广东省广州市执信中学2023届高三上学期第二次月考数学试卷含答案.pdf

1 广州市执信中学广州市执信中学 2023 届高三年级第二次月考届高三年级第二次月考 数数 学学 第一部分第一部分 选择题（共选择题（共 60 分）分）一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 集合ixzRxA2|+=的实部为 0，|,By yx xA=，3|=mZmC，i为虚数单位，则BCC为()A2,1,1,2 B1,1,2 C.1,1 D2,2 2己知抛物线)0(22=ppxy的准线与圆07622=+xyx相切，则p的值为()A21 B1 C2 D4 3己知集合012|+=xxxA，Ax一个必要条件是ax，则实数a的取值范围为()A0a B1a C2a D1a 4已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为 3，体积为 6，则这个球的表面积为()A16 B20 C24 D32 5小桦班的数学老师昨天组织了一次小测，老师给了小桦满分 100 分，但实际上小桦有一处表述错误，告诉了小岍和小江，这一处错误需要扣 4 分，这一处错误小桦自己不会告诉老师，小岍有32的可能告诉老师，小江有41的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小桦的听写本上的得分期望=)(XE()A3298 B98 C3289 D97 6若32125cos=）（，则2sin2cos3的值为()A95 B95 C910 D910 7设正实数zyx、满足03422=+zyxyx，则zxy的最大值为()A0 B1 C2 D3 2 8 在ABC中，角CBA,所对的边分别为cba，若ABCsinsin32sin=，ab=，则实数的最小值是()A323 B323+C32 D32+二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的不得分分，有选错的不得分 9下列命题中，真命题的是()A若回归方程6.045.0+=xy，则变量y与x正相关 B线性回归分析中相关指数2R用来刻画回归效果，若2R值越小，则模型的拟合效果越好 C若样本数据1021,xxx的方差为 2，则数据12,12,121021xxx方差为 8 D一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”10已知nm,是空间中两条不同的直线，,为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是()A若m，则m B若m，n，则nm C若m，m，则/m D若m=，mn，则n 11已知双曲线)0,0(12222=babyax的一条渐近线方程为02=yx，双曲线的左焦点在直线05=+yx上，BA、分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PBPA，的斜率分别为21kk，则21kk+的取值可能为()A43 B1 C34 D2 12若)(xf图象上存在两点BA，关于原点对称，则点对,BA称为函数)(xf的“友情点对”（点对,BA与,AB视为同一个“友情点对”）若=0,0,)(23xaxxexxfx恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是()A0 B20201 Ce1 D20231 第二部分第二部分 非选择题（共非选择题（共 90 分）分）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13不等式xx1的解集为 14已知向量ba，满足1|=a，2|=b，)2,3(=ba，则|2|ba等于 3 15 已知21PP，是曲线|ln|2:xyC=上的两点，分别以21,PP为切点作曲线C的切线,21ll 且21ll，切线1l交y轴于A点，切线2l交y轴于B点，则线段AB的长度为 16对于集合 A，B，定义集合|BxAxxBA=且.己知等差数列na和正项等比数列nb满足41=a，21=b，nnnbbb212+=+，233+=ba。设数列na和nb中的所有项分别构成集合 A，B，将集合 A-B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列nc，则数列nc的前 30 项和=30S .四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)己知二次函数函数cbxxxf+=2)(2过点)2,0(，且满足)2()1(ff=.