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第3章机械能和功第1页，本讲稿共57页一、功一、功 功是度量能量转换的基本物理量，它描写了功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。单位为力对空间的积累效应。单位为J（焦耳）。（焦耳）。变力的功：变力的功：恒力的功：恒力的功：3.1 功功 质点动能定理质点动能定理第2页，本讲稿共57页直角坐标系：直角坐标系：自然坐标系：自然坐标系：2.与参考系无关，位移与参考系有关，故 W与参考系有关。1.一般情况下，功与力和路程有关一般情况下，功与力和路程有关说明第3页，本讲稿共57页SS W与参考系有关。一辆汽车在水平道路上以 速度沿直线匀速行驶,汽车内水平地板上有一只盒子,乘客用水平推力 推着盒子相对地板以 速度向前移动，求在 t 时间内人做的功小车坐标系小车坐标系S地面坐标系地面坐标系S力与盒子相对于汽车的位移的点乘力与盒子相对于地面的位移的点乘力与盒子相对于地面的位移的点乘第4页，本讲稿共57页4.平均功率平均功率瞬时功率瞬时功率单位单位 W(瓦特瓦特)=J/s3.合力的功等于各分力的功的代数和。合力的功等于各分力的功的代数和。第5页，本讲稿共57页解：解：变力变力恒力恒力 曲线运动曲线运动 例3-1 小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。求：(1)的功，(2)重力的功。ml第6页，本讲稿共57页二、质点的动能定理二、质点的动能定理设质点设质点m在力的作用下沿曲线从在力的作用下沿曲线从a点移动到点移动到b点点总功：总功：ba元功：元功：切线方向的分力切线方向的分力第7页，本讲稿共57页质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。说明3.应用：1.合外力的功是动能变化的量度。与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。2.4.微分形式：第8页，本讲稿共57页例例3-2 质量质量 m 长长 l 的均匀链条，一部分放在光滑桌面上的均匀链条，一部分放在光滑桌面上,另一部分从桌面边缘下垂另一部分从桌面边缘下垂,下垂部分长下垂部分长 b，假定开始时，假定开始时链条静止，求链条全部离开桌面瞬间的速度。链条静止，求链条全部离开桌面瞬间的速度。解法一解法一 建立如图坐标系建立如图坐标系Ox，设，设x为为某时刻下垂链条长度。某时刻下垂链条长度。由由动能定理动能定理xOdx第9页，本讲稿共57页设设T为链条下垂部分和在为链条下垂部分和在桌面上的链条部分间的相桌面上的链条部分间的相互作用力，由牛顿定律得互作用力，由牛顿定律得a 解法二解法二 a第10页，本讲稿共57页解法三解法三 也可由机械能守恒定律计算。也可由机械能守恒定律计算。bOl-b第11页，本讲稿共57页LxoLsx传送机滑道水平平台例例3-3 一根均匀的柔软的物体（长度为一根均匀的柔软的物体（长度为L）以初速）以初速v0 送上平送上平台，物体前端在平台上滑行台，物体前端在平台上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦系数为物体与台面间的摩擦系数为，且，且 s，求初速度，求初速度v0。解：解：第12页，本讲稿共57页由动能定理：由动能定理：第13页，本讲稿共57页例例3-4 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面的高度和水平距离都相同，为三面的高度和水平距离都相同，为 h 和和 l，与物体的摩擦系，与物体的摩擦系数均为数均为。试试分析哪个面上的物体滑到地面分析哪个面上的物体滑到地面时时速度最大速度最大?(1)解：解：(1)(2)(3)元功元功Nmg第14页，本讲稿共57页(2)(3)最大最大(1)(1)(2)(3)ENDNmg最小最小NmgNmg第15页，本讲稿共57页(3)在自然坐标系中：Nmg它由与瞬间速度矢相切的t轴和垂直于速度矢指向曲线的凹侧的n轴构成第16页，本讲稿共57页一、力场一、力场xy 力矢量力矢量在空间的分布形象反映了力场在空间的分布形象反映了力场。