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生物统计学概率定义现在学习的是第1页，共26页 这这 样样 定定 义义 的的 概概 率率 称称 为为 统统 计计 概概 率率（statistics probability），或者称），或者称后验概后验概率率（posterior probability）。）。在一般情况下，随机事件的概率在一般情况下，随机事件的概率p是不可能是不可能准确得到的。通常以试验次数准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事充分大时随机事件件A的频率作为该随机事件概率的近似值。的频率作为该随机事件概率的近似值。即即 P（A）=pm/n （n充分大）充分大）（4-1）现在学习的是第2页，共26页 （二）概率的古典定义（二）概率的古典定义 对于某些随机事件，用不着进行多次重复试对于某些随机事件，用不着进行多次重复试验来确定其概率验来确定其概率，而是根据随机事件本身的特而是根据随机事件本身的特性直接计算其概率。性直接计算其概率。有很多随机试验具有以下特征：有很多随机试验具有以下特征：1、试验的所有可能结果只有有限个，即样、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；本空间中的基本事件只有有限个；2、各、各 个个 试验的可能结果出现的可能性相试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；等，即所有基本事件的发生是等可能的；3、试验的所有可能结果两两互不相容。、试验的所有可能结果两两互不相容。现在学习的是第3页，共26页 具有上述特征的随机试验，称为具有上述特征的随机试验，称为古典概型古典概型（classical model）。对于古典概型，概率）。对于古典概型，概率的定义如下：的定义如下：设样本空间由设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构个等可能的基本事件所构成，其中事件成，其中事件A包含有包含有m个基本事件，则事件个基本事件，则事件A的概率为的概率为m/n，即，即 P（A）=m/n (4-2)现在学习的是第4页，共26页 这样定义的概率称为这样定义的概率称为古典概率古典概率(classical probability)或或先验概率先验概率(prior probability)。【例例4.1】在编号为在编号为1、2、3、10的十的十头猪中随机抽取头猪中随机抽取1头，求下列随机事件的概率。头，求下列随机事件的概率。（1）A=“抽得一个编号抽得一个编号4”；（2）B=“抽得一个编号是抽得一个编号是2的倍数的倍数”。因为该试验样本空间由因为该试验样本空间由10个等可能的基本个等可能的基本事件构成，即事件构成，即n=10,而事件而事件A所包含的基本事所包含的基本事件有件有4个，即抽得编号为个，即抽得编号为1，2，3，4中的任何中的任何一个，事件一个，事件A便发生，于是便发生，于是mA=4，所以，所以 现在学习的是第5页，共26页 P(A)=mA/n=4/10=0.4 同理，事件同理，事件B所包含的基本事件数所包含的基本事件数mB=5，即抽得编号为即抽得编号为2，4，6，8，10中的任何一个，中的任何一个，事件事件B便发生，故便发生，故 P(B)=mB/n=5/10=0.5。【例例4.2】在在N头奶牛中，有头奶牛中，有M头曾有流产头曾有流产史，从这群奶牛中任意抽出史，从这群奶牛中任意抽出n头奶牛，试求头奶牛，试求:(1)其中恰有其中恰有m头有流产史奶牛的概率是多少？头有流产史奶牛的概率是多少？(2)若若N=30，M=8，n=10，m=2，其概，其概率是多少？率是多少？现在学习的是第6页，共26页 我们把从有我们把从有M头奶牛曾有流产史的头奶牛曾有流产史的N头奶头奶牛中任意抽出牛中任意抽出n头奶牛头奶牛，其中恰有，其中恰有m头有流产头有流产史这一事件史这一事件 记为记为A，因为因为 从从 N 头头 奶奶 牛牛 中中 任任 意意 抽抽 出出 n 头头 奶牛奶牛的基本事件总数为的基本事件总数为 ；事件事件A所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为 ；因此所求事件因此所求事件A的概率为：的概率为：现在学习的是第7页，共26页 将将N=30，M=8，n=10，m=2代入代入上式，得上式，得 =0.0695 即在即在30头奶牛中有头奶牛中有8头曾有流产史，从这头曾有流产史，从这群奶牛随机抽出群奶牛随机抽出 10 头奶牛其中有头奶牛其中有2头曾有流产头曾有流产史的概率为史的概率为6.95%。现在学习的是第8页，共26页例：在电话号码薄中任取一个电话号码在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面求后面4个数全个数全不相同的概率不相同的概率.(.(设后面设后面4 4个数中的每一个数都等可能地取自0,1.2,0,1.2,8,9).例例：历史上有名的历史上有名的“生日问题生日问题”某班级有某班级有n个人（个人（n365）问至少有两）问至少有两个人的生日在同一天的概率是多大？