关于肾炎判别的研究论文.doc

20112011 数模培训练习一数模培训练习一组员：绍军组员：绍军 强强 小双小双1/26关于肾炎判别的研究摘要摘要本文利用 01 拟合和 Fisher 判别分析，根据人体各种关键元素的含量，对就诊人员是否患有肾炎做出合理的判断。针对问题一，为得到拟合优度较高的模型，本文把样本容量确定为 25。首先令 1 为健康，0 为患病进行 01 拟合，得出判别表达式。然后和 1、0 比较，若接近于 1，则表示健康；接近于 0，表示患有肾炎。为保证结果的可靠性，本文又引入了 Fisher 判别分析借助于 SPSS 软件对检测人员进行诊断判别。接着，利用剩余 5 个数据对两种方法所得结果进行检验，结果较为准确，但具体到所算出的因变量的值，与临界值很接近，故考虑对 7 个因素中偏离均值最大的值进行剔除。进而利用有效数据对判别表达式参数进行修正。最后，对待诊断的 30 个病例中各元素的含量代入，检验出 61、62、63、64、65、68、69、7070、71、72、73、7676、83、85、87 号为患者，6666、6767、74、75、77、78、7979、80、81、82、84、86、88、89、90 号为健康人（加粗表示 Fisher 判别得到了相反结果的人员）。针对问题二，考虑到有些因素对其是否为患者的影响不大，通过多元向后筛选法选出了影响肾炎的关键因素，进一步通过 Fisher 判别分析对待检测人员进行诊断，同样用 5 个数据对所得结果进行检验，结果拟合度高，对待检测者进行诊断，检测出 61、62、63、64、65、66、67、68、69、71、72、73、7676、79、83、85、87 号为患者，70、74、75、77、78、80、81、82、84、86、88、89、90 为健康人（加粗表示与问题一结果相反）。问题一与问题二中的结果非常接近，可以认为，人体各种元素的含量对身体是否健康都会存在一定的影响，只是有些元素的含量对一些疾病的影响较小。关键词：0 01 1 拟合拟合FisherFisher 判别分析判别分析数据剔除数据剔除多元逐步分析多元逐步分析一、问题重述人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体各种元素含量。本题给出确诊病例的化验结果，其中 130 号病例是已经确诊为肾炎病人的化验结果；3160 号病例是已经确定为健康人的结果。表 B.2 是就诊人员的化验结果。问题一：根据表 B.1 中的数据，提出一种或多种简便的判别方法，判别属于患者或健康人的方法，并检验你提出方法的正确性。按照建立的模型判断表B.2 中的 30 名就诊人员的化验结果进行判别，判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。问题二：根据表 B.1 的数据特征，确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素，以便减少化验的指标。根据关键因素，对他（她）们是否为肾炎病人进行分析，并对问题一、二结果作进一步的分析。其中表 B.1、表 B.2见附录。二、问题分析本题是根据医院化验指标，判断诊断人员是否患肾炎的问题，问题一利用0-1 拟合与 Fisher 判别分析方法进行判别。首先通过样本得出相应表达式，又利用剩余数据对其进行检验。通过检验结果与真实情况进行比较，若判别方法准确率低，则舍弃。若两种方法都比较准确，则应具体到所算出的因变量的值，与临界值进行比较，若过于接近，则说明根据数据所得参数存在一定的偏差，所给数据并不是真实可信的，可能在化验过程中可能出现错误，否则，所给数据准确。数据处理框图如下图所示。针对问题二，利用多元变量向后筛选对七个变量进行筛选，重新利用 Fisher判别分析，通过筛选后的数据得到模型，并将待测数据代入，对其进行判断。对问题一、二进行比较分析，判断去掉非关键因素对判别结果是否有影响，能否只检查其中的部分元素来判别病例，若影响不大，医生在诊断时，就不用全部化验那些指标，不仅可以减少工作量，而且工作效率也会得以提高。3/26图 2-1 数据处理框图三、模型假设1.假设问题中所提供的已确诊的 60 个病例，是从许多确诊的病例中随机抽取的，没有特殊的情况，属于一般规律。2.假设是否患有肾炎只与题目中所给元素的含量有关，与人体其他的元素的含量无关。3.假设各元素的含量对人体是否患有肾炎的影响是相互独立的。4.假设题目中所给的样本只患肾炎或者是健康体，没有患其他的疾病。方法显示结果不准确，分析原因，做相应操作因变量过于接近临界值，所给数据不准确剔除数据两种方法都较准确因变量与临界值进行比较两种判别方法进行比较将表 B.1 的数据分为样本和检验数据得出相应表达式检验（结果准确结束）因变量不接近临界值，所给数据准确四、符号说明(1,2,7)ix i 依次分别表示人体元素 Zn、Cu、Fe、Ca、Na、K、Mg 的含量y修正前因变量(1)y患者样本因变量均值(2)y患者健康人样本因变量均值1n患者样本容量。2n健康人样本容量。