(1)求函数)(xf的解析式；(2)解关于x的不等式：)()12()(Raxaxf.18(12 分)如图，在ABC中，2=AB，02cos2sin32=BB，且点D在线段BC上 (1)若32=ADC，求AD的长；(2)若DCBD2=，24sinsin=CADBAD，求ABD的面积 19(12 分)如图，三棱柱111CBAABC 中，D是AB的中点(1)证明：/1BC面CDA1；(2)若ABC是边长为 2 的正三角形，且1BBBC=，=601CBB，平面ABC平面CCBB11求平面CDA1与侧面CCBB11所成二面角的正弦值 20（12 分）2020 年 1 月 15 日教育部制定出台了关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（也称“强基计划”），意见宣布：2020 年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节，己知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为21，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为61，53，m，其中10 m.(1)若53=m分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求m的范围 4 21（12 分）如图，已知点A是抛物线)0(22=ppxy在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，且AF垂直于x轴，过A作圆)10()1(:222=+rryxB的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于NM，两点，且直线AB的斜率为 4(1)求抛物线的方程及 A 点坐标；(2)问：直线MN是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由 22(12 分)已知函数xexfxsin)(+=（其中71828.2=e为自然对数的底数）(1)求证：当),1+x时，21)(xf；(2)若不等式1)(+axxf对Rx成立，求实数a的值.5 数学参考答案数学参考答案 单选题：单选题：1-8 题题 ACBA DCBC 9CD 10ABD 11.CD 12BD 5【解析】由题意可知X的可能取值为：96，100，则434113211)96(=XP，41411321)100(=XP，因此，97411004396)(=+=XE.7【解析】2234yxyxz+=，则134213413422=+=+=xyyxxyyxyxyxxyzxy，当且仅当02=xy时取等号，故zxy的最大值为 1故选：B 8【解析】由ABCsinsin32sin=，可得Abcsin32=，由余弦定理得：Abccbacos2222+=，两式结合得：AAbbbAbacossin322sin122222+=，即AAAAba2sin322cos672sin321sin12222=+=，即)32sin(34722+=Aba，),0(A，则当127=A时，347)(max22+=ba，则 3473471)(min22=+=ab，故由ab=可得其最小值为32347=.11【答案】CD【解析】双曲线)0,0(12222=babyax的一条渐近线方程为02=yx，可得ab2=，双曲线的左焦点在直线05=+yx上，即5=c，由522=+ba，解得2=a，1=b，双曲线的方程为1422=yx，由题意可得)0,2(A，)0,2(B，设),(nmP，可得1422=nm，即有41422=mn，可得414222221=+=mnmnmnkk，0,21kk，则122121=+kkkk，由BA，为左右顶点，可得21kk=，则121+kk.12【答案】【答案】BD【解析】若)(xf有两个友情点对，则0a且xexy3=与2axy=在0 x 时有两个交点，则23axexx=，xexa=，即ay=与xexy=在0 x时有两个交点，对于xexy=，得xexy=1，当)1,0(x时，xexy=单调递增，当),1(+x时，xexy=单调递减，1=x，ey1max=，又0 x时，0y，+x 时，0y，)(xf的大致图象为：6 要使ay=与xexy=在0 x时有两个交点，则)1,0(ea，即)0,1(ea故选.BD 13)1()0,1(+1422 152ln44 161632.17【解析】(1)函数cbxxxf+=2)(2过点)2,0(，2)0(=f，所以2=c，即22)(2+=bxxxf，因为)2()1(ff=，所以)(xf的对称轴为21=x，所以21=b，解得21=b，故2)(2+=xxxf.(2)由(1)，022)()12()(2+axxRaxaxf.当0842=a，即22a时，方程0222=+axx无解，此时解集为；当0842=a，即2=a时，方程0222=+axx有两个相等的实数根，当2=a时，解集为：2；当2=a时，解集为：2；当0842=a，即2a或2a时，方程0222=+axx有两个根为221=aax，222+=aax，不等式0222+axx的解集为 22|22+aaxaax 综上，22a时，不等式的解集是；当2=a时，不等式的解集为 2；当2=a时，不等式的解集为2；当2a或2a时，不等式的解集为：22|22+aaxaax.18 【解 析】(1)02cos2sin32=BB，02cos2)cos1(32=BB，则01cos2cos32=+BB，B0，解得31cos=B，322cos1sin2=BB，32=ADC，3=ADB，在ABD中，由正弦定理可知ADBABBAD=sinsin得968=AD.