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概率论与数理统计教案,第7章,假设检验概率论与数理统计 教学 教案第 第 7 章 假设检验 授课序号 1 01 教学基本指标教学课题第 7 章 第 1 节 假设检验的基本概念 课的类型新学问课 教学方法讲授、课堂提问、探讨、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合 教学重点 显著性检验的基本思想、假设检验的基本步骤、假设检验可能产生的两类错误 教学难点 假设检验的基本步骤 参考教材浙江高校概率论与数理统计第四版 作业布置课后习题 大纲要求1理解显著性检验的基本思想，驾驭假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。教学基本内容一假设检验的基本思想 1假设检验的基本思想：假设检验规则的制定有多种方式，其中一种较为通俗易懂，该方式所依据的是人们在实践中普遍采纳的一个原理实际推断原理，也称小概率原理，即小概率事务在一次试验中几乎不会发生. 根据这一原理，首先须要依据阅历或过往的统计数据对总体的分布参数作出假设0H ，称为原假设，其对立面称为备择假设，记为1H 。然后，在0H 为真的前提下，构造一个小概率事务，若在一次试验中，小概率事务尽然发生了，就完全有理由拒绝0H 的正确性，否则就没有充分的理由拒绝0H ，从而接受0H ，这就是假设检验的基本思想。2拒绝域：在假设检验中，将小概率事务 | | 1.96 U > 称为拒绝域或者否定域。二假设检验的基本步骤 1. 建立假设 依据题意合理地建立原假设 H 0 和备择假设 H 1 ，如0 0 1 0:, : H H q q q q = ¹； 2. 选取检验统计量 选择适当的检验统计量 Q ，要求在 H 0 为真时，统计量 Q 的分布是已知的； 3. 确定拒绝域 根据显著性水平 a ，由统计量 Q 确定一个合理的拒绝域； 4. 作出推断 由样本观测值，计算出统计量的观测值 q ，若 q 落在拒绝域内，则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0.三假设检验的两类错误 1原假设0H 的确成立，而检验的结果是拒绝0H ，这类错误称为第一类错误或弃真错误； 2原假设0H 的确不成立，而检验的结果是接受0H ，这类错误称为其次类错误或取伪错误四例题讲解 例 1设某种特别类型的集成电路所用硅晶圆片的目标厚度为 245（单位：m m ），在正常状况下，产品厚度应当听从正态分布2(245,3.6 ). N我们抽取了 50 个硅晶圆片样品，并测定了每个硅晶圆片的厚度，得到了样品的平均厚度为 246.18（ m m ），这些数据是否表明实际的硅晶圆片平均厚度与目标值有显著差异?例 2设总体 X 听从正态分布2( ,1 ) N m ，1 2 3 4, , , X X X X 是该总体的样本，对于检验假设 0 1 1 1: 0; : ( 0) H H m m m m = = > ， 已知拒绝域为 0.98 X > ，问此检验犯第一类错误的概率是多少？若11 m = ，则犯其次类错误的概率是多少？授课序号 02 教学基本指标教学课题第 7 章 第 2 节正态总体参数的假设检验 课的类型新学问课 教学方法讲授、 课堂提问、探讨、启发、自学教学手段黑板多媒体结合 教学重点 单个正态总体及两个正态总体的均值和方差的假设检验 教学难点 单个正态总体及两个正态总体的均值和方差的假设检验 参考教材浙江高校概率论与数理统计第四版 作业布置课后习题 大纲要求了解单个正态总体及两个正态总体的均值和方差的假设检验。教学基本内容一单个正态总体参数的假设检验 设总体2 ( , ) X N m s ，1 2, , ,nX X X 是取自总体的一个样本，给定显著性水平为 a （0< a<1），下面介绍几种常见的检验类型：12s 已知，关于 m 的检验 建立假设0 0 1 0:,: H H m m m m = ¹ ，选取检验统计量0 (0,1)XU Nnms-= ，根据显著性水平 a ，确定拒绝域2U u aì ü>í ýî þ，由样本观测值求出统计量的观测值 u ，然后作推断，由于我们选取的检验统计量为0XUnms-= ，故称其为 U 检验法. 2.2s 未知，关于 m 的检验 首先建立假设0 0 1 0:,: H H m m m m = ¹ ，选取检验统计量 ,0nSXTm -= 在 H 0 为真时，统计量 T t ( n -1)；根据显著性水平 a ，确定拒绝域2 ( 1) T t na> - .由样本观测值求出统计量的观测值 t ，然后作推断，由于选取的检验统计量为 ,0nSXTm -=故该检验法称为 T 检验法. 3. m 已知，关于2s 的检验 检验假设 H 0 ：s 2 = s02 ， H1 ：s 2 ¹ s02 ；选取检验统计量为2212( )niiX mcs=-=å， 在 H 0 为真时，22 2120( ) ( )niiXnmc cs=-=å， 根据显著性水平 a ，可得拒绝域2 2 2 212 2 ( ) ( ). n na ac c c c-> < 或4. m 未知，关于2s 的检验 检验假设 H 0 ：s 2 = s02 ， H1 ：s 2 ¹ s02 ，在H 0 为真时， 检验统计量为22 220( 1) ( 1)n Sn c cs-= - ， 根据显著性水平 a ，可得拒绝域2 2 2 212 2 ( 1) ( 1). n na ac c c c-> - < - 或上述两种检验法选取的检验统计量都是2c ，称为 c 2 检验法. 