电磁场与电磁波复习资料(重大通信版).doc

电磁波复习参考内容标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量用坐标分量表示矢量的混合运算 分配律 分配律 标量三重积 矢量三重积 1. 电荷体密度电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度来描述其分布根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为 2. 电荷面密度若电荷分布在薄层上的情况，当仅考虑薄层外，距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示。 单位: C/m2 (库仑/米2) 如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q 为3. 电荷线密度 在电荷分布在细线上的情况，当仅考虑细线外，距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。 单位: C/m2 (库仑/米2) 如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q 为 4. 点电荷点电荷的电荷密度表示电流 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即说明：电流通常时时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定 电流，用I 表示。形成电流的条件： 存在可以自由移动的电荷 存在电场1、 体电流电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流，用电流密度矢量 J 来描述。单位：A/m2 。流过任意曲面S 的电流为2、面电流电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量 来描述其分布单位：A/m。 通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。电流连续性方程积分形式 说明 流出闭曲面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量微分形式 恒定电流的连续性方程说明恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点电场强度矢量 描述电场分布的基本物理量 试验正电荷 空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即根据上述定义，真空中静止点电荷q 激发的电场为：1. 静电场散度与高斯定理静电场的散度（微分形式） 静电场的高斯定理（积分形式）高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止于负电荷。2. 静电场旋度与环路定理静电场的旋度（微分形式） 静电场的环路定理（积分形式）环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径 无关。 1. 安培力定律 实验表明，真空中的载流回路C1对载流回路C2的作用力2、磁感应强度 电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度 B ，单位为T（特斯拉）。 由安培定律 3. 几种典型电流分布的磁感应强度载流直线段的磁感应强度：有限长 无限长载流圆环轴线上的磁感应强度：恒定场的散度（微分形式） 磁通连续性原理（积分形式）磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和终点的闭合曲线。恒定磁场的旋度与安培环路定理 恒定磁场的旋度（微分形式） 安培环路定理（积分形式） 安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁 场的旋涡源。2.4 媒质的电磁特性 媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化、磁化和传导。描述媒质电磁特性的参数为：介电常数、磁导率和电导率。 1. 电介质的极化现象 电介质的分子分为无极分子和有极分子。在电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，有极分子固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有分子的极化称为取向极化。2. 极化强度矢量P的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。 极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、各向同性的电介质中， 与电场强度成正比，即 电介质的电极化率 4. 电位移矢量 介质中的高斯定理介质的极化过程包括两个方面：1 外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；2 极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：介质中的高斯定理 积分形式即任意闭合曲面电位移矢量 D 的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和 小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为 5. 电介质的本构关系极化强度P与电场强度E之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，P和E有简单的线性关系在这种情况下2.4.2 磁介质的磁化 磁场强度在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的磁化。2. 磁化强度矢量M 磁化强度 M 是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即单位为A/m。4. 磁场强度 介质中安培环路定理 外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度B 应是所有电流源激励的结果： 分别是传导电流密度和磁化电流密度。 定义磁场强度 H 为：则得到介质中的安培环路定理为：磁通连续性定理为小结：恒定磁场是有源无旋场，磁介质中的基本方程为 5. 磁介质的本构关系磁化强度 M 和磁场强度H 之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质， M 与 之间存在简单的线性关系：X称为介质的磁化率此时对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量 J 和电场强度 E 成正比，表示为这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数 称为媒质的电导率，单位是S/m（西门子/米）。电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场位移电流 揭示时变电场产生磁场重要结论： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一 的电磁场。