5.5.1-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-导学案(1)-人教A版高中数学必修第一册.docx

第五章三角函数5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式1了解两角差的余弦公式的推导过程2掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式3会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等4熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法重点：了解两角差的余弦公式的推导过程难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等1两角和与差的余弦公式2 两角和与差的正弦公式3两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()_，R两角和的余弦公式C()cos()_，R名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()sin()_，R两角差的正弦S()sin()_，R名称简记符号公式使用条件两角和的正切T()tan()_，k2(kZ)且 tan tan 1两角差的正切T()tan()_，k2(kZ)且 tan tan 1问题探究问题探究.两角差的余弦公式两角差的余弦公式如果已知任意角，的正弦、余弦，能由此推出，的正弦、余弦吗？下面，我们来探究 cos()与角，的正弦、余弦之间的关系不妨令?2k，kZ 如图 5.5.1，设单位圆与?轴的正半轴相交于点 A（，），以?轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点?（cos，sin），?（cos，sin），P(cos()，sin()任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性连接?，AP若把扇形 OAP,绕着点 O 旋转角，则点 A，P 分别与点?重合根据圆的旋转对称性可知，?与?重合，从而，所以 AP?根据两点间的距离公式，得cos?2+s?2=?cos?th?2+?sin?h?2，化简得:cos?=cos?th?+sin?h?当?=2k（kZ）时，容易证明上式仍然成立所以，对于任意角，有cos?=cos?th?+sin?h?（）此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作().典例解析典例解析例 利用公式cos?证明：（）cos?-?=sin?;（）cos?-?=cos?例例 已知s?=?，?(?,?),cos?=?，?是第三象限角，求cos?的值由公式 cos?出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？下面以公式 cos?为基础来推导其他公式 例如，比较cos?与cos?，并注意到 与?之间的联系：?（?）则由公式 cos?，有cos?=cos?cos?th?+sin?h?=cos?th?sin?h?于是得到了两角和的余弦公式，简记作 C（）cos?=cos?th?sin?h?问题探究问题探究上面得到了两角和与差的余弦公式 我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化 你能根据 （），（）及诱导公式五（或六），推导出用任意角，的正弦、余弦表示 sin（），sin（）的公式吗？通过推导，可以得到：s?sin?th?cos?h?，（S（）s?sin?th?cos?h?;（S（）你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从()，()出发，推导出用任意角 ，的正切表示?t?，?t?的公式吗？通过推导，可以得到：?t?=?t?t?t?t?T(+)?t?=?t?t?t?t?T(?)和（差）角公式中，都是任意角 如果令 为某些特殊角，就能得到许多有用的公式 你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式公式 ()，()，()给出了任意角 ，的三角函数值与其和角 的三角函数值之间的关系 为方便起见，我们把这三个公式都叫做 和角公式 类似地，()，()，()都叫做 差角公式 典例解析典例解析例 3.已知s?=?，?是第四象限角，求s?cos?tan?的值 由以上解答可以看到，在本题条件下有s?=cos?那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明?例 利用和（差）角公式计算下列各式的值：（）sin72cos42 cos72sin42;（）cos20cos70 sin20sin70;（3）?t?15?t?15;1 cos 65cos 35sin 65sin 35等于()Acos 100Bsin 100C32D122.已知是锐角，sin 35，则 cos4等于()A210B210C25D253已知锐角，满足 cos 35，cos()513，则 cos 等于()A3365B3365C5475D54754计算3tan 151 3tan 15_.5已知，均为锐角，sin 55，cos 1010，求.让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？知识上：两角和差公式思想方法上：整体代换思想，转化思想。参考答案：参考答案：一、一、知识梳理知识梳理1.cos cos sin sin cos cos sin sin 2.sin cos cos sin sin cos cos sin 3.tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 二、二、学习过程学习过程典例解析典例解析例证明:(1)cos?-?=cos?th?+sin?h?sin?=01sin?=sin?(2)cos?-?=cos?th?+sin?h?sin?=(-1)cos?t cos?例例解：由s?=?，?(?,?),得cos?=?h?2=?2=?又由cos?=?，?是第三象限角，得sin?=?th?2=?2=?2?所以cos?=cos?th?+sin?h?=(?)(?)+(?)(?2?)=?例 3.解：由 s?=?，?是第四象限角，得cos?=?h?2=?2=?所以?t?=h?th?=?=-?于是有s?=sin?th?cos?h?=22?22?)=?2?cos?=?th?th?sin?h?=22?22?)=?2?t?=?t?t?t?t?=?t?t?=?=?7例 分析：和、差角公式把 的三角函数式转化成了 ，的三角函数式 如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简 解：（）由公式 S（），得sin72cos42 cos72sin42=Sin(72 42)=sin30=?2（2）由公式 C（+），得cos20cos70 sin20sin70=cos(20+70)=cos90=0（3）由公式 T（+）及?t?45=?，得?t?15?t?15=?t?45?t?15?t?45?t?15=?t?45?15=?t?60=?三、达标检测三、达标检测1【解析】原式cos(6535)cos 3032.【答案】C2.【解析】因为是锐角，sin 35，所以 cos 45，所以 cos422452235210.故选 B【答案】B3【解析】因为，为锐角，cos 35，cos()513，所以 sin 45，sin()1213.所以 cos cos()cos()cos sin()sin 513351213453365.故选 A【答案】A4【解析】3tan 151 3tan 15tan 60tan 151tan 60tan 15tan 451.【答案】15【解】，均为锐角，sin 55，cos 1010，sin 3 1010，cos 2 55.sin sin，20，sin()sin cos cos sin 5510102 553 101022，4.