中山大学2009年数学分析部分考研题解答讲课稿.doc

Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。中山大学2009年数学分析部分考研题解答-中山大学2009年数学分析考研部分试题参考解答魏春理摘要本文给出了中山大学2009年数学分析部分考研题的一个参考解答.关键词中山大学数学分析考研试题参考解答1（1）求；解答：（2），求；解答：（3）求；解答：令，则（为常数）（4）求，；解答：（5）设，求；解答：（6）设，其中，二阶可微，为自变量，求；解答：）；）就有(，为自变量，故有)(7)求级数在收敛域上的和函数；解答：容易看出，当（），时，发散，于是可以得到的收敛域为；接下来，求在上的和函数：，（8）判别级数的敛散性；解答：由以及级数发散，可知发散二、将区间作等分，分点为，求.解答：根据，以及，得到三、计算，其中是从点到点的一条不通过原点的光滑曲线：，且当时，.解答：根据定理，令，.此时有故第二型曲线积分的值与路径无关，为了计算该积分，构造以下曲线：，；：，；：，；于是可以得到如下的过程：（其中，方向为顺时针旋转）(令，)四、计算，其中为曲面介于平面和（）之间的部分取下侧.解答：根据题意可知曲面不是封闭曲面，但是添加一片曲面：，（）；于是就是封闭的曲面，这里方向取上侧，记所围成的区域为.则由公式得：(令，其中，)此时，；于是，五、设在连续，.证明在有且仅有一个实根.证明：)由，知在时单调减，所以当时，在上严格减.于是方程在中至多有一根；)当时，故函数在中单调减，从而即，当时，结合在上严格减，得到（），这样根据连续函数的零值定理就可以得到：，满足；综合上面的讨论可知在有且仅有一个实根.六、设函数在连续，试证：对一切满足的充要条件是.证明：）由可以得到令即可得到：，必要性得证；）由可以得到：，可以写成；这样结合，就可以得到；进一步就可以得到，充分性得证.附最后两道题：七、求椭球面在第一卦限部分的切平面与三坐标平面围成的四面体的最小体积.八、讨论的敛散性.参考文献1家里蹲大学数学杂志第三卷第83期-中山大学2011年数学分析考研试题参考解答（张祖锦）2数学分析精选习题全解（薛春华徐森林编）2009（上册）清华大学出版社；后记本参考解答是一个不完美的解答，这不仅仅是说最后两道题（第七题太暴力了！第八题还在思考中）没有给出参考解答，也包含了给出的解答，必定会有不当之处。作者才疏学浅，初来乍到，恳请读者指正！感想1、做数学题要比看数学题快乐的多；2、本人做的数学题还太少，需要多多地做题。致谢衷心感谢张祖锦博士的鼓励！-