y修正后因变量0y判断临界值（阈值）1234yyyy、逐步剔除分析的回归方程y判别分析修正后的判别表达式1/26五、模型立与求解问题一：5.1 数据分类根据题意可将数据分为两大类。表 B.1 是确诊病例的化验结果的数据，表 B.2 是就诊人员的化验结果。根据题意对 B.1 中数据进行分析得出相应的结果，然后对 B.2 中数据进行判断。一方面，为了得出可以准确判断出结果的表达式需要更多的数据，另一方面，在对表达式的检验过程中也需要尽可能多的数据。在对 B.1 样本容量进行初步分析后，选取 50 组数据用于表达式的计算，剩下的 10 组数据用于对所得到的表达式进行检验。由于 B.1 中数据具有随机性，根据分层取样原理，直接选取每组编号最后的五组数据用于检验。5.2 模型建立5.2.1 模型简介01 拟合：首先令 0 为患病，1 为健康进行 01 拟合使用表 B.1 中用于求取表达式的 50 组数据，得出判别表达式。然后将用于检验的 10 组数据代入表达式，将得到的结果和 0、1 比较，若结果接近于 0，则表示患有肾炎病；若结果接近于 1，则表示健康。（结果若小于 0.5 界定为患有肾炎病，结果大于 0.5界定为健康，若结果为 0.5 则无法做出判断）FisherFisher 判别法：判别法：从两个总体中抽取具有 P 个指标的样品观测数据，借助于方差分析的思想构造一个线性判别函数。数据使用同 0 01 1 拟合拟合，对得到的结果与阈值进行比较，当结果小于阈值时界定为患有肾炎病，结果大于阈值界定为健康，若结果等于阈值则无法做出判断。5.2.2 模型建立与求解模型建立与求解0-1 拟合以就诊人员体各元素的含量ix为自变量；就诊人员是否患病y为因变量。设 0-10-1 拟合拟合模型的一般形式为：01 1223344556677yxxxxxxx（5-1）其中：y因变量，127,.,x xx为 7 个对y有显著影响的自变量，0127,.是 8 个待估参数，是随机误差项。将用于求取表达式的 50 组样本数据代入（5-1）式，通过 Mathematica软件得到表达式如下12345670.0000776994-0.01677750.001580590.0003273760.0007777760.000121325-0.0003018720.138451y x x x x x x x（5-2）将用于检验的 10 组数据代入表达式，检测结果如下表（函数值小于 0.5界定为 0 为患者，函数值大于 0.5 界定为 1 为健康人）：2/26表 5.1 0-1 拟合判断结果序号2627282930函数值0.0348946-0.0160506-0.01605060.1840690.0898412判断结果00000序号5657585960函数值1.072281.270810.8612390.6938620.448216判断结果11110FisherFisher 判别分析判别分析以就诊人员体各元素的含量ix为自变量，y为函数值，设判别式如下式：1 122ppyc xc xc x其中：系数12,pc cc确定的原则是使两组间的组间离差最大，而每个组的组离差最小，即I 组间离差平方和组内离差和最小。当建立了判别式以后，对一个新的样品值，将其 p 个指标值代入判别式中求出 y 值，然后与某个临界值（阈值）比较，就可以将该样品归某类。用 SPSS 软件对用于求取表达式的 50 组样本数据进行 fisherfisher 判别分析判别分析得到结果如下表 5.2：标准化的典型判别式函标准化的典型判别式函数系数数系数函数1Zn.061Cu-1.205Fe.372Ca1.165Mg.524K.052Na-.350表 5.2由上表可得表达式如下：12345670.061-1.2050.3721.165+0.5240.052-0.350yxxxxxxx（5-3）分类结果分类结果a a类别预测组成员合计.001.00初始计数.00300301.0042630%.00100.0.0100.03/261.0013.386.7100.0a.已对初始分组案例中的 93.3%个进行了正确分类。表 5.3如表中所述：已对初始分组案例中的 93.3%个进行了正确分类。将患病与健康两组各种元素的均值（见下表）代入以上（53）式可得出判断临界值（阈值）(1)(2)12012n yn yynn（5-4）其中：(1)y、(2)y分别表示患者样本、健康人样本因变量均值，1n、2n分别表示患者样本、健康人样本容量。采用 Excel 进行相应数据处理，得到临界值为 1267.055。