3.2 保守力保守力 非保守力非保守力 耗散力耗散力xyzmo一般地，一般地，当质点所受的力仅与位置有关时，即代表质点受力的空间分布，称为力场。第17页，本讲稿共57页二、几种常见力的功二、几种常见力的功1.重力的功重力的功 重力作功只与质点的起始和终了位置有关，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所而与所经过的经过的路程无关路程无关。dzdxzz1z2abmxO第18页，本讲稿共57页2.万有引力的功万有引力的功 设质量为设质量为M的质点固定，另一质量为的质点固定，另一质量为m的质点在的质点在M的引的引力场中从力场中从a点运动到点运动到b点。点。dr 万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与路程无关路程无关。rbraabMm第19页，本讲稿共57页3.弹性力的功弹性力的功 弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点运动的与质点运动的路程无关路程无关。xmx2x1baOx第20页，本讲稿共57页abOr4.回旋力的功O：为横向单位矢量路程1：圆弧ab W=0 回旋力做功与路程有关！路程2：回旋力：第21页，本讲稿共57页*圆周运动圆周运动圆周运动圆周运动*Rso角速度角加速度回旋力离心力第22页，本讲稿共57页5.摩擦力的功摩擦力的功 ab 摩擦力做功摩擦力做功与路程有关！与路程有关！桌面俯视图第23页，本讲稿共57页 三、保守力三、保守力 非保守力非保守力 和耗散力和耗散力 abcd保守力：保守力：作功与作功与路程无关路程无关，只与始末位置有关的力。，只与始末位置有关的力。保守力沿任何闭合路程作功等于零。保守力沿任何闭合路程作功等于零。作功不仅与始末位置有关，还与作功不仅与始末位置有关，还与路程有关路程有关的。的。如：重力，引力，弹性力等。如：重力，引力，弹性力等。如：摩擦力，回旋力等。如：摩擦力，回旋力等。非保守力：非保守力：而而(一对一对)摩擦力作功始终是摩擦力作功始终是负负的，的，又称为耗散力。又称为耗散力。第24页，本讲稿共57页 有心力：有心力：有心力一定是保守力。有心力一定是保守力。判据 如：引力 静电力是非保守力。(0，则为耗散力)是保守力。任意闭合路程第25页，本讲稿共57页解：例3-5 已知 ,C点坐标为(2，1)。求：(1)的功 a.沿路程 OACb.沿路程 OBCc.沿路程 OC (2)是否为保守力?(1)xOABC(2,1)y000第26页，本讲稿共57页(2)非保守力，因为做功与路程有关。非保守力，因为做功与路程有关。xOABC(2,1)y第27页，本讲稿共57页取任意路程取任意路程ABCDA为保守力。为非保守力。例3-5 设以下两个力场：,画出力矢图，并判断是保守力还是非保守力。解：解：取矩形路程取矩形路程EFGHExyABCDxyEFGHEND第28页，本讲稿共57页一、势能的引入一、势能的引入与物体的位置相联系的系统能量称为势能（与物体的位置相联系的系统能量称为势能（Ep）。）。保守力的功是势能变化的量度：保守力的功是势能变化的量度：物体在保守力场中物体在保守力场中a，b两点的势能两点的势能Epa，Epb 之差等之差等于质点由于质点由a点移动到点移动到b点过程中保守力做的功点过程中保守力做的功Wab。保守力的功等于系统势能的减少。保守力的功等于系统势能的减少。3.3 质点在保守力场中的势能质点在保守力场中的势能第29页，本讲稿共57页弹性势能弹性势能重力势能重力势能引力势能引力势能如：如：第30页，本讲稿共57页 空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。能零点时保守力作的功。势能的大小只有相对的意义，相对于势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点势能零点而而言。言。势能零点可以任意选取。势能零点可以任意选取。势能是相互作用有保守力的系统的属性。势能是相互作用有保守力的系统的属性。