二两个正态总体参数的假设检验 设总体21 1 ( , ) X N m s ，总体22 2 ( , ) Y N m s ， X 与 Y 独立，样本11 2, , ,nX X X 来自总体 X ，样本21 2, , ,nY Y Y 来自总体 Y，给定显著性水平为 a ( ) 0 1 a < < ，下面给出三种最常见的检验类型：1.2221 , ss 已知，关于均值差1 2m m - 的检验 检验假设：H 0 ：1 2m m = ，H 1 ：1 2m m ¹ . 选取检验统计量为1 22 21 21 2( ) X YUn nm ms s- - -=+， 当 H 0 为真时，2 21 21 2 (0,1)X YU Nn ns s-=+， 显著性水平为 a 的拒绝域为2 U u a > . 2.2221 , ss 未知，但2221s s = ，关于均值差1 2m m - 的检验 检验假设：H 0 ：1 2m m = ， H 1 ：1 2m m ¹ .选取检验统计量为 T =1 21 2( )1 1wX YSn nm m - - -+，其中2 221 1 2 21 2( 1) ( 1)2wn S n SSn n- + -=+ -， 当 H 0 为真时，统计量1 21 2 ( 2)1 1wX YT t n nSn n-= + -+， 可得显著性水平为 a 的拒绝域为1 22 ( 2) T t n na> + - . 3.2 1 , mm 未知，关于方差比2221ss的检验 检验假设：2221 12221 0: , : s s s s ¹ = H H . 选取统计量为2221222122222121ssss× = =SSSSF ， 在 H 0 为真时,211 222 ( 1, 1)SF F n nS= - - ，可得显著性水平为 a 的拒绝域为 21 21( 1, 1) F F n na-< - -21 2( 1, 1) F F n na> - - 或 . 三单侧检验 设总体2 ( , ) X N m s ，1 2, , ,nX X X 是取自总体的一个样本，给定显著性水平为 a （0< a <1），若 s 2 已知，检验 m 是否增大？ 首先建立假设0 0 1 0:,: H H m m m m = > ,或者 , :0 0m m £ H , :0 1m m > H 选取检验统计量0 (0,1)XU Nnms-= ，当0H 为真时，0XUnms-= 不应太大，则 U 偏大时应拒绝0H ，故根据显著性水平 a ，如下图，构造小概率事务为 P U u a a > = ，即拒绝域 U u a > .由样本观测值求出 U 的观测值 u ，然后作推断. au a以上关于正态总体参数假设检验的探讨可以列表 7.1 和表 7.2 如下：表 7.1 单个正态总体参数的假设检验表 条件 原假设0H备择假设1H检验统计量 拒绝域2s 已知 0m m =0m m ¹0/ (0,1)XUnNms-= 2U u a >0m m £ 0m m > U u a >0m m ³ 0m m < U u a <-2s 未知 0m m =0m m ¹0 ( 1)XTSnt nm -=- 2( 1) T t na> -0m m £ 0m m > ( 1) T t na> -0m m ³ 0m m < ( 1) T t na<- -m 已知 2 20s s =2 20s s ¹221202( ) ( )niiXnmcsc=-=å 222 212 2( )( )nnaac cc c-<> 或 2 20s s £2 20s s >2 2 ( )nac c >2 20s s ³2 20s s <2 21( ) nac c-<m 未知 2 20s s =2 20s s ¹22202( 1) ( 1)n Sncsc-=- 222 212 2( 1)( 1)nnaac cc c-< -> - 或 2 20s s £2 20s s >2 2 (1) nac c > -2 20s s ³2 20s s <2 21( 1) nac c-< - 表 7.2 两个正态总体参数的假设检验表 条件 原假设0H备择假设1H检验统计量 拒绝域2221 , ss已知 1 2m m =1 2m m ¹2 21 21 2 (0,1)X YUn nNs s-=+2U u a >1 2m m £ 1 2m m > U u a >1 2m m ³ 1 2m m < U u a <-2221 , ss1 2m m =1 2m m ¹1 21 21 1 ( 2)wX YTSn nt n n-=+ -1 22( 2) T t n na> + -未知，但2221s s = 1 2m m £ 1 2m m > 其中2 221 1 2 21 2( 1) ( 1)2wn S n SSn n- + -=+ - 1 2( 2) T