组统计量组统计量类别均值标准差有效的 N（列表状态）未加权的已加权的.00Zn143.103353.680433030.000Cu12.33435.052653030.000Fe23.066713.749543030.000Ca698.1667270.195603030.000Mg113.393346.846063030.000K201.1333259.782603030.000Na526.8333300.583693030.0001.00Zn186.600029.682923030.000Cu21.923723.754923030.000Fe62.011775.778483030.000Ca2511.13331271.604493030.000Mg295.1367177.568853030.000K90.370051.318133030.000Na367.2100244.242973030.000合计Zn164.851748.274766060.000Cu17.129017.700086060.000Fe42.539257.454786060.000Ca1604.65001290.856036060.000Mg204.2650158.033036060.000K145.7517193.868896060.000Na447.0217283.212346060.000表 5.44/26得到的结果如下表 5.5：表 5.5 Fisher 判别分析结果根据表 5.5 判别函数值列与临界值比较可知：剩余用于检验的病例 26、27、28、29、30 为患病组。56、57、58、59、60 为正常组，准确度为 100%。5.3 结果分析结果分析两种方法的拟合度虽然很高，从一定程度上说明本文所给判别方法可行。然而，有些输出结果很接近临界值，表达式参数并不是很精确，样本数据并不是真实可信。机体所有元素都存在直接或者间接的联系，彼此相互影响，处于平衡状态，但通过观察数据波动图（如下），有些检测者的部分元素含量偏离均值很大，故认为检验者在化验过程中可能出现异常。我们需要采用相应方法对异常数据进行剔除。5.4 模型改进模型改进5.4.1 剔除数据在数据的处理过程中我们发现同一种元素在人体的波动性很大，为了结果的更优，我们觉得有必要对异常数据进行剔除处理。选择每一种元素中偏离所有病例号ZnCuFeCaMgKNa判别函数值判断结果2611315.847.362653.6168627552.112患病2750.511.66.360858.958.9139685.0425患病2878.614.69.742170.8133464362.8902患病29903.278.1762252.3770852498.46409患病3017828.832.499211270.21691147.0752患病5618217.324.8307324650.71093672.9165健康572112417383642873.53514564.459健康5824621.593.2211235471.71952605.2233健康5916416.138213515264.32402491.0061健康601792135156022647.93301821.4488健康5/26样本均值最大的个体进行剔除，由于异常数据的集中最终剔除 11、24、40 三组数据。5.4.2 模型改进在剔除 11、24、40 号数据，得到 0-10-1 拟合拟合修正后的判别表达式如下：1234567-0.00222911-0.001520970.002619750.0001989540.00188656-0.0001411447-0.0005738450.440798yxxxxxxx（5-4）判定结果如下表 5.6：序号2627282930函数值0.1309430.4710940.201087-0.1185730.386861判断结果00000序号5657585960函数值1.079531.337331.069910.7150120.642139判断结果11111表 5.6 0-1 拟合修正后判断结果准确率由 90%升至 100%，说明剔除工作使模型更加优化。在剔除异常数据后采用fishefisher r模型分析模型分析得到Fisher判别分析修正后的判别表达式如下：12345670.2120.1530.4930.6450.6450.0310.585yxxxxxxx（5-5）得出临界值为 852.8785ZnCuFeCaMgKNa判别值判断结果2611315.847.362653.616862773.7005患病2750.511.66.360858.958.9139341.2865患病2878.614.69.742170.813346435.7791患病29903.278.1762252.3770852-55.179患病3017828.832.499211270.2169589.222患病5618217.324.8307324650.71092049.557健康572112417383642873.53512507.201健康5824621.593.2211235471.71951469.224健康5916416.138213515264.32401318.211健康601792135156022647.9330936.4989健康表 5.7 Fisher 判别分析修正结果由结果分析表可知模型已对初始分组案例中的正确分类由 93.3%上升至 96.5%，对检验数据的判定准确率保持在 100%，剔除也使得模型更加优化。