2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中质量检测数学（理）试题.doc
长安一中20212022学年度第二学期中质量检测高二数学（理科）试题时间：120分钟 总分：150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1若复数满足，则的虚部等于（ ）A-4B-2C2D42已知集合， ，则（ ）ABCDPQ3设命题，；命题q：若，对任意恒成立，则下列命题中为真命题的是（ ）ABCD4已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）ABCD5在正方体，分别为与的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）ABCD6北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念两者一经发布，深受大家喜爱某校为了加强学生对体育的热情，委派小陈、小刘、小孙、小王、小赵、小张人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（ ）种ABCD7把函数的图像向右平移个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，则下列说法不正确的是（ ）A函数的最小正周期为； B函数的最大值为2；C函数在区间上单调递增； D函数的图象关于直线对称.8在区间(0，)上随机取一个数，使得成立的概率是（ ）ABCD9如图所示，为测量两塔塔尖之间的距离，若平面，平面，选择地面点C为测量观测点，测得，则塔尖之间的距离为（ ）ABCD10设，若为函数的极小值点，则（）A B C D11设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD12设，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知抛物线的准线经过椭圆的焦点，则_14已知向量，且，则实数_15某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是_16平面四边形中，则面积的最大值为_.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：良好以下良好及以上合计男25女10合计70100(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率附：，0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82818如图，三棱柱中，平面，分别是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19已知数列的前n项和（），数列的前n项和（）（1）求数列的前n项和；（2）求数列的前n项和20已知点A(0，2)，椭圆C： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆C的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程；(2)设过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求直线l的方程21已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；(3)当时，证明：.（二）选考题，共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22在直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求圆的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）设直线与圆相交于，两点，求圆在，处两条切线的交点坐标选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围长安一中20212022学年度第二学期中质量检测高二数学（理科）参考答案1B 2D 3A 4A 5C 6C 7D.8 A9C.10D 11D12A131421530+6 1617 (1)良好以下良好及以上合计男252045女451055合计7030100所以，所以有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.(2)根据题意，抽取了9人中男生有6人，女生有3人；设事件表示9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，抽到的3人全是男生，所以，故从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率为：.18（1）由题知可以B为原点，分别以BC,BA,BB1为x,y,z轴建系如图所示则有A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),E(0,0,1),F(1,1,2)，故有： 由：知：即（2）假设平面AEF的法向量为由不妨假设，则 又平面ABC的法向量 即所成锐二面角的余弦值为19（1）当时，；当时，经检验，对也成立综上可得，（2）当时，；当时， 经检验，对也成立综上可得设数列的前n项和，两式相减可得，20（1）设，因为直线的斜率为，所以，. 又解得，所以椭圆C的方程为.（2）解：设，由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离，所以，设，则，当且仅当，即，解得时取等号，满足,所以的面积最大时直线的方程为：或.21 (1)当时，切点为，斜率，.曲线在点处的切线方程为，即.(2)由，得恒成立，令，则，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以的最小值为，所以，即，故的取值范围是；(3)由（2）知时，有，所以.要证，可证，只需证.先证，构造函数，则，由得，由得，在上单减，在上单增，故（当且仅当时取等号），从而当时，.故当时，成立.要证，可证.构造函数，则，由得，由得，在上单增，在上单减，故，即（当且仅当时取等号），从而当时，.由于，所以，所以，综上所述，当时，证明：.22（1）圆的方程可变为，所以圆的极坐标方程为即；直线的极坐标方程可变为，所以直线的直角坐标方程为即；（2）由题意联立方程组，解得或，不妨设点，设过，处的切线分别为，圆的圆心为，半径为，易得，由直线的斜率可得直线的斜率，所以直线的方程为即，由可得，所以圆在，处两条切线的交点坐标为.23（1）由得，则，得，解得或，因此，不等式的解集为；（2）不等式对恒成立，即，即恒成立，由绝对值三角不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，解得，则或.因此，实数的取值范围是.10