说明 设空间 点为势能零点，则空间任意一点 的势能为：第31页，本讲稿共57页例例3-6 轻弹簧原长轻弹簧原长l0，劲度系数为，劲度系数为k，下端悬挂质量为，下端悬挂质量为m的重物。已知弹簧重物在的重物。已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了点达到平衡，此时弹簧伸长了x0，现取，现取x 轴向下为正，如果原点分别位于：轴向下为正，如果原点分别位于：(1)弹簧原弹簧原长位置长位置,(2)力的平衡位置。若分别取原点为重力势能和力的平衡位置。若分别取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系时系统的总势能。统的总势能。解：解：(1)以弹簧原长点以弹簧原长点O 为坐为坐标原点，系统总势能：标原点，系统总势能：xmOOPx0 x第32页，本讲稿共57页(2)若以重力与弹性力合力的若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有：平衡位置为原点，则有：任意位置任意位置 x 处的系统总势能：处的系统总势能：xmOOPx0 x第33页，本讲稿共57页二、二、保守力与势能的关系保守力与势能的关系1.积分关系积分关系2.微分关系微分关系偏导数偏导数第34页，本讲稿共57页矢量式：矢量式：称梯度算符。称梯度算符。第35页，本讲稿共57页例例3-7 已知势能函数，已知势能函数，求保守力。求保守力。解：解：利用梯度算符在球坐标系中的表达式得：利用梯度算符在球坐标系中的表达式得：第36页，本讲稿共57页三、势能曲线oz重力势能曲线双原子分子的势能曲线：Oror引力势能曲线ox弹性势能曲线第37页，本讲稿共57页例例3-8 已知地球半径已知地球半径 R，物体质量，物体质量 m，处在地面，处在地面 2R 处。处。求势能求势能:（1）地面为零势能点；（）地面为零势能点；（2）无限远处为零势）无限远处为零势能点。能点。解：解：空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。第38页，本讲稿共57页一、质点系一、质点系 内力与外力内力与外力内力外力3.4 质点系的势能质点系的势能 势能属于相互作用有保守力的各物体组成的整个势能属于相互作用有保守力的各物体组成的整个系统，称系统，称相互作用势能相互作用势能。与系统内的一对保守内力做。与系统内的一对保守内力做功有关。功有关。系统内，内力是成对出现的。系统内，内力是成对出现的。第39页，本讲稿共57页二、内力的功二、内力的功相对元位移相对元位移 Oij一对内力的功：一对内力的功：相对位矢相对位矢 第40页，本讲稿共57页1.系统内一对内力的功一般不为零系统内一对内力的功一般不为零说明ij考虑斜面和滑块间考虑斜面和滑块间的一对摩擦力的作的一对摩擦力的作功情况。功情况。说明：说明：“系统内一对内力的功不一定为零系统内一对内力的功不一定为零”。第41页，本讲稿共57页2.一对内力做功之和与所选的参考系无关一对内力做功之和与所选的参考系无关与参考系无关，一对摩擦力做功一对摩擦力做功:Wf=-f l(地面系，木块系，子弹系地面系，木块系，子弹系)sl子弹木块一对内力做功之和与所选的参考系无关！一对内力做功之和与所选的参考系无关！例如：例如：第42页，本讲稿共57页三、相互作用势能三、相互作用势能一对保守内力一对保守内力ij因此，在计算一对内力作功时，可选其中一个物体为参因此，在计算一对内力作功时，可选其中一个物体为参考系，以另一物体的相对位移为准求内力做功。考系，以另一物体的相对位移为准求内力做功。如：重力势能属于地球和物体组成的系统。一对内力作功：一对内力作功：O第43页，本讲稿共57页 四、多质点系统的势能四、多质点系统的势能保守内力END其中 为质点 i 和 j 之间的相互作用势能。第44页，本讲稿共57页 一、质点系的动能定理3.5 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律设第 i 个质点所受外力的功为 ，内力的功为 ,初速度为 ,末速度为 。外力对质点系做的总功外力对质点系做的总功。内力对质点系做的总功内力对质点系做的总功。第45页，本讲稿共57页质点系的动能定理质点系的动能定理：所有外力和内力对系统所作的所有外力和内力对系统所作的功之和等于系统总动能的增量。