第十七章,勾股定理（基础过关）八年级数学下册单元测试卷（人教版）（解析版）.docx

第十七章,勾股定理（基础过关）八年级数学下册单元测试卷（人教版）（解析版）第十七章 勾股定理 基础过关卷 一、单选题 1直角三角形的两边长分别为6和8，那么它的第三边长度为（） A8 B10 C8或2 D10或2 D 分8为直角边、8为斜边两种状况，依据勾股定理计算解：当8为直角边时，斜边=10， 当8为斜边时，另一条直角边=2， 故选：D 本题考查的是勾股定理，假如直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2 2已知，是三角形的三边长，且，那么此三角形是（ ） A以为斜边的直角三角形 B以为斜边的直角三角形 C等腰直角三角形 D锐角三角形 B 依据肯定值、偶次方的非负性质，分别求出a，b，c的值；利用勾股定理的逆定理，推断ABC的形态，即可得到答案.， 依据肯定值、偶次方的非负性质， c =13，b=12，a=5， 52+122=132， ABC是以c为斜边的直角三角形 故选：B 本题考查勾股定理的逆定理，肯定值、偶次方的性质，驾驭勾股定理的逆定理，肯定值、偶次方的非负性质是解题的关键. 3如图，在ABC中，C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分ADB交AB于点E若AC=12，BC=16，则AE的长为（） A6 B8 C10 D12 C 首先依据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度解：如图，在ABC中，C=90°，AC=12，BC=16， 由勾股定理知：， AD=BD，DE平分ADB交AB于点E ， 故选：C 本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一在直角三角形中，两条直角边长的平方之和肯定等于斜边长的平方 4在RtABC中，C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则RtABC的面积是() A24cm2 B36cm2 C48cm2 D60cm2 A 依据勾股定理得到AC2+BC2=AB2=100，依据完全平方公式求出2ACBC=96，得到 ACBC=24，得到答案C=90°， AC2+BC2=AB2=100， AC+BC=14， （AC+BC）2=196， 即AC2+BC2+2ACBC=196， 2ACBC=96， ACBC=24，即RtABC的面积是24cm2， 故选：A 此题考查勾股定理的应用，解题关键在于驾驭直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2 5如图所示，在的正方形网格中，的顶点，均在格点上，则是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 B 首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值； 接下来，依据勾股定理的逆定理可推断出ABC的形态.BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25， BC2 +AB2= AC2， ABC是直角三角形.故选B. 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是驾驭勾股定理和勾股定理的逆定理. 6给出下列四个说法： 由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形； 由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； 若，是勾股数，且最大，则肯定有； 若三个整数，是直角三角形的三边长，则，肯定是勾股数. 其中正确的是 （ ） A B C D C 依据勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数的定义分别推断各说法即可.由于，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0. 4，0.5不是勾股数，故说法错误； 虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故说法错误； 若，是勾股数，且最大，则肯定有，故说法正确； 若三个整数，是直角三角形的三边长，则，所以，所以，肯定是勾股数故说法正确. 故选C. 此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数：满意a2b2c2的三个正整数，称为勾股数留意： 三个数必需是正整数，例如：2.5、6、6.5满意a2b2c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数 一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数 记住常用的勾股数再做题可以提高速度如：3，4，5；6，8，10；5，12，13； 7如图所示的是一种机器人行走的路径，机器人从处先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再转向北走后往东一拐仅走就到达了则点与点之间的直线距离是（ ） A B C D D 过点B作于点C，先求出AC和BC的长，再用勾股定理求出AB的长解：如图，过点B作于点C， ， ， 在中， 故选：D 本题考查勾股定理，解题的关键是驾驭用勾股定理解直角三角形的方法 8如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为，；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，其中，则（ ） A10 B9 C8 D7 A 由题意可得S1+S2=S3， S5+S6=S4，然后依据S1=1，S2=3，S5=2，S6=4，然后求出S3+S4的值即可解：如图： S1=a2，S2=b2，S3=c2， a2+b2=c2，即S1+S2=S3， 