对感应电场的讨论：感应电场是由变化的磁场所激发的电场； 感应电场是有旋场； 感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的空间； 对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C ，都有 推广的法拉第电磁感应定律全电流定律：全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。位移电流密度电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流； 在理想导体中，无位移电流，但有传导电流； 在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场的基本方程 各向同性线性媒质的本构关系为代入麦克斯韦方程组中，有：均匀媒质时时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体 电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。在无源空间中，两个旋度方程分别为可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。2.7.1 边界条件一般表达式电位的微分方程在均匀介质中，有在无源区域，3.1.4 静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。2. 电场能量密度从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。对于线性、各向同性介质，则有电场能量密度：电场的总能量：虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移dgi，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 恒定电场与静电场重要区别： （1）恒定电场可以存在导体内部。 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。恒定电场与静电场的比拟如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量y 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定。A，并称为库仑规范。 磁矢位的微分方程矢量泊松方程在无源区：矢量拉普拉斯方程· 标量磁位的边界条件2. 自感设回路C中的电流为I，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为Y，则磁链Y 与回路 C 中的电流 I 有正比关系，其比值称为回路 C 的自感系数，简称自感特点自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关。粗导体回路的自感：L = Li + Lo 内自感； 外自感3. 互感对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2 ，当回路C1中通过电流 I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链Y12也与I1成正比，其比例系数称为回路C1 对回路C2 的互感系数，简称互感。互感的特点：互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，而与电流无关。满足互易关系，即M12= M214. 纽曼公式在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势作功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。2. 磁场能量密度从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。磁场能量密度：磁场的总能量：对于线性、各向同性介质，则有3.4.2 惟一性定理在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一值。 · 惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据· 结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。镜像法的原理用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。4. 镜像法应用的关键点镜像电荷的确定像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素” ；等效求解的“有效场域”。确定镜像电荷的两条原则像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域 的边界条件来确定。3.6 分离变量法 将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。分离变量法的理论依据是惟一性定理4.1 波动方程麦克斯韦方程组 波动方程在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有电磁波动方程 应用洛仑兹条件的特点： 位函数满足的方程在形式上是对称的，且比较简单，易求解； 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度； 矢量位只决定于J，标 量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需解出 就可得到待求的电场和磁场。电场能量密度：磁场能量密度：电磁能量密度：空间区域V中的电磁能量： 特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动 · 坡印廷定理表征电磁能量守恒关系的定理微分形式：积分形式：物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。 · 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）定义： ( W/m2 )物理意义： S的方向 电磁能量传输的方向S的大小 通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率· 时谐电磁场的概念如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。· 有关复数表示的进一步说明复数式只是数学表示方式，不代表真实的场真实场是复数式的实部，即瞬时表达式例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关的部份就可表示复矢量式中 试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。解：（1）因为故电场的复矢量为（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量磁场强度瞬时值4.5.4 亥姆霍兹方程 在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。瞬时矢量复矢量理想介质导电媒质例4.5.