t n na> + -1 2m m ³ 1 2m m < 1 2( 2) T t n na<- + -2 1 , mm已知 2 21 2s s = =2 21 2s s ¹ ¹1221 1122 211 2( ) /( ) / ( , )niinjjX nFY nF n nmm=-=-åå 21 21( , ) F F n na-<21 2( , ) F F n na> 或2 21 2s s £ £2 21 2s s > >1 2( , ) F F n na>2 21 2s s ³ ³2 21 2s s < <1 1 2( , ) F F n na -<2 1 , mm未知 2 21 2s s = =2 21 2s s ¹ ¹21221 2 ( 1, 1)SFSF n n=- - 21 21( 1, 1) F F n na-< - -21 2( 1, 1) F F n na> - - 或 2 21 2s s £ £2 21 2s s > >1 2( 1, 1) F F n na> - -2 21 2s s ³ ³2 21 2s s < <1 1 2( 1, 1) F F n na -< - -四 p 值检验法 1.p 值检验法：假设检验问题的 p 值(probability Value)是由检验统计量的样本观测值得出的原假设可被拒绝的最小显著性水平 根据 p 值的定义，对于随意指定的显著性水平 a ，有(1)当 p 值 £ a 时，则在显著性水平 a 下拒绝0H (2)当 p 值 > a 时，则在显著性水平 a 下接受0H 这种利用 p 值来进行检验的方法，称为 p 值检验法.五例题讲解 例 1某仪器厂生产的仪表圆盘，其标准直径应为 20（mm），在正常状况下，仪表圆盘直径听从正态分布N (20，1)。为了检查该厂某天生产是否正常，对生产过程中的仪表圆盘随机的抽查了 5 只，测得直径分别为 19，19.5，19，20，20.5， 若显著性水平 0.05 a = ，问该天生产是否正常? 例 2葡萄酒中除了水和酒精外，占比最多的就是甘油。甘油是酵母发酵的副产品，它有助于提升葡萄酒的口感和质地，因而常常须要对葡萄酒中的甘油含量进行检测。假设某品牌葡萄酒的甘油含量 X （mg/mL）听从正态分布，现随机抽查了 5 个样品，测得它们的甘油含量分别为 2.67,4.62,4.14,3.81,3.83 ，若显著性水平0.05 a = ，问是否有理由认为该品牌葡萄酒的平均甘油含量为 4（mg/mL）? 例 3某供货商声称，他们供应的金属线的质量特别稳定，其抗拉强度的方差为 9，为了检测其抗拉强度，在该种金属线中随机地抽出 10 根，测得样本标准差 4.5 s = (kg)，设该金属线的抗拉强度听从正态分布2( , ) N m s ，若显著性水平为 a =0.05，问是否可以信任该供货商的说法？ 例 4在某种制造过程中须要比较两种钢板的强度，一种是冷轧钢板，另一种双面镀锌钢板。现从冷轧钢板中抽取了 20 个样品，测得强度的均值为 20.5(GPa) x =， 从双面镀锌钢板中抽取了 25 个样品，测得强度的均值为 23.9(GPa) y =， 设两种钢板的强度都听从正态分布，其方差分别为2 212.8 s = ，2 223.5 s = ，试问两种钢板的平均强度是否有显著性差异？（ 0.01 a = ）例 5有两种灯泡，一种用 A 型灯丝，另一种用 B 型灯丝。随机抽取两种灯泡各 10 只做试验，测得它们的寿命（单位: 小时）为：A 型：1293138016141497134016431466167713871711 B 型：1061106510921017102111381143109410281119 设两种灯泡的寿命均听从正态分布且方差相等，试检验两种灯泡的平均寿命之间是否存在显著差异？ ( 0.05) a =例 6某一橡胶制品配方中，原配方用氧化锌 5 克，现配方减为 1 克。今分别对两种配方作一批试验，分别测得橡胶制品伸长率如下：现配方565577580575556542560532470461 原配方540533525520545531541529534 设橡胶制品的伸长率听从正态分布，问两种配方橡胶制品的伸长率的方差有无显著差异?( 0.05) a =例 7某地区的物价部门对当前市场的大米价格状况进行调查，共调查了 30 个集市上的大米售价，测得它们的平均价格为 2. 21 元/500 g，已知以往大米平均售价始终稳定在 2 元500 g 之内假如该城市大米售价听从正态分布 ( ,0.18) N m ，假定方差不变，能否依据上述数据认为该地区当前的大米售价明显高于往年？( 0.05) a =例 8现有甲、乙两台车床加工同一型号的螺钉。依据阅历认为两台车床加工的螺钉长度都听从正态分布。现从这两台车床加工的螺钉中分别抽出 11 个和 9 个，测得长度(单位:mm)分别为甲6.2，5.7，6.0，6.3，6.5，6.0，5.7，5.8，6.0，5.8，6.0 乙5.6，5.7，5.9，5.5，5.6，6.0，5.8，5.5，5.7 试问：乙车床的加工精度是否高于甲车床，即乙车床螺钉长度的方差是否比甲车床的小?( 0.05) a =例 9用 p 值检验法检验第一节例 1 的检验问题.