同理可得：S5+S6=S4， S1=1，S2=3，S5=2，S6=4 S3+S4=（1+3）+（2+4）=4+6=10 故答案为A 本题主要考查勾股定理的应用以及正方形的面积、圆的面积的解法，审清题意、敏捷运用数形结合的思想成为解答本题的关键 9如图所示，在中，于D，BE是的平分线，且交于，假如，则的长为（ ） A2 B4 C6 D8 C 先依据题目条件给出的角度证明是等边三角形，得到，再依据含有角的直角三角形的性质和勾股定理求出AC的长解：， ， ， BE平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中， ， 依据勾股定理， 在中， ， 依据勾股定理， 故选：C 本题考查等边三角形的性质和判定，含有角的直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是驾驭这些性质定理进行求解 10如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（ ） A4 B2 C2 D4 A 设平板手推车的长度为x米，则当x为最大值时，平板手推车所形成的CBP为等腰直角三角形，连接PO与BC交于点N，最终利用CBP为等腰直角三角形的性质求解即可解：设平板手推车的长度为x米，当x为最大值，此时平板手推车所形成的CBP为等腰直角三角形，连接PO与BC交于点N 直角通道的宽为2 PO=4m， NP=PO-ON=4-2=2m 又CBP为等腰直角三角形， AD=BC=2CN=2NP=4m 故答案为A 本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的相关学问，依据题意得到当平板车最长时，CBP为等腰直角三角形成为解答本题的关键 11如图所示，已知中，于，为上任一点，则等于（ ） A9 B25 C36 D45 D 在和中，分别表示出和，在和中，表示出和，代入求解即可；在和中， ， 在和中， ， ， ， 故选D 本题主要考查了勾股定理的应用，精确分析计算是解题的关键 12如图，是等边三角形，点DE分别为边BCAC上的点，且，点F是BE和AD的交点，垂足为点G，已知，则为（ ） A4 B5 C6 D7 C 结合等边三角形得性质易证ABECAD，可得FBG30°，BF2FG2，再求解ABE15°，进而两次利用勾股定理可求解ABC为等边三角形 BAEC60°，ABAC，CDAE ABECAD（SAS） ABE=CAD BFDABE+BADCAD+BAFBAC60°， BGAD， BGF90°， FBG30°， FG1， BF2FG2， BEC75°，BAE60°， ABEBECBAE15°， ABG45°， BGAD， AGB90°， AG=BG=， AB2=AG2+BG2=()2+()2=6 故选C 本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明ABG为等腰直角三角形是解题关键 二、填空题 13直角三角形两边长分别为3和4，则它的周长为_ 12或7+ 分两种状况求出第三边，即可求出周长分两种状况： 当3和4都是直角边时，第三边长=5，故三角形的周长=3+4+5=12； 当3是直角边，4是斜边时，第三边长，故三角形的周长=3+4+=7+， 故答案为：12或7+ 此题考查勾股定理的应用，题中不明确所给边长为直角三角形的直角边或是斜边时，应分状况探讨求解 14如图，中，边上的中线，则_ 依据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出的度数，边上的中线， ， ， 本题考查中线的性质勾股定理的逆定理的应用，驾驭相应的性质定理是解答此题的关键 15如图，圆柱形玻璃杯的高为，底面圆的周长为，在杯内离底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜所爬行的最短路程为_ 过N作NQEF于Q，作M关于EH的对称点M，连接MN交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出MQ，NQ，依据勾股定理求出MN即可解：如图：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过N作NQEF于Q，作M关于EH的对称点M，连接MN交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ME=ME，MP=MP， MP+PN=MP+PN=MN， NQ=×10cm=5cm，MQ=12cm-4cm+2cm=10cm， 在RtMQN中，由勾股定理得：MN=cm 故答案为： 本题考查了勾股定理，轴对称-最短路途问题的应用，关键是找出最短路途 16如图，在钝角中，已知为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，若，则的度数为_ 如图中，连接AD、AE首先证明DAE=90°，易知DBA=DAB，EAC=C，依据三角形内角和定理可得， 推出，由此即可解决问题解：如图，连接， ，的垂直平分线分别交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，依据线段垂直平分线作出协助线，依据三角形内角和定理解决问题是关键 17如图，在中，点、分别在、上，且，则_度 80 依据，利用勾股定理可得，利用SSS可证，则有，利用外角的性质可求得，依据三角形的内角和定理，可以求出的度数解：， ， ， ，即 在和中 ， ， ， ， 故答案是：80 此题主要考查了全等三角形的性质和判定，外角的性质以及三角形内角和定理，关键是驾驭三角形内角和为 18如图，在等腰中，高，平分，则三角形的面积为_ 连接EC，证明，可得它们面积相等，用勾股定理算出AD长，然后设，用面积法列式求出DE的长，就可以算出结果解：如图，连接EC， AE平分， ， 在和中， ， ， ， 在中， 设， ， ， ，解得， 故答案是： 