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第三节 初等函数,一、指数函数,二、对数函数,三、乘幂 ab 与幂函数,四、三角函数和双曲函数,五、反三角函数和反双曲函数,六、小结与思考,一、指数函数,1.指数函数的定义:,指数函数的定义等价于关系式:,2. 加法定理,证,例1,解,例2,解,求出下列复数的辐角主值:,例3,解,二、对数函数,1. 定义,其余各值为,特殊地,例1,解,注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,例2,解,2. 性质,证 (3),证毕,三、乘幂 与幂函数,1. 乘幂的定义,注意:,特殊情况:,例3,解,答案,课堂练习,例4,解,2. 幂函数的解析性,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,四、三角函数和双曲函数,1. 三角函数的定义,将两式相加与相减, 得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,例5,解,有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式,正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.,(注意：这是与实变函数完全不同的),其他复变数三角函数的定义,例6,解,例7,解,2. 双曲函数的定义,它们的导数分别为,并有如下公式:,它们都是以 为周期的周期函数,五、反三角函数和反双曲函数,1. 反三角函数的定义,两端取对数得,同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:,2. 反双曲函数的定义,例8,解,六、小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:,1. 指数函数具有周期性,2. 负数无对数的结论不再成立,3. 三角正弦与余弦不再具有有界性,4. 双曲正弦与余弦都是周期函数,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,思考题答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.,最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中,放映结束，按Esc退出.,