第3节初等多值函数精选PPT.ppt
第第3节初等多值函数节初等多值函数第1页，本讲稿共55页 因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：w=Argz函数有无穷个不同的值：第2页，本讲稿共55页 其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz)考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，Argz的主值argz 是一个单值连续函数。对一个固定的整数k，也是一个单值连续函数。第3页，本讲稿共55页 因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。沿负实轴的割线：上沿下沿第4页，本讲稿共55页一 单叶区域1.定义2.8注1 单值不一定单叶注2 区域D到区域E的单叶满变换就是D到E的1-1变换.第5页，本讲稿共55页第6页，本讲稿共55页或第7页，本讲稿共55页第8页，本讲稿共55页或第9页，本讲稿共55页第10页，本讲稿共55页二 根式函数1.定义2.8注注第11页，本讲稿共55页结论第12页，本讲稿共55页第13页，本讲稿共55页例1解第14页，本讲稿共55页定义定义注1 多值函数的每一单值分支,在支割线两沿取不同值,且在支割线不连续.第15页，本讲稿共55页注2 取负实轴为支割线,在正实轴上取正实数值的那一支为主值支.例2解第16页，本讲稿共55页第17页，本讲稿共55页三 对数函数1.复对数的定义定义2.10 我们规定对数函数是指数函数的反函数，即若注、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数.第18页，本讲稿共55页第19页，本讲稿共55页2.对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为：则这时，有第20页，本讲稿共55页例3解第21页，本讲稿共55页3.对数函数的基本性质第22页，本讲稿共55页从而第23页，本讲稿共55页uvw-平面xz-平面y第24页，本讲稿共55页结论第25页，本讲稿共55页6.对数函数的单值化：相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化：考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域G。显然，在G内，对数函数可以分解为无穷多个单值解析分支。第26页，本讲稿共55页沿负实轴的割线的取值情况：上沿下沿第27页，本讲稿共55页一般区域：第28页，本讲稿共55页例例4解解第29页，本讲稿共55页例例5解解由故所求的分支为从而第30页，本讲稿共55页由于四 一般幂函数与一般指数函数定义2.11因此，对同一个 的不同数值的个数等于不同数值的因子 个数。个数。当当a为正实数，且为正实数，且z=0时，还规定时，还规定1.一般幂函数定义.第31页，本讲稿共55页2.一般幂函数的基本性质：第32页，本讲稿共55页第33页，本讲稿共55页第34页，本讲稿共55页定义2.123.一般指数函数的概念注1:有无穷多个单值解析分支.注2:注3:以上定义两种函数都可看作复合函数.第35页，本讲稿共55页例例6 6解解第36页，本讲稿共55页五 具有多个有限支点的情形可能支点:第37页，本讲稿共55页第38页，本讲稿共55页注注1注注2第39页，本讲稿共55页结论结论第40页，本讲稿共55页例7、作出一个区域，使得函数在这个区域内可以分解成单值解析分支.解可能的支点为0、1、2与无穷，易知函数因第41页，本讲稿共55页结论：0、1、2与无穷都是支点。具体分析见下图第42页，本讲稿共55页 可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到因此也可以用0，1与 作割线。第43页，本讲稿共55页例8、验证函数在区域D=C-0,1内可以分解成解析分支；求出这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值。解：我们知道由于故：0、1是支点，无穷远点不是支点。第44页，本讲稿共55页结论：0、1是支点，无穷远点不是支点。第45页，本讲稿共55页 因此，在区域D=C-0,1内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定其四个解析分支为：则对应的解析分支为k=0。在z=-1处，有，所以第46页，本讲稿共55页第47页，本讲稿共55页例9解(法1)而故第48页，本讲稿共55页(法2)第49页，本讲稿共55页六、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义反三角函数的定义两端取对数得两端取对数得由得方程的根为第50页，本讲稿共55页 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步重复以上步骤骤,可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义反双曲函数的定义由得故反双曲余弦函数为故反双曲正弦函数为故反双曲正切函数为第51页，本讲稿共55页例例1010解解第52页，本讲稿共55页解解例例1111第53页，本讲稿共55页作业wP93习题(一)w23w 20(1)(3),24w 22,26 第54页，本讲稿共55页本节结束谢谢！第55页，本讲稿共55页