本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是利用三角形面积相等列式求出对应边长 19如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是_ 15米 依据题意确定已知线段的长，再依据勾股定理列方程进行计算设BD=米，则AD=（）米，CD=（）米， ， ， 解得 即树的高度是10+5=15米 故答案为：15米 本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决 20如图，在中，将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的长为_ 在中利用勾股定理建立方程求解即可在中，由勾股定理可得， 依据折叠的性质可知，设，则， 在中，得方程，解得， 故答案为： 本题考查了三角形的翻折与勾股定理计算边长，能够抓住翻折前后图形的基本性质，并结合勾股定理进行精确计算是解决问题的关键 21如图，在中，平分，垂足为，则_ 先利用勾股定理可得，再依据角平分线的性质可得，然后依据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，设，从而可得，最终在中，利用勾股定理即可得在中， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，即， 解得， 即， 故答案为： 本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等学问点，娴熟驾驭角平分线的性质是解题关键 22如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”若AB13，AE12，则正方形EFGH的面积为_ 49 依据正方形EFGH的面积大正方形面积4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积直角三角形直角边的较短边为=5， 正方形EFGH的面积13×134×16912049 故答案为：49 此题考查勾股定理的运用，驾驭勾股定理的推导过程是解决问题的关键 23已知ABC为等边三角形，且边长为4，P为BC上一动点，且PDAB，PEAC，垂足分别为D，E两点，则PDPE_ 作出底边上的高AF，连接AP，分等边三角形为APB和APC，依据三角形的面积不变可求得PDPE的值连接AP，作AFBC于点F， ABAC，AFBC， CFBF2，AF， ， ， ， ， 故填： 本题考查等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是“等面积法” 24如图，P为射线上随意一点（点P和点B不重合），分别以，为边在内部作等边和等边，连结并延长交于点F，若，则_ 2 连接，过点E作，由题意可得，可得，可求，依据勾股定理可求，可求，由，可得解：如图：连接，过点E作， ，是等边三角形， ， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为2 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键三、解答题 25如图，在中，点是外一点，连接，且， （1）求证： （2）求：四边形的面积 （1）见解析；（2）36 （1）在RtABC中，利用勾股定理可求出BC2的值，进而可求出BC的长，再依据勾股定理的逆定理得出DBC是直角三角形即可得证； （2）利用三角形的面积公式可求出SDBC及SABC的值，将其代入S四边形ABCD=SABC+SDBC中即可求出四边形ABDC的面积解：（1）在RtABC中，BCA=90°，AC=12，AB=13， BC2=AB2-AC2=132-122=25， BC=5， CD=4，BD=3， CD2+BD2=42+32=25， BC=5，即BC2=25， CD2+BD2=BC2， DBC是直角三角形， D=90° （2）DBC是直角三角形，且D=90°， ， 在RtABC中，BCA=90°，AC=12，BC=5， ， S四边形ABCD=SABC+SDBC=30+6=36 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用勾股定理，求出BC的长；（2）利用三角形的面积计算公式，求出SABC和SDBC的值 26已知：如图，四边形ABCD，AB1，BC2，CD2，AD3，且ABBC求四边形ABCD的面积 1+ 先依据勾股定理求出AC的长度，再依据勾股定理的逆定理推断出ACD的形态，再利用三角形的面积公式求解即可如图，连接AC ABC90°，AB1，BC2， AC， 在ACD中，AC2+CD25+49，AD29， AC2+CD2AD2 ACD是直角三角形， S四边形ABCDABBC+ACCD， ×1×2+××2， 1+ 故四边形ABCD的面积为1+ 本题考查勾股定理和勾股定理逆定理利用勾股定理逆定理推断ACD是直角三角形是解答本题的关键 27中国古代数学家们对于勾股定理的发觉和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学探讨中的继承和发展现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”中，若，请你利用这个图形说明； 见解析 依据题意，可在图中找出等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式解：大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ， 即 本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系 28如图，中，的垂直平分线分别交，于点，且 求证：； 若，求的长 （1）见解析；（2）4 （1）连接CD，依据中垂线的性质可得CD=BD，从而结合题意运用勾股定理得逆定理即可证明； （2）依据题意先求出AD，BD，再由（1）的结论在中运用勾股定理计算即可证明：连结 的垂直平分线分别交，于点， ， ， ， 