问题二问题二5.5 对待检测者结果分析5.5.1 纵向比较将就诊人员的数据代入（5-4）式，得出结果如下表 5.8 所示：6/26表 5.8 提出异常数据后 01 拟合对待测者的判断序号61626364656667686970函数值0.3855870.478520.3417740.0044760.282080.5825381.179370.3455060.2363350.795217判断结果0000011000序号71727374757677787980函数值-0.228310.1315770.2339010.6671650.5563590.3345110.6458240.5788560.551530.878191判断结果0001101111序号81828384858687888990函数值0.9257470.968370.0165181.075030.0557280.6240760.3120611.028691.540740.509404判断结果1101010111就诊人员 30 人，其中 15 人患肾炎，15 人健康，患病率为 50%。将就诊人员的数据代入（5-5）式，得出结果如下表 5.9 所示：表 5.9 提出异常数据后 Fisher 判别分析对待测者的判断序号ZnCuFeCaMgKNa判别值 判断结果6158.25.4229.73231381795134.26344患病621061.8740.5542177184427216.8724患病631520.812.51332176128646572.5341患病6485.51.73.9950362.3238762.6-90.5435患病651440.715.154779.771218.5 255.4092患病6685.71.094.279017045.8257.9 453.4837患病671440.39.1141755249.5141.5 517.6793患病681704.169.32943260155680.8 350.3903患病691760.5727.331813399.4318.8 83.53809患病701927.0632.919693431035531145.364健康711888.2822.6120823113141372136.288患病721535.8734.8328163264672.5-84.7112患病731432.8415.726512373347.5 26.22508患病7421319.136.2222024962465.8 1291.702健康7519220.123.81606156401681007.404健康7617110.530.567214547330.5 312.2575健康7716213.219.8152116636.2133984.83健康782031390.8154416298.9394.5 872.3928健康7/267916420.128.9106216147.3134.5 688.0232患病8016713.114.1227821236.596.51520.272健康8116412.918.6299319765.5237.8 1892.896健康821671527205626044.8721428.701健康8315814.4371025101180899.5 188.1843患病8413322.831.316334012282891133.68健康85169830.8106899.153817254.6099患病8624717.38.65255424177.5373.5 1535.934健康871853.931.31211190134649.8 503.2802患病882096.4386.9215728874219.8 1448.286健康891826.4961.73870432143367.5 2555.077健康9023515.623.4180616668.91881123.425健康就诊人员 30 人，其中 16 人患肾炎，14 人健康，患病率为 53.33%。5.5.2 横向比较横向比较两种方法均检验出 61、62、63、64、65、68、69、71、72、73、83、85、87 号为患者，74、75、77、78、80、81、82、84、86、88、89、90 号为健康人；而 66、67、70、76、79 得出判断结果不同。对两种方法进行横向比较结果如下表 5.10 所示：表 5.10 剔除异常数据后 01 拟合与 Fisher 判别判断结果比较序号616263646566676869700-1 拟合患病 患病 患病 患 病 患病 健康 健康 患病患病患病Fisher 判别 患病 健康 患病 患 病 患病 患病 患病 患病患病健康序号717273747576777879800-1 拟合患病 患病 患病 健 康 健康 患病 健康 健康健康健康Fisher 判别 患病 患病 患病 健 康 健康 健康 健康 健康患病健康序号818283848586878889900-1 拟合健康 健康 患病 健 康 患病 健康 患病 健康健康健康Fisher 判别 健康 健康 患病 健 康 患病 健康 患病 健康健康健康六、六、模型立与求解模型立与求解问题三问题三6.1 模型建立6.1.1 多元逐步回归向后筛选策略考虑全部自变量中按其对因变量作用大小,显著程度大小或者说贡献大小,由大到小地逐个剔除回归方程,而对那些对因变量作用显著的变量可能始终保留在回归方程。