个人的生日在同一天的概率是多大？现在学习的是第9页，共26页 表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为“一个班级中至一个班级中至少有两个人生日相同少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不如发多数人想这个事件发生的概率并不如发多数人想象的那样小，而是足够大，从表中可以看出，当班级人数达象的那样小，而是足够大，从表中可以看出，当班级人数达到到2323时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级人数达到人数达到5050人时，竟有人时，竟有9797 的班级会发生上述事件，当然这的班级会发生上述事件，当然这里所讲的半数以上，有里所讲的半数以上，有9797 都是对概率而言的，只是在大都是对概率而言的，只是在大数次的情况下（就要求班级数相当多），才可以理解为频数次的情况下（就要求班级数相当多），才可以理解为频率。从这个例子告诉我们率。从这个例子告诉我们“直觉直觉”并不可靠，从而更有力的并不可靠，从而更有力的说明了研究随机现象统计规律的重要性。说明了研究随机现象统计规律的重要性。n（）（）0.120.410.510.710.890.97P(A)如下表：现在学习的是第10页，共26页（三）概率的定义及性质（三）概率的定义及性质（三）概率的定义及性质（三）概率的定义及性质 在随机试验样本空间在随机试验样本空间在随机试验样本空间在随机试验样本空间 上对每个时间上对每个时间上对每个时间上对每个时间AA都有对应的实数都有对应的实数都有对应的实数都有对应的实数P P（AA），），），），如如如如果这样的果这样的果这样的果这样的P P（AA）满足：满足：满足：满足：1 1、对于任何事件、对于任何事件、对于任何事件、对于任何事件AA，有，有，有，有00P P（AA）1 1；2 2、必然事件的概率为、必然事件的概率为、必然事件的概率为、必然事件的概率为1 1，即，即，即，即P P（）=1=1；3 3、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为0 0，即，即，即，即P P（）=0=0。4 4、AA1 1，AA2 2，AiAi为互斥事件，则为互斥事件，则为互斥事件，则为互斥事件，则P P（AA1 1+A+A2 2+A+Ai i）=P=P（AA1 1）+P+P（AA2 2）+P+P（AAi i）则称则称则称则称P P（AA）为事件为事件为事件为事件AA的概率的概率的概率的概率现在学习的是第11页，共26页概率的困惑概率的困惑:有无限多结果而又不具有等可能性有无限多结果而又不具有等可能性有无限多结果而又不具有等可能性有无限多结果而又不具有等可能性现在学习的是第13页，共26页现在学习的是第14页，共26页（五）概率的一般运算（五）概率的一般运算5.1加法原理加法原理 定理定理定理定理1 1两个互不相容事件的和的概率，两个互不相容事件的和的概率，两个互不相容事件的和的概率，两个互不相容事件的和的概率，等于这两个事件的概率之和：等于这两个事件的概率之和：等于这两个事件的概率之和：等于这两个事件的概率之和：由此定理推广得下面定理由此定理推广得下面定理由此定理推广得下面定理由此定理推广得下面定理2 2 定理定理定理定理2 2 有限个互不相容事件的和的概率，有限个互不相容事件的和的概率，有限个互不相容事件的和的概率，有限个互不相容事件的和的概率，等于这些事件的概率之和：等于这些事件的概率之和：等于这些事件的概率之和：等于这些事件的概率之和：推论推论推论推论1 1 如果一组事件构成互不相容的完如果一组事件构成互不相容的完如果一组事件构成互不相容的完如果一组事件构成互不相容的完备事件组，则这些事件的概率之和为备事件组，则这些事件的概率之和为备事件组，则这些事件的概率之和为备事件组，则这些事件的概率之和为 1.1.推论推论推论推论2 2 对立事件的概率之和为一对立事件的概率之和为一对立事件的概率之和为一对立事件的概率之和为一 现在学习的是第15页，共26页定理定理定理定理3 3任意二事件的和的概率，等于这二任意二事件的和的概率，等于这二任意二事件的和的概率，等于这二任意二事件的和的概率，等于这二事件的概率的和减去这二事件的积的概率事件的概率的和减去这二事件的积的概率事件的概率的和减去这二事件的积的概率事件的概率的和减去这二事件的积的概率.定理定理定理定理4 4 任意有限个事件的和的概率可按下面的公式计算：任意有限个事件的和的概率可按下面的公式计算：任意有限个事件的和的概率可按下面的公式计算：任意有限个事件的和的概率可按下面的公式计算：注注注注:特别是只有三个事件特别是只有三个事件特别是只有三个事件特别是只有三个事件AA、BB、C C时，有时，有时，有时，有 现在学习的是第16页，共26页5.2 条件概率条件概率 ABAB现在学习的是第17页，共26页 性质性质现在学习的是第18页，共26页例例2 2 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为岁以上的概率为岁以上的概率为0.8,活到活到活到活到2525岁以上的概率为岁以上的概率为岁以上的概率为岁以上的概率为0.4,0.4,如果现在有一个如果现在有一个2020岁的这种动物岁的这种动物岁的这种动物岁的这种动物,问它能活到问它能活到2525岁以上的概率是岁以上的概率是岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少?