功之和等于系统总动能的增量。质点系的末态总动能。质点系的末态总动能。质点系的初态总动能。质点系的初态总动能。第46页，本讲稿共57页例例3-11 光滑水平面上放有质量为光滑水平面上放有质量为m1的沙箱，的沙箱，由左方飞由左方飞来质量为来质量为m2的弹丸从箱左侧击入，的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进在沙箱中前进 l 距离后距离后停止。停止。在这段时间中沙箱向右运动了距离在这段时间中沙箱向右运动了距离 s，此后沙箱带此后沙箱带着弹丸以匀速着弹丸以匀速 v 运动。求运动。求(1)沙箱对弹丸的平均阻力沙箱对弹丸的平均阻力F；(2)弹丸初速弹丸初速v0；(3)沙箱沙箱-弹丸系统损失的机械能。弹丸系统损失的机械能。(2)对弹丸，应用动能定理：对弹丸，应用动能定理：(1)对沙箱对沙箱,应用动能定理：应用动能定理：解：解：s+l s第47页，本讲稿共57页(3)机械能变化：机械能变化：一对非保守内力一对非保守内力(耗散力耗散力)做做负功，使系统动能减少。负功，使系统动能减少。s+l s第48页，本讲稿共57页二、功能原理 保守内力的总功 非保守内力的总功内力的总功质点系的功能原理：质点系在运动过程中，所有外力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。第49页，本讲稿共57页1.明确系统及初、末状态。明确系统及初、末状态。2.适用于惯性系。适用于惯性系。3.机械能守恒定律机械能守恒定律与参考系无关与参考系无关,而而与参考系有关。与参考系有关。在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。械能不一定守恒。系统中的动能和势能可以转换系统中的动能和势能可以转换,各质点间的机械能各质点间的机械能也可以互换也可以互换,但保持系统的总机械能不变。但保持系统的总机械能不变。说明若若 第50页，本讲稿共57页4.对孤立系统对孤立系统若若能量转换和守恒定律能量转换和守恒定律其他形式的能量转化为机械能。其他形式的能量转化为机械能。机械能转化为其他形式的能量。机械能转化为其他形式的能量。则：则：第51页，本讲稿共57页例例3-13 已知铁链质量已知铁链质量m，长，长 l，与桌面摩擦系数为，与桌面摩擦系数为 。问：问：(1)a 为多少时铁链开始下滑为多少时铁链开始下滑?(2)金属链全部离开金属链全部离开桌面时桌面时 v 为多少为多少?解：解：(1)(2)摩擦力做负功，以摩擦力做负功，以 a 处为坐标原点处为坐标原点下垂部分重力下垂部分重力 等于摩擦力时等于摩擦力时Oxdxa第52页，本讲稿共57页利用功能原理，以桌面为零势能点：利用功能原理，以桌面为零势能点：Oxdxa第53页，本讲稿共57页例例3-14 计算第一、第二宇宙速度。计算第一、第二宇宙速度。一、第一宇宙速度一、第一宇宙速度物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度已知：地球半径为已知：地球半径为R，质量为，质量为M，卫星，卫星质量为质量为m。要使卫星在距地面。要使卫星在距地面h 高度绕高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。地球作匀速圆周运动，求其发射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：万有引力提供向心力：万有引力提供向心力：RMm第54页，本讲稿共57页得：得：第一宇宙速度第一宇宙速度第55页，本讲稿共57页二、第二宇宙速度二、第二宇宙速度地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度度(1)脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。(2)脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。由机械能守恒：由机械能守恒：得：得：第56页，本讲稿共57页第三章作业4，10，12，29，34，35第57页，本讲稿共57页