的电压。因此，对一段长为l，横截面为S的导线，欧姆定律的微分形式可写成：实验表明在导电媒质中，当温度不变时，媒质中某点的电流密度J与该点的电场强度E成正比欧姆定律的微分形式电导率,单位:s/ms值愈大表明导电能力值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形电场作用下，也可形成很强的电流。成很强的电流。第8页，本讲稿共119页材 料 电导率/(S/m)铁(99.98%)107 黄铜 1.56107 铝 3.55107 金 3.10107 铅 5.55107 铜 5.80107 银 6.2010 硅 1.5610-3 表表 5-1 常用材料的电导率常用材料的电导率 第9页，本讲稿共119页2、焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式 当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功，即功率功率是在导体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元，该体积元内消耗的功率功率为第10页，本讲稿共119页当V0，取P/V的极限，就得出导体内任一点的热热功功率率密密度度，表示为或此式就是焦耳定律焦耳定律的微分形式。应该指出，焦耳定律不不适应于运运流流电电流流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷电荷与晶格碰撞晶格碰撞的热能。第11页，本讲稿共119页电荷守恒定律电荷守恒定律 要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即3.1.2 恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程 第12页，本讲稿共119页电源外部导体中恒定电场的基本方程基本方程归纳如下：与其相应的积分形式积分形式为第13页，本讲稿共119页电流密度电流密度J与电场强度电场强度E之间满足欧姆定律欧姆定律J=E。以上的电场是指库库仑仑场场，因为在电源外的导体中，非库仑场为零。因恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位,E=-。在均匀导体内部(电导率为常数)，有第14页，本讲稿共119页3.1.3 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件 1、两种导电媒质的边界、两种导电媒质的边界边界条件 第15页，本讲稿共119页或 恒定电流场的边界条件为在恒定电场中，用电位电位表示的边界条件边界条件为第16页，本讲稿共119页式中，Jn=J1n=J2n,当时，分界面上面电荷密度面电荷密度为零。应用边界条件边界条件，可得第17页，本讲稿共119页可以看出，当12，即第第一一种种媒质为良导体时，第第二二种种媒质为不良导体时，只要1/2,20，即在不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可以将良导体的表面看作等位面等位面。2、两种导电媒质的电导率边界、两种导电媒质的电导率边界第18页，本讲稿共119页v在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表面有恒定电荷，E2n0，E1tE2t，介质中紧挨导体表面处的电场强度与导体表面不垂直。v另外恒定电流场中，仍成立。3、导体与理想介质的分界面第19页，本讲稿共119页例例 一个同心电容器的内、外半径为a、b，其间填充电导率为的导电媒质，如图所示，求该电容器的漏电电导。同心电容器第20页，本讲稿共119页解：解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为内、外导体间的电压为第21页，本讲稿共119页漏电电导为也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏电电阻R：第22页，本讲稿共119页 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 恒定电场与静电场的比较 第23页，本讲稿共119页静电场（0处）导电媒质内的恒定电场（电源外）Iv如果J和D分别在导电媒质和介质中处于相同的边界条件，则均匀导电媒质内的恒定电场与均匀介质内的静电场有相同的场图。即J和D的分布一致。v如果两种场中媒质分布均匀，其介电常数和电导率分别是1，2，1，2，当两者边界情况相似且满足1/2=1/2，两种场的相似关系也成立。第24页，本讲稿共119页例例 计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻。设土壤的电导率为0。3.1.4 接地电阻接地电阻 第25页，本讲稿共119页解解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径为a的导体球的电容为所以导体球的接地电导为接地电阻为第26页，本讲稿共119页v在运动电荷的周围，除了电场，还存在一种称为磁场的物质。