从回归方程中剔除一个变量都为逐步回归的一步,每一步都要进行 F 检验,以保证在剔除新变量后回归方程中只含有对因变量影响显著的变量,而不显著的变量已被剔除。由于有些化验指标对结果的影响并不大，为降低人力、物力成本，利用较少的、具有代表性的因子对肾炎的检测进行判断，采用多元逐步回归找出关键因素。用 SPSS 软件作多元逐步回归，得到结果汇总如下表 6.1：模型汇总模型汇总e e模型RR 方 调整 R 方 标准估计的误差更改统计量R 方更改 F 更改 df1 df2 Sig.F 更改1.844a.713.672.28895.713 17.375749.0002.844b.713.678.28609.000.015149.9033.842c.709.681.28491-.003.580150.4504.838d.701.679.28598-.0081.391151.244a.预测变量:(常量),Na,Mg,Fe,Cu,Zn,K,Ca。b.预测变量:(常量),Na,Mg,Fe,Cu,Zn,Ca。c.预测变量:(常量),Na,Mg,Fe,Zn,Ca。d.预测变量:(常量),Na,Mg,Fe,Ca。e.因变量:类别表 6.1 多元逐步回归结果汇总该表格显示逐步回归的四个模型的复相关系数（R）与决定系数（R 方）和校正的决定系数。从表中可以看出，随着引入自变量的减少，模型能解释的比率（校正的 R 方）也没有多大变化，说明可以剔除该因素的影响，此模型可以很好地找到关键因素。系数系数a a模型非标准化系数标准系数tSig.相关性共线性统计量B标准误差试用版零阶偏部分容差VIF1(常量).211.223.946.349Zn-.001.001-.107-1.001.322.444-.142-.077.5131.951Cu-.004.006-.073-.688.495.320-.098-.053.5191.926Fe.003.001.2362.962.005.330.390.227.9211.086Ca.000.000.4402.834.007.749.375.217.2434.1189/26Mg.002.001.4152.917.005.711.385.223.2903.454K6.230E-5.001.015.123.903-.339.018.009.4012.497Na-.001.000-.278-2.250.029-.310-.306-.172.3842.6072(常量).220.2061.072.289Zn-.001.001-.111-1.083.284.444-.151-.082.5521.813Cu-.004.006-.077-.761.450.320-.107-.058.5651.770Fe.003.001.2352.994.004.330.390.227.9301.075Ca.000.000.4453.004.004.749.391.228.2613.825Mg.002.001.4112.997.004.711.390.227.3053.274Na-.001.000-.268-2.874.006-.310-.376-.218.6591.5183(常量).212.2051.038.304Zn-.001.001-.119-1.180.244.444-.163-.089.5581.791Fe.003.001.2443.158.003.330.404.238.9521.051Ca.000.000.3883.052.004.749.393.230.3532.834Mg.002.001.4243.128.003.711.401.236.3103.224Na-.001.000-.290-3.287.002-.310-.418-.248.7301.3714(常量).005.106.052.959Fe.003.001.2303.000.004.330.384.227.9751.025Ca.000.000.3903.061.003.749.391.232.3532.833Mg.002.001.3632.886.006.711.372.219.3622.761Na.000.000-.242-3.082.003-.310-.393-.233.9321.073a.因变量:类别表 6.2 各个系数的检验首先剔除偏回归系数最小的 K 变量（模型 1），剩下的变量在固定了 Na,Mg,Fe,Cu,Zn,Ca 的影响后再进行分析，找到偏回归系数最小的，并进行显著性检验，只有在变量不具有统计学意义的时候才能剔除，从而依次剔出了 Cu（模型 2）、Zn（模型 3）。K 因检验不具有统计学意义，最开始便剔除。