2021-2022学年河南省豫北名校高二下学期4月份教学质量检测数学（理）试题解析.doc

2021-2022学年河南省豫北名校高二下学期4月份教学质量检测数学（理）试题一、单选题1若复数满足，则（       ）ABCD【答案】C【分析】运用复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.【详解】由，所以，故选：C2下列有关命题的说法正确的是(          )A若，则B“”的一个必要不充分条件是“”C若命题：，则命题：，D、是两个平面，、是两条直线，如果，那么【答案】C【分析】A：根据向量加法的性质即可判断；B：根据充分条件的概念即可判断；C：根据含有一个量词的命题的否定的改写方法判断即可；D：根据空间线面关系即可判断.【详解】A：若，则方向相反且，故A错误；B：若，则，故“”是“”的充分条件，故B错误；C：命题：，则其否定为：，故C正确；D：如果，则无法判断、的位置关系，故D错误.故选：C.3在一次“剧本杀”游戏中，甲乙丙丁四人各自扮演不同的角色，四人发言如下：甲：我扮演警察；乙：我扮演路人；丙：我扮演嫌疑犯；丁：我扮演路人嫌疑犯受害者当中的一个.若其中只有1人说谎，则说谎的人可能是（       ）A甲或丁B乙或丙C甲或乙D丙或丁【答案】B【分析】分别假设甲、乙、丙、丁说谎，判断是否符合题意即可.【详解】假设甲说谎，乙、丙、丁没说谎，则乙扮演路人，丙扮演嫌疑犯，丁只能扮演受害者，甲只能扮演警察，与假设矛盾，不符合题意；假设乙说谎，甲、丙、丁没说谎，甲扮演警察，丙扮演嫌疑犯，则丁可以扮演路人或者受害者，因为乙说谎，乙不扮演路人，所以乙扮演受害者，丁扮演路人，符合题意；假设丙说谎，甲、乙、丁没说谎，甲扮演警察，乙扮演路人，则丁扮演嫌疑犯或者受害者，因为丙说谎，丙不扮演嫌疑犯，所以丙扮演受害者，丁扮演嫌疑犯,符合题意；假设丁说谎，甲、乙、丙没说谎，则丁扮演警察，因为甲没说谎，甲也扮演警察，与题设矛盾，不符合题意；综上所述乙和丙可能说谎.故选：B.4已知双曲线的一条渐近线过点（2，1），则此双曲线的离心率为（       ）ABCD【答案】C【分析】利用双曲线的渐近线方程，代入点的坐标，然后求解双曲线的离心率即可.【详解】因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为，因此，点（2，1）在直线上，可得，所以双曲线的离心率为.故选：C.5如图，在四面体中，点M、N分别在线段OA、BC上，且，则等于（       ）ABCD【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图形即可得解.【详解】根据题意可得:故选：D.6椭圆中以点为中点的弦所在直线方程为（       ）ABCD【答案】A【分析】利用点差法求出斜率，即可求出直线方程.【详解】设点为中点的弦的端点，则有：，两式相减得：，因为为中点，所以，所以斜率，所以所求直线方程为：，即.故选：A7（       ）ABCD【答案】C【分析】结合几何意义求得定积分.【详解】，.，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.在圆上，所以，所以.所以.故选：C8直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（       ）AB1CD2【答案】B【分析】设，得到，用导数法求解.【详解】解：设，则，令，则，函数在上单调递减，在上单调递增，时，函数的最小值为1，故选：B9将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（       ）A1860种B3696种C3600种D3648种【答案】D【分析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.【详解】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.故选：D10已知函数，若对任意两个不等的正实数，都有，则实数的最小值为（       ）ABCD【答案】B【分析】不妨设，由题意，可得，构造函数，则在上单调递增，从而有在上恒成立，分离参数转化为最值即可求解.【详解】解：由题意，不妨设，因为对任意两个不等的正实数，都有，所以，即，构造函数，则，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，当时，因为，所以，所以，实数的最小值为.故选：B.11已知函数与的图象上恰好存在唯一一对关于直线对称的点，则实数的取值范围是（       ）ABCD【答案】B【分析】根据指对数函数的图象可知，与关于直线对称，则将原条件等价于函数与恰好存在唯一交点，分离常数后，转化为直线与有唯一的交点，构造新函数，并利用导数研究函数的单调性，结合，且当时，画出函数的大致图象，结合图象即可得出实数的取值范围.【详解】解：根据指对数函数的图象可知，与关于直线对称，所以函数与的图象上恰好存在唯一一对关于直线对称的点，等价于函数与恰好存在唯一交点，令，则，所以直线与有唯一的交点，设，则，在上，单调递增，在上，单调递减，而，且当时，所以当时，当时，则函数的大致图象，如下图所示，故或满足条件，所以实数的取值范围是.故选：B12已知双曲线与圆在第二象限相交于点分别为该双曲线的左、右焦点，且，则该双曲线的离心率为(       )ABCD2【答案】C【分析】根据正弦定理得，结合双曲线定义可求，可判断为直角三角形，故可求M点坐标，将M点坐标代入双曲线方程即可求得a与b关系，故而求出离心率的值.【详解】在中，由正弦定理知，又，在中，.设，则由等面积得：，即，在上，在上，即，即，即，即，即，即，即，.故选：C.二、填空题13曲线在点处的切线方程为_【答案】【分析】利用导数的几何意义得出切线方程.【详解】，点在曲线上，即切线方程为故答案为：14在正方体中，直线与平面所成角的大小为_【答案】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的大小.【详解】解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、，设平面的法向量为，由，取，可得，因此，直线与平面所成角的大小为.