v描述磁场特性的基本物理量：磁感应强度v磁场的表现：对于引入场中的运动电荷有力的作用。如电荷q以速度运动，磁场对其对作用力为v磁场对运动电荷的作用力又称洛仑兹力。洛仑兹力不能做功。通有电流I的导线元在磁场中，此时这个电流元（I）所受到的力3.2 3.2 磁磁 感感 应应 强强 度度 第27页，本讲稿共119页安安培培定定律律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元dl1对另一载有电流I2的回路C2上任一线元dl2的作用力表示为安培定律第28页，本讲稿共119页令 若电流不是线电流，而是具有体分布体分布的电流J，则有第29页，本讲稿共119页可以用上式计算各种形状的载流回路载流回路在外磁场中受到的力力和力矩矩。如果空间还存在外外电电场场E，电荷q受到的力还要加上电电场场力力。这样，就得到带电q以速度v运动的点电荷在外电磁场(E，B)中受到的电磁力电磁力为上式称为洛仑兹力公式洛仑兹力公式。对以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力是第30页，本讲稿共119页例例 求载流I的有限长直导线外任一点的磁场。第31页，本讲稿共119页解：解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中计算。从对称关系能够看出磁场与坐标无关。不失一般性，将场点取在=0，即场点坐标为(r,0,z)，源点坐标为(0，0，z)。第32页，本讲稿共119页所以对于无限长直导线(l)，1=/2,2=-/2，其产生的磁场为第33页，本讲稿共119页例例真空中有一载电流I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的磁感应强度。解：圆形回路的元电流在p点引起的元磁感应强度v由于圆形回路的对称性，整个回路引起的磁感应强度只有x方向。第34页，本讲稿共119页第35页，本讲稿共119页v两平行放置无限长直导线分别通有电流I1和I2，它们之间距离为d。求两导线单位长度所受的力。vI1处vI2单位长度受力dI1I2第36页，本讲稿共119页练习：计算线电流在真空中P点产生的磁感应强度第37页，本讲稿共119页3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 3.3.1 磁通连续性原理磁通连续性原理 磁磁感感应应强强度度在有向曲面上的通量简称为磁磁通通量量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用表示：如S是一个闭曲面，则第38页，本讲稿共119页上式中，故可将其改写为由矢量恒定式第39页，本讲稿共119页则有而梯度场梯度场是无旋无旋的，所以第40页，本讲稿共119页使用散度定理，得到由于上式中积分区域V是任意的，所以对空间的各点，有上式是磁磁通通连连续续性性原原理理的微分形式，它表明磁感应强度B是一个无源无源(指散度源)场。第41页，本讲稿共119页在真空中，无限长载流直导线产生l5.2.2 安培环路定律安培环路定律 c第42页，本讲稿共119页当穿过积分回路C的电流是几个电流时，可以得到为一般形式：根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律安培回路定律的微分形式微分形式：由于第43页，本讲稿共119页因积分区域S是任意的，因而有上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。可用此式从磁场求电流分布。对于对对称称分分布布的电流，可以用安安培培环环路路定定律律的积分形式，从电流电流求出磁场磁场。第44页，本讲稿共119页v场中取一条半径为r的磁感应线作积分回路，v真空中无限长直导线中通以电流I，由其引起离轴线r远处的磁感应强度第45页，本讲稿共119页v如果取任一包围电流的回路，第46页，本讲稿共119页v真空的磁场中，沿任意回路取的线积分，等于真空的磁导率乘该回路所限定面积上穿过的电流的代数和。v电流方向与积分回路绕行方向成右手螺旋关系时，电流取正号，否则取负号。v在一些对称的情况下，可用上式简便计算。第47页，本讲稿共119页例例半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。解解:在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，r a raIa第48页，本讲稿共119页当ra时，当ra时，写成矢量形式为 r a raa第49页，本讲稿共119页例例一无限长同轴电缆截面如图。芯线通有均匀分布的电流I，外皮通有量值相同，方向相反对电流，试求各部分磁感应强度。