综合以上表格，可以得出逐步剔除分析的回归方程依次为：112345670.0012030.0042480.0026360.002010.0019570.0000620.0005490.21059y x x x x x x x（61）21234570.0012420.0044640.0026250.0002030.0019380.0005300.220466y x x x x x x（62）3134570.0013390.0027260.0001770.0019990.0005300.212274y x x x x x10/26（63）434570.0025670.0001780.0017140.0004780.005474y x x x x（64）最后一个方程即为最优的回归方程。从回归方程也可以看出，Na,Mg,Fe,Ca线性关系。问题四问题四6.1.2 模型建立在剔除异常数据后采用 fisherfisher 模型分析模型分析得到 Fisher 判别分析修正后的判别表达式如下：34570.4750.5650.5590.503yxxxx（65）6.2 模型求解模型求解6.2.1 模型求解模型求解采用 Excel 进行相应数据处理，得到临界值为 781.4556判断结果如下表：表 6.3 Fisher 判别分析结果FeCaMgNa判断值判断结果2647.362653.662790.7389患病276.360858.9139309.5206患病289.742170.846448.6577患病298.1762252.3852-44.00955患病3032.4992112169553.471患病5624.830732461091830.712健康571738364283512238.114健康5893.221123541951337.351健康593821351522401188.573健康60351560226330858.369健康6129.732313851315.7055患病6240.5542177427209.6295患病6312.51332176646531.9635患病643.9950362.3762.6-62.6719患病6515.154779.7218.5250.8743患病664.2790170257.9413.6513患病679.11417552141.5477.3258患病689.32943260680.8340.1196患病6927.3318133318.8106.6281患病7032.919693435531041.691健康11/267122.612082311372132.268患病7234.8328163672.5-45.3005患病7315.7265123347.551.147患病7436.22220249465.81176.389健康7523.81606156168921.395健康7630.5672145330.5308.981患病7719.81521166133894.665健康7890.81544162394.5807.6145健康7928.91062161134.5636.103患病8014.1227821296.51363.736健康8118.62993197237.81690.39健康82272056260721283.589健康83371025101899.5200.7105患病8431.316334012891016.305健康8530.8106899.1817262.4959患病868.652554241373.51393.967健康8731.31211190649.8478.4431患病8886.92157288219.81310.415健康8961.73870432367.52272.493健康9023.418061661881029.735健康问题五问题五6.2.2 模型分析模型分析将找出关键元素前后使用一样的 fisher 模型分析方法处理的结果比较如下表 6.4：序号26272829305657585960问题二患病患病患病患病患病健康健康健康健康健康问题四患病患病患病患病患病健康健康健康健康健康序号61626364656667686970问题二患病患病患病患病患病患病患病患病患病健康问题四患病患病患病患病患病患病患病患病患病健康序号71727374757677787980问题二患病患病患病健康健康健康健康健康患病健康问题四患病患病患病健康健康患病健康健康患病健康序号81828384858687888990问题二健康健康患病健康患病健康患病健康健康健康问题四健康健康患病健康患病健康患病健康健康健康由上表 6.4 可知：在剔除变量前后使用一样的 fisher 模型分析方法，实验所用的包括检验 10 组，待测 30 组数据仅有一组（76）结果出现偏差。由此显然问题三所求的的关键因素很具有说服力。12/26七、七、模型评价与推广模型评价与推广针对本题，选取了部分样本进行研究，通过 0-1 拟合和 Fisher 判别分析建立模型，并使用剩下的样本数据对结果进行检验。由于数据的波动性过大，在不影响结果的情况下对数据进行合理剔除，优化后得到拟合优度较高的模型，通过小样本检验，其准确率达到 100%。