故答案为：.15将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有_种【答案】150【分析】先分组，在分配，分组问题必须考虑去除重复.【详解】5个人，分成3组，共有2种分法，即1，1，3和2，2，1，共有 种，再分配 种；故答案为：150.16已知，分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，M是它们的一个公共点，且，则的最大值为_【答案】【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理找到的关系，然后利用三角换元求最值即可.【详解】解析：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为，半焦距为c，设，因为，所以由余弦定理可得，在椭圆中，化简为，即，在双曲线中，化简为，即，联立得，即，记，则，当且仅当，即，时取等号故答案为：.三、解答题17已知，：，：.(1)若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【分析】(1)化简命题p，将m=3代入求出命题q，再根据或、且连接的命题真假确定p，q真假即可得解；(2)由给定条件可得p是q的必要不充分条件，再列式计算作答.【详解】(1)依题意，：，：，得：.当时，：，因为真命题，为假命题，则与一真一假，当真假时，即或，无解，当假真时，即或，解得或，综上得：或，所以实数x的取值范围是；(2)因是的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件，于是得，解得，所以实数m的取值范围是18在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.求项数；求展开式中的常数项与二项式系数最大的项.【答案】；，.【分析】等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得；写出二项展开式的通项，由的指数为求得可得常数项，再据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项.【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，第一项系数为，第二项系数为，第三项系数为，前三项系数的绝对值分别为，因为前三项系数的绝对值成等差数列，即，求得（舍去），或.二项式，由可知，它的通项公式为，令，可得，故展开式的常数项为.二项式系数为，故当时，二项式系数最大，故第五项二项式系数最大，该项为.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.19证明：(1)若，则；(2)求证：当为正数时，.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】（1）利用分析法证明；（2）利用基本不等式法证明.【详解】(1)证明：因为，所以，所以，要证，只需证，只需证，只需证，即证，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故当时，成立.(2)因为为正数，所以，当且仅当时，等号成立，故当为正数时，.20如图，在四棱锥中，四边形ABCD为矩形，平面平面ABE，F为棱CE的中点，P为棱AB上一点（不含端点）(1)求证：平面ACE；(2)若平面PCE和平面ACE所成锐二面角的余弦值为，求AP的长【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，可证BC平面ABE，根据线面垂直的性质定理、判定定理，可证AE平面BCE，再利用线面垂直性质定理、判定定理，即可得证（2）如图建系，求得各点坐标，设，可得的坐标，分别求得平面CPE的法向量为，平面ACE的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案.【详解】(1)平面ABCD平面ABE，BCAB，平面平面，BC平面ABE，又平面ABE，BCAE在中，根据勾股定理可得AEBE，又，AE平面BCE，平面BCE，AEBF在中，F为CE的中点，BFCE，又，BF平面ACE(2)以E为坐标原点，分别以EB，EA所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，设平面CPE的法向量为，且，则由,得，令，从而BF平面ACE，为平面ACE的一个法向量由题意，或（舍去），21在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：上一点到焦点F的距离.不经过点S的直线l与E交于A，B.(1)求抛物线E的标准方程；(2)若直线AS，BS的斜率之和为2，证明：直线l过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用抛物线的定义即可求出p；（2）根据斜率公式，韦达定理列方程求出直线方程即可.【详解】(1)抛物线D：的焦点，准线方程为，因为抛物线上一点到焦点F的距离，由抛物线的定义得，所以.所以抛物线E的标准方程是；(2)将代入可得或（舍），所以点S坐标为，由题意直线l的斜率不等于0，设直线l的方程是，联立，得，由韦达定理得，因为直线，的斜率之和为2，所以，所以，将代入上式可得 ，所以直线l的方程是，显然它过定点.22已知函数，.(1)若，求的单调区间；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2).【分析】（1）把代入函数解析式中得，对函数进行求导即可得到的单调区间.（2）恒成立等价于恒成立，令，则.当时，符合题意，当时，对函数判断单调性，即可得到，即可求出答案.【详解】(1)当时，则.当时，因为，且，所以，所以，单调递减.当时，因为，且，所以，所以，单调递增.所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)恒成立等价于恒成立，令，则.当时，在区间上恒成立，符合题意；当时，令，即在上单调递增，则存在，使得，此时，即，则当时，单调递减；当时，单调递增.所以.令，得.因为，所以.综上，实数a的取值范围为.【点睛】本题考察了利用导数判断函数的单调性和隐零点问题，属于难题.第 17 页 共 17 页