第50页，本讲稿共119页解：解：（1）芯线内，rR1，电流密度J=I/R12,作一半径为r的圆作为积分回路，用柱坐标，穿过圆面积的电流I为第51页，本讲稿共119页(2)绝缘层中R1rR2,取一半径为r的圆作积分回路，穿过圆面积的电流为I(3)外导体R2rR3,第53页，本讲稿共119页磁偶极子3.4 介质的磁化3.4.1 磁偶极子第54页，本讲稿共119页式中，m=Ia2，是圆形回路磁矩的模模值值。一个载流回路的磁磁矩矩是一个矢量，其方向与环路的法法线线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为真空中离磁偶极子r远处的磁感应强度应为第55页，本讲稿共119页位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外外磁磁场场的作用力及其力矩。这里仅仅给出作用力作用力及力矩力矩的公式。作用力为力矩为物理意义来源于受力的平衡性 稳定 非稳定第56页，本讲稿共119页v物质磁化的过程B=0B第57页，本讲稿共119页3.4.2 磁化强度磁化强度 式中m是分子磁矩，求和对体积元V内的所有分子进行。磁磁化化强强度度M的单位是A/m(安培/米)。如在磁磁化化介介质质中中的体积元V内，每一个分子磁矩的大小和方向全相同，单位体积内分子数是N，则磁化强度磁化强度为第58页，本讲稿共119页磁化电流示意图3.4.3 磁化电流磁化电流 第59页，本讲稿共119页例例 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。第60页，本讲稿共119页解解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，M=M0ez，磁化电流为在界面z=0上，n=-ez,在界面z=L上，n=ez，在界面r=a上，n=ep,第61页，本讲稿共119页3.5 磁介质的场方程磁介质的场方程 在外磁场的作用下，磁介质内部有磁磁化化电电流流Jm。磁化电流Jm和外加的电流J都产生磁场磁场，这时应将真空中的安培环路定律安培环路定律修正为下面的形式：第62页，本讲稿共119页令 其中H称为磁场强度磁场强度，单位是A/m(安培/米)。于是有与上式相应的微分形式微分形式是第63页，本讲稿共119页M与H间的关系为式中m是一个无量纲常数，称为磁磁化化率率。非线性磁介质的磁磁化化率率与磁磁场场强强度度有关，非均匀介质的磁化率是空间位置的函数，各向异性介质的M和H的方向不在同一方向上。顺磁介质的m为正，抗磁介质的m为负。这两类介质的m约为10-5量级。第64页，本讲稿共119页式中，r=1+m，是介质的相相对对磁磁导导率率，是一个无量纲数；=0r，是介质的磁磁导导率率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。铁磁材料的B和H的关系是非非线线性性的，并且B不是H的单值函数，会出现磁磁滞滞现象，其磁化率m的变化范围很大，可以达到106量级。第65页，本讲稿共119页磁介质中恒定磁场基本方程磁介质中恒定磁场基本方程 第66页，本讲稿共119页例例 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为，求各区域的H、B、M。同轴线示意图第67页，本讲稿共119页解解：以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有分量，且其大小只是r的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定律C Hdl=S JdS，求出各区的磁场强度H，然后由H求出B和M。当ra时，电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得第68页，本讲稿共119页考虑这一区域的磁导率为0，可得(r a)(r a)当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，可得(arb)第69页，本讲稿共119页当bc时，这一区域的B、H、M为零。第70页，本讲稿共119页3.6 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 Bn的边界条件第71页，本讲稿共119页设底面和顶面的面积均等于S。将积分形式的磁通连续性原理(即SBdS=0)应用到此闭合面上，假设圆柱体的高度h趋于零，得写成矢量形式为第72页，本讲稿共119页Ht的边界条件第73页，本讲稿共119页将介质中积分形式的安培环路定律应用在这一回路，得若界面上的电流可以看成面电流面电流，则于是有第74页，本讲稿共119页考虑到l=bn,得使用矢量恒等式第75页，本讲稿共119页如果无面电流(JS=0)，这一边界条件边界条件变成为用下标t表示切向分量切向分量，上式可以写成标量标量形式：假设磁场B2与法向n的夹角为2,B1与n的夹角为1，则可写成第76页，本讲稿共119页上式两式相除，并注意B2=2H2,B1=1H1,得这表明，磁力线在分界面上通常要改变方向。