可见，该模型的可操作性很强，准确性高。在处理第三问找关键因素的过程中，本文使用多元逐步回归向后筛选策略，尽量借助软件处理，最终得到比较可靠的结果。在剔除三个因素后，使用一样的方法对于 40 组检验数据仅有 1 组出现偏差。由此可见在问题三中所见，模型具有很高的精确性。并且减少了化验指标，这有利于减少医生的工作量，提高工作效率。但考虑到该模型是在有限的样本容量下建立的，不具有代表性；而且，由于环境与就诊人员自身条件的限制以与医疗设备精度的限制，模型的准确率会受到影响。本文模型还可以推广到其他领域中去。通过对 A、B 两个总体的分析判别来预测 C 总体 A、B 中的哪一个，因此我们可以把这个模型应用病虫害的预报，疾病的预测预报，以与红细胞检测，辅助诊断等领域。参考文献参考文献1 启源 金星 叶俊。数学模型（第三版）：高等教育，2003.82薛薇。统计分析与 SPSS 的应用（第三版）：中国人民大学，20113启源 邢文训 金星 顶辉 大学数学实验。：清华大学，2005.24韵华 王新茂 Step up to Mathematica 7 实用教程。化肥：中国科学技术大学，2011.1附录：病例号ZnCuFeCaMgKNa116615.824.5700112179513218515.731.570112518442731939.8025.9541163128642415914.239.789699.2239726522616.223.860615270.321861719.299.2930718745.5257720113.326.655110149.4141814714.530.065910215468091728.857.8655175.798.43181015611.532.56391071035521113215.917.757892.4131413721218211.311.3767111264672131869.2637.195823373.0347141628.2327.162510862.4465151506.6321.06271401796391615910.711.761219098.53901711716.17.0498895.51365721818110.14.0414371841015421914620.723.8123212815010922042.310.39.7062993.74398882128.212.453.137044.14548522215413.853.36211051607232317912.217.9113915045.22182413.53.3616.813532.651.6182251755.8424.980712355.61262611315.847.362653.616862715/262750.511.66.3060858.958.91392878.614.69.7042170.81334642990.03.278.1762252.37708523017828.832.499211270.21693121319.136.2222024940.01683217013.929.8128522647.93303316213.219.8152116636.21333420313.090.8154416298.903943516713.114.1227821246.31343616412.918.6299319736.394.53716715.027.0205626064.62373815814.437.0102510144.672.53913322.831.016334011808994015613532267471090228810411698.00308106899.153.02894224717.38.65255424177.9373431668.1062.81233252134649442096.4386.9215728874.0219451826.4961.738704321433674623515.623.4180616668.81884717319.117.0249729565.82874815119.764.220314031828744919165.435.053613921376885022324.486.0360335397.74795122120.115531723681507395221725.028.223433731104945316422.235.52212281153549541738.9936.016242161032575520218.617.7378522531.067.35618217.324.8307324650.710916/265721124.017.0383642873.53515824621.593.2211235471.71955916416.138.0213515264.32406017921.035.0156022647.9330表 B.1 确诊病例的化验结果病例号ZnCuFeCaMgKNa6158.25.4229.73