是直角三角形，且 解：， ， ， 本题考查中垂线的性质，勾股定理及其逆定理，理解勾股定理的逆定理和中垂线的性质是解题关键 29如图，点D为AB上的一点，ACEBCD，AD2+DB2=DE2 （1）试说明AED是直角三角形； （2）试推断ABC的形态，并说明理由 （1）证明见解析；（2）ABC是等腰直角三角形，理由见解析 （1）依据全等三角形的性质可得AE=BD，然后依据勾股定理的逆定理即可证出结论； （2）依据（1）的结论可得EACCAB=90°，然后依据全等三角形的性质可得AC=BC，EAC=DBC，从而证出DBCCAB=90°，从而证出结论证明：（1）ACEBCD， AE=BD AD2+DB2=DE2 AD2+ AE 2=DE2 AED是直角三角形，且EAD=90°； （2）ABC是等腰直角三角形，理由如下 AED是直角三角形，且EAD=90°； EACCAB=90° ACEBCD， AC=BC，EAC=DBC DBCCAB=90° ABC是等腰直角三角形 此题考查的是全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定，驾驭全等三角形的性质和勾股定理的逆定理是解题关键 30如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE/AB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F （1）求F的度数 （2）若CE1，求EF的长 （1）30°；（2） （1）由等边三角形可得：，利用平行线的性质证明： 再由直角三角形的两锐角互余可得答案； （2）先证明是等边三角形，再证明： 再利用勾股定理可得答案解：（1）ABC是等边三角形， ， DE/AB， EDCB60°， EFDE， DEF90°， F90°EDC30°； （2）ECDEDC60°， CDE是等边三角形， CDCEDE1， F30°， CEFECDF30°， CECF1， DF2； 在RtDEF中， EF 本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理的应用，驾驭以上学问是解题的关键 31如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种缘由，电C到A的路现在已经不通，该村为便利村民取水确定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米 （1）是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明 （2）求新路比原路少多少干米？ （1）是，证明见解析；（2）千米 (1)依据勾股定理的逆定理验证CHB为直角三角形，进而得到CHAB，再依据点到直线的距离垂线段最短即可解答； (2)在ACH中依据勾股定理解答即可（1）在中， 又， 是以为直角的直角三角形， ， 点到直线垂线段的长度最短， 是村庄C到河边的最近路 （2）设， 千米， 千米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 千米， 比少千米 此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，娴熟驾驭勾股定理及逆定理是解决本题的关键 32如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x （1）恳求出AC+CE的最小值 （2）请构图求出代数式+的最小值 （1）10；（2）+的最小值为13 （1）依据两点之间线段最短可知：AE的长即为AC+CE的最小值，然后利用勾股定理求值即可； （2）先将代数式利用配方法变形，如解图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC、AE，已知AB=2，DE=3，BD=12，设BC=x，则CD=12x，依据勾股定理可证+的最小值即为ACCE的最小值，过点A作AFED，交ED延长线于F，利用勾股定理求出AE即可解：（1）过点E作EFAB，交AB的延长线于F，连接AE 依据题意可得BF=DE=1，EF=BD=8 AF=ABBF=6 依据两点之间线段最短可得：AC+CEAE，即AE的长即为AC+CE的最小值， 在RtAEF中，AE= 即AC+CE的最小值为10； （2）+ =+ =+ 如下图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC、AE，已知AB=2，DE=3，BD=12，设BC=x，则CD=12x AC=，CE= +的最小值即为ACCE的最小值 由（1）可知：AE即为ACCE的最小值 过点A作AFED，交ED延长线于F AF=BD=12，DF=AB=2 EF=DFDE=5 在RtAEF中，AE= 即+的最小值为13 此题考查的是最短路径问题和勾股定理的应用，利用数形结合，构造适当的直角三角形是解题关键 33在等腰中， （1）如图1，D为线段的延长线上一点，连接，过点B作，已知，求和的长 （2）如图2，点F是线段上一点，连接，过点B作于点G，过点C作于点H，连接 若，求的值 求证： （1）；（2）；证明见解析 （1）在中，由勾股定理求出，利用面积桥求； （2）在等腰直角三角形中求，由设，则，在中，由勾股定理，求出，利用面积公式求 在上截取，取BG与CH的交点为N，连接，先求出，再推出，证，可知是等腰直角三角形，推出即可（1）在中， ， ， ； （2）， ， 设，则， ， 在中， ， ， ， 在上截取，取BG与CH的交点为N，连接， ， ， ， HNB=GNC， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 本题考查勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，三角形全等，驾驭勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，三角形全等学问，利用协助线精确构图是解题关键