若介质1为铁磁材料，介质2为空气，此时21,因而21，可得B2B1。假如1=10000,2=0，在这种情况下，当1=87时，2=1.09，B2/B1=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁力线几乎与铁磁材料表面垂直。第77页，本讲稿共119页3.7 矢量磁位和标量磁位矢量磁位和标量磁位 可以令称式中的A为矢矢量量磁磁位位(简称磁矢位)，其单位是Tm(特斯拉米)或Wb/m(韦伯/米)。矢矢量量磁磁位位是一个辅助量。仅规定了磁矢位A的旋旋度度，而A的散散度度可以任意假定。因为若B=A，另一矢量A=A+，其中是一个任意标量函数，则由于 ，而库仑规范1 1、矢量磁位、矢量磁位第78页，本讲稿共119页使用矢量恒等式矢量恒等式上式是磁矢位满足的微微分分方方程程，称为磁矢位的泊泊松松方方程程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程，即第79页，本讲稿共119页第80页，本讲稿共119页将其写成矢量形式为若磁场由面电流JS产生，容易写出其磁矢位为同理，线电流产生的磁矢位为磁通的计算也可以通过磁矢位表示：第81页，本讲稿共119页磁偶极子例：求小圆环电流的矢量磁位和磁场第82页，本讲稿共119页第83页，本讲稿共119页如果ra，则从图可见，第84页，本讲稿共119页所以式中，m=Ia2，是圆形回路磁矩的模模值值。一个载流回路的磁磁矩矩是一个矢量，其方向与环路的法法线线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为第85页，本讲稿共119页第86页，本讲稿共119页位于点r的磁矩为m的磁偶极子磁偶极子，在点r处产生的磁矢位磁矢位为位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外外磁磁场场的作用力及其力矩。这里仅仅给出作用力作用力及力矩力矩的公式。作用力为力矩为第87页，本讲稿共119页例例 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。直导线磁矢位第88页，本讲稿共119页解解 :当lz时，有上式中，若再取lr,则有第89页，本讲稿共119页当电流分布在无无限限区区域域时，一般指定一个磁磁矢矢位位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位磁矢位的零点时，可以得出从上式，用圆柱坐标圆柱坐标的旋度公式旋度公式，可求出第90页，本讲稿共119页例例 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。解：解：r a ra从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即设在导线内磁位是A1,导线外磁位是A2，ra时第92页，本讲稿共119页可以求出导线内、外的磁场磁场分别为导体外部的磁感应强度磁感应强度为利用 可求得第93页，本讲稿共119页2 2、标量磁位、标量磁位根据磁介质中恒定磁场的基本方程式可知，在无无自自由由电电流流(J=0)的区域里，磁场强度H是无无旋旋的。此时，磁场强度可以表示为一个标量函数的负梯度负梯度，即称为磁场的标标量量位位函函数数(简称为标量磁位或磁标位)，单位为A(安培)。上式中的负号是为了与静电位对应而人为加入的。在均匀介质中，可得第94页，本讲稿共119页可得磁标位满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程，即所以用微分方程求磁标位时，也同静电位一样，是求拉普拉斯方程的解。磁场的边界条件用磁标位磁标位表示时，为 磁标位在求解永磁体的磁场问题时比较方便(因其内无自由电流)。永磁体的磁导率远大于空气的磁磁导导率率，因而永磁体表面是一个等位(磁标位)面，这时可以用静电比拟法来计算永磁体的磁场磁场。第95页，本讲稿共119页3.8自自 感和互感和互 感感在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成正比，因而穿过任意的固定回路的磁通量也是与电流成正比。如果回路由细导线绕成N匝，则总磁通量是各匝的磁通之和。称总磁通为磁链，用表示。对于密绕线圈，可以近似认为各匝的磁通相等，从而有=N。一个回路的自感定义为回路的磁磁链链和回回路路电电流流之比，用L表示，即1.自感第96页，本讲稿共119页第97页，本讲稿共119页对于内自感的计算，设回路的尺寸比导线截面尺寸大得多且导线横截面为圆形，则导线内部的磁场可近似地认为同无限长直圆柱导体内部的场相同。若导线截面半径为a，磁导率为，如图所示。则导线内的磁场为穿过导线中长为L，宽为dr的截面的磁通为第98页，本讲稿共119页故长度为L的一段圆截面导线的内自感为 d仅与电流的一部分（即半径为的圆截面内的电流）相交链，因而在计算与I相交链的磁链时要乘以一个比值，即它交链的电流占总电流的百分比，即故内磁链为：第99页，本讲稿共119页互感 2.