函数、不等式恒成立问题经典总结.doc

1/6函数、不等式恒成立问题解法（老师用）恒成立问题的基本类型：类型 1：设)0()(2acbxaxxf，(对于任意实数 R 上恒成立)（1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a。类型 2：设)0()(2acbxaxxf（给定某个区间上恒成立）（1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型 3：min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型 4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成一、用一次函数的性质对于一次函数,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立例 1：若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求 x 的围。解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2xxm，；2/6令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以 x 的围是)231,271(x。二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a例 2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是 R，求 m 的围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为 20 恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0)1(8)1(012mmm，所以，)9,1 m。三、利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意 x 都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意 x 都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在ABC 中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，数 m 的围。解析：由 1,0(sin,0,1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf，3,1()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf，即2)(2)(BfmBfm恒成立，3,1(m例 4：（1）求使不等式,0,cossinxxxa恒成立的实数 a 的围。解析：由于函43,44),4sin(2cossinxxxxa，显然函数有最大值2，2a。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式)2,0(4,cossinxxxa恒成立的实数 a 的围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值围的变化，这样使得3/6xxycossin的最大值取不到2，即 a 取2也满足条件，所以2a。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 5：已知恒成立有时当21)(,)1,1(,)(,1,02xfxaxxfaax，数 a 的取值围。解析：由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交，则由12221)1(211aa及得到 a 分别等于 2 和 0.5，并作出函数xxyy)21(2及的图象，所以，要想使函数xax212在区间)1,1(x中恒成立，只须xy2在区间)1,1(x对应的图象在212 xy在区间)1,1(x对应图象的上面即可。当2,1aa只有时才能保证，而2110aa时，只有才可以，所以2,1()1,21a。例 6：若当 P(m,n)为圆1)1(22 yx上任意一点时，不等式0cnm恒成立，则 c 的取值围是（）A、1221cB、1212cC、12 cD、12 c解析：由0cnm，可以看作是点 P(m,n)在直线0cyx的右侧，而点 P(m,n)在圆1)1(22 yx上，实 质 相 当 于 是1)1(22 yx在 直 线 的 右 侧 并 与 它 相 离 或 相 切。12111|10|01022ccc，故选 D。同步练习同步练习1 1、设、设124()lg,3xxaf x其中其中aR，如果，如果(.1)x 时，时，()f x恒有意义，求恒有意义，求a的取值围的取值围。分析：如果(.1)x 时，()f x恒有意义，则可转化为1240 xxa恒成立，即参数分离后212(22)4xxxxa ，(.1)x 恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果(.1)x 时，()f x恒有意义1240 xxa，对(,1)x 恒成立.4/6212(22)4xxxxa (.1)x 恒成立。令2xt，2()()g ttt 又(.1)x 则1(,)2t()ag t对1(,)2t恒成立，又()g t在1,)2t上为减函数，max13()()24tg g，34a。2 2、设函数是定义在、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式上的增函数，如果不等式2(1)(2)faxxfa对于任意对于任意0,1x恒成立，数恒成立，数a的取值围。的取值围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212axxa对于任意0,1x恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：()f x是增函数2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立212axxa 对于任意0,1x恒成立210 xaxa 对于任意0,1x恒成立，令2()1g xxaxa，0,1x，所以原问题min()0g x，又min(0),0()(),2022,2gaag xgaa 即2min1,0()1,2042,2aaag xaaa 易求得1a。3 3、已知当已知当 x xR R 时，不等式时，不等式 a+cos2x5-4sinxa+cos2x5-4sinx 恒成立，数恒成立，数 a a 的取值围。的取值围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量 a 与 x，本题必须由 x 的围（xR）来求另一变量 a 的围，故可考虑将 a 与 x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解 a 的取值围。解：原不等式4sinx+cos2x-a+5当 xR 时，不等式 a+cos2x(4sinx+cos2x)设f(x)=4sinx+cos2x则22f(x)=4sinx+cos2x=-2sin x+4sinx+1=-2(sinx-1)+3 3-a+53a2方法二）题目中出现了 sinx 与 cos2x，而 cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把 sinx 换元成 t,则可把原不等式转化成关于 t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式 a+cos2x5-4sinx 可化为a+1-2sin2x5-4sinx,令 sinx=t,则 t-1,1,不等式 a+cos2x0,t-1,1恒成立。设 f(t)=2t2-4t+4-a，显然 f(x)在-1，1单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a24 4、设设 f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+2,-2ax+2,当当 x x-1,+-1,+)时，都有时，都有 f(x)f(x)a a 恒成立，求恒成立，求 a a 的取值围。的取值围。分析：在 f(x)a 不等式中，若把 a 移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设 F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.5/6)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0 时，即-2a1 时，对一切 x-1,+)，F(x)0 恒成立；）当=4（a-1)(a+2)0 时由图可得以下充要条件：,1220)1(0af即,1030)2)(1(aaaa得-3a-2;综上所述：a 的取值围为-3，1。5 5、当、当 x x(1,2)(1,2)时，不等式时，不等式(x-1)(x-1)2 2logloga ax x 恒成立，求恒成立，求 a a 的取值围。的取值围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解 a 的取值围。解：设 T1:()f x=2(1)x,T2:()logag xx,则 T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 x(1,2),()f x1,并且必须也只需(2)(2)gf故 loga21,a1,10,若将等号两边分别构造函数即二次函数 y=x2+20 x 与一次函数 y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 T1：y1=x2+20 x=（x+10）2-100,T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值 8，而截距不定的直线，要使 T1和 T2在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于 l1和 l2之间。（包括 l1但不包括 l2)当 直 线 为 l1时，直 线过 点（-20，0）此时 纵截 距为-6a-3=160,a=6163;当直线为 l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=21a 的围为6163，21）。7 7、对于满足、对于满足|p|p|2 2 的所有实数的所有实数 p,p,求使不等式求使不等式 x x2 2+px+12p+x+px+12p+x 恒成立的恒成立的 x x 的取值围。的取值围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了 p 的围要求 x 的相应围，直接从 x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述问题即-1oxyxyo12y1=(x-1)2y2=logaxxyl1l2l-20o6/6可转化为在-2，2关于 p 的一次函数函数值大于 0 恒成立求参变量 x 的围的问题。解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)0 在 p-2,2上恒成立，故有：方法一：10(2)0 xf 或10(2)0 xf x3.方法二：(2)0(2)0ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或x3.oy2-2xy-22x