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为 ，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度复矢量H ；（2）瞬时坡印廷矢量S ；（3）平均坡印廷矢量Sav 。解：（1）由得（2）电场和磁场的瞬时值为瞬时坡印廷矢量为（3）平均坡印廷矢量为或直接积分，得例 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为其中E0、H0 和 k 为常数。求：(1) w 和 wav ；(2) S 和 Sav。解:(1)由于所以（）例4.5.6 已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为式中H0 、都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。解：（1） E 和 H 的瞬时值为所以瞬时坡印廷矢量（2）平均坡印廷矢量相位常数 k ：表示波传播单位距离的相位变化真空中由于 故例5.1.1 频率为9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其为无耗材料，相对介电常数为r =2.26。若磁场的振幅为7mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。解：由题意因此例5.1.2 均匀平面波的磁场强度的振幅为 A/m，以相位常数为30 rad/m 在空气中沿 方向传播。当t = 0 和 z = 0时，若 取向为 ，试写出 和 的表示式，并求出频率和波长。 解：以余弦为基准，直接写出因 故则例5.1.4 自由空间中平面波的电场强度求在z =z0处垂直穿过半径R =2.5m的圆平面的平均功率。解：电场强度的复数表示式为自由空间的本征阻抗为故得到该平面波的磁场强度于是，平均坡印廷矢量垂直穿过半径R =2.5m的圆平面的平均功率5.2.2 线极化波 或特点：合成波电场的大小随时间变化但其矢端，轨 迹与x轴的夹角始终保持不变。 结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波，当它们的相位相同或相差为± 时，其合成波为线极化波。5.2.3 圆极化波条件特点：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变化，电场的矢端在一个圆上并以角速度 旋转结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波，当它们的振幅相同、相位差为±/ 2 时， 其合成波为圆极化波。右旋圆极化波：若xy/2，则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系，称为右旋圆极化波 左旋圆极化波：若xy/2，则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波5.2.4 椭圆极化波特点：合成波电场的大小和方向都随时间改变，其端点在一个椭圆上旋转导电媒质的典型特征是电导率s 0电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流 J =s E 存在，同时伴随着电磁能量的损耗电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同5.3.1 导电媒质中的均匀平面波 波动方程 导电媒质中均匀平面波的传播特点电场强度E、磁场强度H与波的传播方向相互垂直，是横电磁波（TEM波）；媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场不同相位，磁场滞后于电场f 角；在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；波的传播速度（相度）不仅与媒质参数有关，而与频率有关（有色散）。 趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。 趋肤深度（d）：电磁波进入良导体后， 其振幅下降到表面处振幅的1/e 时所传播的距离。即 例5.3.2 载频为 f =100kHz 的窄频带信号在海水中传播，试求群速。解：海水的参数：s = 4S/m、 er =81、mr =1，当 f = 100kHz时，有 可视为良导体 例 6.3.1 一圆极化波以入射角i/ 3 从媒质1（参数为=0、40 ）斜入射至空气。试求临界角，并指出此时反射波是什么极化？解：临界角为可见入射角i/ 3大于临界角c/ 6 ，此时发生全反射。入射的圆极化波可以分解成平行极化与垂直极化的两个线极化波，虽然两个线极化波的反射系数的大小此时都为1，但它们的相位差不等于±/ 2，因此反射波是椭圆极化波。例6.3.3 一平面波从介质1 斜入射到介质与空气的分界面，试计算：（1）当介质1分别为水r 81、玻璃r 9 和聚苯乙烯r 1.56 时的临界角c ；（2）若入射角i = b ，则波全部透射入空气。上述三种介质的i =？解：介质 临界角 布儒斯特角 水玻璃聚苯乙烯6.4.1 垂直极化波对理想导体表面的斜入射 设媒质1为理想介质，媒质2 为理想导电体，即则媒质 2 的波阻抗为得到此结果表明，当平面波向理想导体表面斜投射时，无论入射角如何，均会发生全反射。因为电磁波无法进入理想导体内部，入射波必然被全部反射。 例6.4.2 已知空气中磁场强度为 的均匀平面波，向位于z =0处的理想导体斜入射。求：（1）入射角；（2）入射波电场；（3）反射波电场和磁场；（4）合成波的电场和磁场；（5）导体表面上的感应电流密度和电荷密度。解：（1）由题意可知，所以故入射角为（2）入射波电场为（3）反射波矢量为故反射波磁场和电场分别为（4）合成波的电场为合成波的磁场为（5）导体表面上的感应电流密度和电荷密度分别为导波的分类q 如果 Ez= 0， Hz= 0，E、H 完全在横截面内，这种被称为横电磁波，简记为 TEM 波，这种波型不能用纵向场法求解；q 如果 Ez ¹ 0， Hz= 0 ，传播方向只有电场分量，磁场在横截面内，称为横磁波，简称为 TM 波或 E 波；q 如果 Ez= 0， Hz ¹ 0 ，传播方向只有磁场分量，电场在横截面内，称为横电波，简称为 TE 波或 H 波。q 结论：在矩形波导中，TE10模的截止频率最低、截止波长最 长。7.2.3 矩形波导中的主模· 主模：截止频率最低的模式· 高次模：除主模以外的其余模式· 在矩形波导中（a > b ）：主模为TE10 模若a > 2b ，TE20 模为第一个高次模若b < a < 2b ，TE01 模为第一个高次模· TE10 模（主模）的传播特性参数· 单模传输条件由设计的波导尺寸实现单模传输。· 截止波长相同时，传输TE10 模所要求的 a 边尺寸最小。同时 TE10 模的截止波长与 b 边尺寸无关，所以可尽量减小 b 的尺寸以节省材料。但考虑波导的击穿和衰减问题，b 不能太小。· TE10 模和TE20 模之间的距离大于其他高阶模之间的距离，TE10 模波段最宽。对于一定比值a/b，在给定工作频率下TE10模具有最小的衰减。近区场的特点：（1）电场表达式与静电偶极子的电场表达式相同；磁场表达式与用毕奥一萨伐定律计算的恒定电流元产生的磁场表达式 相同。因此称其为似稳场或准静态场。（2）电场和磁场存在p2的相位差，能量在电场和磁场以及场 与源之间交换，没有辐射，所以近区场也称感应场。远区场的特点：远区场是横电磁波，电场、磁场和传播方向相互垂直远区场电磁场振幅比等于媒质的本征阻抗远区场是非均匀球面波，电磁场振幅与1/r 成正比远区场具有方向性，按 sin变化电偶极子周围的空间划分为三个区域： 近场区 远场区 过渡区时谐电磁场的位函数16