互感第100页，本讲稿共119页互感的单位与自感相同。同样，可以用载流回路C2的磁场在回路C1上产生的磁链磁链21与电流电流I2的比来定义互感互感M21，即互感的大小也取决于回路的尺寸尺寸、形状形状以及介质的磁导率磁导率和回路的匝数匝数。第101页，本讲稿共119页内自感第102页，本讲稿共119页当导线的直径远小于回路的尺寸而且也远小于两个回路之间的最近距离时，两回路都可以用轴线的几何回路代替。设两个回路都只有一匝。当回路C1载有电流I1时，C2上的磁链磁链为式中，A12为电流I1在C2上的磁矢位磁矢位，即第103页，本讲稿共119页同理有：可见：上式为互感的诺伊曼公式诺伊曼公式第104页，本讲稿共119页例例 求无限长平行双导线(如图所示)单位长外自感。平行双导线第105页，本讲稿共119页解解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为所以单位长外自感为第106页，本讲稿共119页v 载流回路系统中有能量储存，这能量是在电流和磁场建立过程中，由外源做功转换而来，其所储的磁能为磁场形成过程中电源所做的功，可以通过电流建立过程中抵抗感应电动势做功来计算。3.9 磁场磁场能量能量 第107页，本讲稿共119页先计算两个分别载流I1和I2的电流回路系统所储存的磁场能量。假定回路的形状、相对位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，两回路的电流分别为i1(t)和i2(t)，最初，i1=0，i2=0，最终，i1=I1,i2=I2。在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量。我们知道，系统的总能量只与系统最终的状态有关，与建立状态的方式无关。为计算这个能量，（a）先假定回路2的电流为零，求出回路1中的电流i1从零增加到I1时，电源作的功W1；第108页，本讲稿共119页当保持回路2的电流i2=0时，回路1中的电流i1在dt时间内有一个增量di1,周围空间的磁场将发生改变，回路1和2的磁通分别有增量d11和d12，相应地在两个回路中要产生感应电势E1=-d11/dt和E2=-d12/dt。感应电势的方向总是阻止电流增加。因而，为使回路1中的电流得到增量di1,必须在回路1中外加电压U1=-E1；为使回路2电流为零，也必须在回路2加上电压U2=-E2。所以在dt时间里，电源作功为第109页，本讲稿共119页在回路的电流从零到I1的过程中，电源作功为(b)计算当回路1的电流I1保持不变时，使回路2的电流从零增到I2，电源作的功W2。若在dt时间内，电流i2有增量di2，这时回路1中感应电势为E1=-d21/dt，回路2中的感应电势为E2=-d22/dt。为克服感应电势，必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压。在dt时间内，电源作功为dW2=M21I1di2+L2i2di2第110页，本讲稿共119页(c)电源对整个电流回路系统所作的总功为第111页，本讲稿共119页推广到N个电流回路系统，其磁能为式中：代入后得：对于分布电流，用Iidli=JdV代入上式，得第112页，本讲稿共119页2、磁通密度、磁通密度上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零(理由同静电场能量里的类似)。于是得到磁场能量密度磁场能量密度为第113页，本讲稿共119页例例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感。解解：设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为单位长度的磁场能量为单位长度的内自感为第114页，本讲稿共119页v 假设n个载流回路中的某一导体在磁场力F的作用下有一广义坐标的位移3、磁磁 场场 力力 所有电源提供的能量 磁场能量的增量磁场力所做的功第115页，本讲稿共119页 1.磁链不变磁链不变当磁链不变时，各个回路中的感感应应电电势势为零，所以电源不作功。磁磁场场力力作的功必来自磁磁场场能能量量的减少。如将回路C1受到的磁场力记为F，它作的功为Fr，所以写成矢量形式，有第116页，本讲稿共119页2.2.电流不变电流不变当各个回路的电流不不变变时，各回路的磁链要发生变变化化，在各回路中会产生感应电势，电源要作功。在回路r产生位移时，电源作功为磁场能量磁场能量的变化为第117页，本讲稿共119页 例例 设两导体平面的长为l，宽为b,间隔为d，上、下面分别有方向相反的面电流JS0(如图所示)。设bd,ld，求上面一片导体板面电流所受的力。平行面电流磁力第118页，本讲稿共119页解解：考虑到间隔远小于其尺寸，故可以看成无限大面电流。由安培回路定律可以求出两导体板之间磁场为B=ex0JS0，导体外磁场为零。当用虚位移法计算上面的导体板受力时，假设两板间隔为一变量z。磁场能为假定上导体板位移时，电流不变，这个力为斥力。第119页，本讲稿共119页