例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少?现在学习的是第19页，共26页5.3.乘法定理乘法定理练习:exer5-2-3;现在学习的是第20页，共26页注：注：独立事件独立事件定义 对于两个事件对于两个事件A A和和B B，若，若P P（ABAB）=P=P（A A）P P（B B），），则称则称A A、B B为相互独立事件为相互独立事件 等价于：等价于：P P（A|BA|B）=P=P（A A），即），即B B的发生对的发生对A A没有任何影响没有任何影响独立与互斥的关系独立与互斥的关系两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系性质性质必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.若事件若事件A与与B相互独立相互独立,则以下三对事件也相互独立则以下三对事件也相互独立.现在学习的是第21页，共26页例例1 1：甲甲甲甲,乙两人乙两人乙两人乙两人同时同时同时同时向敌人炮击向敌人炮击向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为已知甲击中敌机的概率为已知甲击中敌机的概率为已知甲击中敌机的概率为0.6,0.6,乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5,0.5,求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.例例2 2：设某型号的高射炮发射一发炮弹击中敌机的概率为设某型号的高射炮发射一发炮弹击中敌机的概率为设某型号的高射炮发射一发炮弹击中敌机的概率为设某型号的高射炮发射一发炮弹击中敌机的概率为0.60.6，现用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹现用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹现用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹现用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹.问至少需要设置多少问至少需要设置多少问至少需要设置多少问至少需要设置多少门，才能以不小于门，才能以不小于门，才能以不小于门，才能以不小于0.950.95的概率击中敌机的概率击中敌机的概率击中敌机的概率击中敌机.例例3 3：加工某一零件共需经过三道工序加工某一零件共需经过三道工序加工某一零件共需经过三道工序加工某一零件共需经过三道工序.设第一、二、三道工序的设第一、二、三道工序的设第一、二、三道工序的设第一、二、三道工序的次品率分别是次品率分别是次品率分别是次品率分别是2%2%、3%3%、5%.5%.假定各道工序是互不影响的假定各道工序是互不影响的假定各道工序是互不影响的假定各道工序是互不影响的,问加问加问加问加工出来的零件的次品率是多少？工出来的零件的次品率是多少？工出来的零件的次品率是多少？工出来的零件的次品率是多少？Exer6-1.19Exer6-1.19注：注：生物学问题中，还可以根据实验条件及生物学知识判断事件生物学问题中，还可以根据实验条件及生物学知识判断事件的独立性。如发烧和白细胞增多不独立，长疖子和患胃病相互独的独立性。如发烧和白细胞增多不独立，长疖子和患胃病相互独立立现在学习的是第22页，共26页1.样本空间的划分样本空间的划分5.4 全概率公式全概率公式现在学习的是第23页，共26页2.全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式现在学习的是第24页，共26页称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.5.5 贝叶斯公式贝叶斯公式现在学习的是第25页，共26页BayesBayes公式的意义是：公式的意义是：假设导致事件A发生的“原因”有Bi(i=1,2,n)。它们互不相容，现已知事件A确已经发生了，若要估计它是由“原因”Bi所导致的概率，则可用Bayes公式求出.即可从结果分析原因.比如医生诊断病人所患何病(A1,A2,Ai中的某一个),他确定某种症状B(如体温,某种化验指标等等)出现,现在实际就是求P(Ai|B),通过比较它们的大小就可对疾病作出诊断,此时Bayes公式显然是很有用的,在这里,P(Ai)是人患各种疾病可能性大小,这可以从资料中获得,而P(B|Ai)确定则要依靠医学知识,有了它,就可求P(Ai|B),如果综合从多个症状所得到的条件概率P(Ai|B),诊断会更准确些.举例:吃不下饭(群众容貌,伙食,环境不好)现在学习的是第26页，共26页