(2)由DCBD2=得2=CDBDSSACDABD，所以2sin21sin21=CADADACBADADAB，得2=AB，所以，24=AC，在ABC中，由余弦定理得BBCABBCABACcos2222+=，即084432=BCBC，得6=BC，所以4=BD，.3283224221sin21=BBDABSABD 19【解析】(1)连接1AC交 AC 于 E，连接DE，故E为1AC中点，D是AB的中点，所以1/BCDE，又DE平面CDA1，1BC平面CDA1.故/1BC平面CDA1.(2)取BC边中点,O连接OBAO1,，因为1BBBC=，ABC为等边三角形，31=CBB，所以BCAO，BCOB1又平面ABC平面CCBB11，7 且平面ABC平面BCCCBB=11，AO平面CCBB11，所以1,OBBCAO两两互相垂直 故以O为原点，建立空间直角坐标系xyzO如图所示：则由题意可知)0,0,1(C，23,0,21D，)3,3,1(1A.设平面CDA1的法向量),(1zyxn=，则=00111CAnCDn，即=+=+03302323zyzx，令1=z，得=1,1,331n显然平面CCBB11的一个法向量为)1,0,0(2=n.721113111|,cos|212121=+=nnnnnn，二面角的正弦值为77249211=.20【解析】(1)设该生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件 A，则832121)(213=CAP；该考生报乙大学恰好通过一门笔试科目为事件B，75321506425253655261)(2=+=BP.(2)设该生报考甲大学通过的科目数为X，根据题意可知，21,3 BX，则23213)(=XE，报考乙大学通过的科目数为Y，随机变量Y的可能取值为：0，1，2，3 31)1(5265)0(mmYP=，307175265)1(5365)1(5261)1(mmmmYP=+=，3014353655261)1(5361)2(mmmmYP+=+=，105361)3(mmYP=，随机变量Y的分布列：Y 0 1 2 3 P 31 m 30717m 30143m+10m mmmmmYE+=+=3023103301432307171310)(，因为该考生更希望通过甲大学的笔试，)()(XEYE，则233023+m，得：15110 m.21【解析】(1)因为ppA,2由4412=ppp，所以抛物线方程为xy82=，且)4,2(A.(2)：直线ANAM,的方程为)2(4=xky，其中21,kkk=分别对应ANAM,，于是 8 2222111|4|1|4|kkkk+=+，即0)1()4()1()4(21222221=+kkkk，0)4()4()4()4(212122212221=+kkkkkkkk，即0)815158)(212121=kkkkkk，由21kk=可知212188)(15kkkk=+，因为直线ANAM,的方程为)2(4=xky，其中21,kkk=分别对应ANAM,，再设直线MN的方程为)0()2(4=+=nnxmy，联立求得其交点),(),(2211yxNyxM均满足=mkknymknx42，代入抛物线C的方程)2(8)4(8)4(2=+xyy，于是有)()1(8)(222mkknmknk=，将)(1(82mkknk=，整理得08)1(8)8(2=+mkmkn，进而得到8)1(821+=+nmkk，8821+=nmkk 将2121,kkkk+代入前式，有mnm64)8(8)1(120=+，化简得0237=+nm，再代入MN的方程得)9(19=+xmy，所以MN恒过定点)19,9(.22【解析】(1)xexfxcos)(+=，当0,1x时，0 xe，0cosx，0)(xf，当),0(+x时，1xe，1cosx，0)(xf，故当),1+x时，0)(xf，)(xf单调递增.2311sin1)1()(=eefxf，而e173.21131213+=，故21)(xf；(2)令1sin1)()(+=axxeaxxfxgx，即0)(xg对Rx成立，若0a，则011)(+=aeg，与题意不符；故只需考虑0a的情况：0)0(=g，axexgx+=cos)(，ag=2)0(，xexgxsin)(=，显然当0 x时，0sin1)(xxg，)(xg在),0+上单调递增，若2a，则0)0(g，0)1cos(ln(1)1(ln(+=+aag，故)1ln(,0(0+ax，使得0)(0=xg，)(xg),0(0 x上单调递减，0)0()(0=gxg，与题意不符，舍；若20 a，则0)0(g，当0 x时，0 xe，0sinx，故0)(xg，)(xg单调递增，又01)(=aeg，故)0,(0 x，使得0)(0=xg，)(xg在)0,(0 x上单调递增，0)0()(0=gxg，与题意不符，舍；若2=a，则0)0(=g，当0 x时02cos12cos)(+=xxexgx，当0 x时，0)0()(=gxg，故)(xg在)0,(上单调递减，在),0+上单调递增，0)0()(=gxg恒成立.综上，.2=a