中考数学专题：圆有的位置关系在二次函数中的综合问题(解析版).docx

专题39 圆有的位置关系在二次函数中的综合问题1、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求面积的最大值；（3）在（2）中面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）4；（3）存在，Q的坐标为或【解析】解：将、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则抛物线的解析式为：；过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，则直线BC的表达式为：，设点M的坐标为，则点，有最大值，当时，最大值为4，点M的坐标为；如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H，点M坐标为，设：点Q坐标为，点A、C的坐标为、，轴，则，将点A、C的坐标代入一次函数表达式：得：，则直线AC的表达式为：，则点，在中，解得：或，即点Q的坐标为或2、如图1，对于平面内的点P和两条曲线L1、L2给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2，总有PQ1PQ2是定值，我们称曲线L1与L2“曲似”，定值PQ1PQ2为“曲似比”，点P为“曲心”例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为r1、r2(都是常数)的两个同心圆C1、C2，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有O'MO'N=r1r是定值，所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为r1r2，“曲心”为O'(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使O与直线BC相切，k=±3；（3）m>1，k2=m21【解析】(1)是，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，依题意可得A(k,k2)、B(2k,2k2)，因此D(k,0)、C(2k,0)，ADx轴、BCx轴，AD/BC，OAOB=ODOC=k2k=12，两抛物线曲似，曲似比为12；(2)假设存在k值，使O与直线BC相切，则OA=OC=2k，又OD=k、AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，k2+(k2)2=(2k)2，解得：k=3(负值舍去)，由对称性可取k=3，综上，k=±3；(3)根据题意得A(k,k2)、B(mk,mk2)，因此D(k,0)、C(mk,0)，O与直线BC相切，OA=OC=mk，由OA>OD可得mk>k，则m>1，由OD=k、AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，k2+(k2)2=(mk)2，整理，得：k2=m213、已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为平行于轴的直线过点（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t0），二次函数的图象与x 轴交于 M，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点当 t 为何值时，过 F，M，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）一次函数的解析式为；二次函数解析式为（2）相切，证明见解析（3）当时，过三点的圆面积最小，最小面积为【解析】把代入得一次函数的解析式为二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴，二次函数的解析式为,将代入解析式得二次函数的解析式为由解得或，取的中点，过作直线的垂线,垂足为,则，而直径，即圓心到直线的距离等于半径，以为直径的圆与直线相切.平移后二次函数的解析式为,令得过三点的國的圆心一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点到直线2的距离,点坐标为.此时,半径为,面积为设圆心为的中点为,连接,则，在三角形中，而当时，过三点的圓面积最小,最小面积为.4、如图1，二次函数yax22ax3a（a0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C求抛物线的函数关系式；如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将OBE绕平面内某一点旋转180°，得到PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MFx轴于点F，若线段MF：BF1：2，求点M、N的坐标；点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标【答案】（1）（1，4a）；（2）y=x2+2x+3；M（，）、N（，）；点Q的坐标为（1，4+2）或（1，42）【思路引导】（1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标（2）以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出ACD是个直角三角形，且ACD90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值将OBE绕平面内某一点旋转180°得到PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PMOB1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF2MF作为等量关系进行解答即可设Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出CDQ45°，那么QGD为等腰直角三角形，即QD ²2QG ²2QB ²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标【解析】（1）y=ax22ax3a=a（x1）24a，D（1，4a）（2）以AD为直径的圆经过点C，ACD为直角三角形，且ACD=90°；由y=ax22ax3a=a（x3）（x+1）知，A（3，0）、B（1，0）、C（0，3a），则：AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a0，得：a=1，a=1，抛物线的解析式：y=x2+2x+3，D（1，4）将OBE绕平面内某一点旋转180°得到PMN，PMx轴，且PM=OB=1；设M（x，x2+2x+3），则OF=x，MF=x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；BF=2MF，x+1=2（x2+2x+3），化简，得：2x23x5=0解得：x1=1（舍去）、x2=.M（，）、N（，）设Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CHQD于H，如下图：C（0，3）、D（1，4），CH=DH=1，即CHD是等腰直角三角形，QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；设Q（1，b），则QD=4b，QG2=QB2=b2+4；得：（4b）2=2（b2+4），化简，得：b2+8b8=0，解得：b=4±2；即点Q的坐标为（1，）或（1，）【方法总结】此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD和Q半径间的数量关系是解题题目的关键5、抛物线yx2+x1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为D将抛物线位于直线l：yt(t)上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象(1)点A，B，D的坐标分别为 ， ， ；(2)如图，抛物线翻折后，点D落在点E处当点E在ABC内(含边界)时，求t的取值范围；(3)如图，当t0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）A（，0）；B（3，0）；D（，）；（2）t；（3）存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）【解析】解：（1）当y=0时，x2+x1=0，解得x1=,x2=3,点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3,0），y=x2+x1=（x-）2+,点D的坐标为（，）；（2）点E、点D关于直线y=t对称，点E的坐标为（，2t）当x=0时，y=x2+x1=1，点C的坐标为（0，1）设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，1）代入y=kx+b，解得：，线段BC所在直线的解析式为y=x1 点E在ABC内（含边界），解得：t （3）当x或x3时，y=x2+x1；当x3时，y=x2+x1 假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m当m或m3时，点Q的坐标为（m，x2+x1）（如图1），以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，CPPQ，CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2+m）2=m2+1+m2+（m2+m1）2，整理，得：m1=，m2=，点P的坐标为（，0）或（，0）； 当m3时，点Q的坐标为（m,x2-x +1）（如图2），以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，CPPQ，CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2m+2）2=m2+1+m2+（m2m+1）2，整理，得：11m228m+12=0，解得：m3=，m4=2，点P的坐标为（，0）或（1，0）综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）6、如图1，抛物线yax2+bx+c的顶点（0，5），且过点（3，），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：（应用）问题1，如图2，线段ABd（定值），将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示（抛物线yax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上）：（1）填空：线段AB的长度d ；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是 ；若S3，则是否存在点C，将AB分成两段（填“能”或“不能”） ；若面积S1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是 ；（2）填空：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象（线段）；设圆心O到该函数图象的距离为h，则h ，该函数图象与O的位置关系是 （提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c（定值），设其面积为S，周长为x，证明S是x的二次函数，求该函数关系式，并求x的取值范围和相应S的取值范围【答案】抛物线的解析式为：yx2+5；（1）20x2，不能，+和；（2），相离或相切或相交；（3）相应S的取值范围为Sc2【解析】解：抛物线yax2+bx+c的顶点（0，5），yax2+5，将点（3，）代入，得a×（3）2+5，a ，抛物线的解析式为：y ；（1）S与x的函数关系如图所示（抛物线yax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上），在y，当y0时，x12，x22，M（2，0），即当x2时，S0，d的值为2；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是0x2；当S3 时，设ACa，则BC2a，a（2a）3，整理，得a22a+60，b24ac40，方程无实数根；当S1.5时，设ACa，则BC2a，a（2a）1.5，整理，得a22a+30，解得，当a时，2a，当a时，2a，若面积S1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是和；故答案为：2，0x2，不能，和；（2）设ACy，CBx，则yx+2，如图1所示的线段PM，则P（0，2），M（2，0），OPM为等腰直角三角形，PMOP2，过点O作OHPM于点H，则OHPM，当0x时，AC与CB的函数图象（线段PM）与O相离；当x时，AC与CB的函数图象（线段PM）与O相切；当x2时，AC与CB的函数图象（线段PM）与O相交；故答案为：，相离或相切或相交；（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，则 ，（a+b）2a2+b2+2ab，（xc）2c2+2ab，即S，x的取值范围为：xc，则相应S的取值范围为S7、如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且KNQ=BNP时，请直接写出点Q的坐标【答案】（1）抛物线C1：解析式为y=x2+x1；（2）MN=t2+2；（3）t的值为1或0；（4）满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（1，3）、（35，195）、（45，125）【解析】（1）抛物线C1：y=ax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），1=4a2b11=ab1，解得：a=1b=1，抛物线C1：解析式为y=x2+x1；（2）动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M，点N的纵坐标为t2+t1，点M的纵坐标为2t2+t+1，MN=（2t2+t+1）（t2+t1）=t2+2；（3）共分两种情况当ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t1），A（2，1），AN=t（2）=t+2，MN=t2+2，t2+2=t+2，t1=0（舍去），t2=1，t=1；当AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（2，1），AM=t（2）=t+2，MN=t2+2，t2+2=t+2，t1=0，t2=1（舍去），t=0，故t的值为1或0；（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B、O、N三点共线，A（2，1），N（1，1），P（0，1），点K、P关于直线AN对称，设K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2），Q2与点O关于直线AN对称，Q2是满足条件KNQ=BNP，则NQ2延长线与K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足KNQ=BNP，由图形易得Q1（1，3），设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=22，由K半径为1，a12+b12=222a2+b32=12，解得：a1=35b1=195，a2=1b2=3，同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=2，a12+b12=22a2+b32=12，解得：a3=45b3=125，a4=0b4=2，满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（1，3）、（35，195）、（45，125）.8、如图，直线与抛物线交于、两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与直线交于点（1）当四边形是菱形时，求点的坐标；（2）若点为直线上一动点，求的面积；（3）作点关于直线的对称点，以点为圆心，为半径作，点是上一动点，求的最小值【答案】（1）；（2）3；（3）【解析】(1) ， 菱形(2)与抛物线交于两点，联立，解得，点在点的左侧 ， 直线的解析式为，直线的解析式为，两直线之间距离(3) ，由点坐标，点坐标可知以为半径的圆的半径为取的中点，连接，则，由三角形三边关系，当三点共线时最小，直线的解析式为，直线与对称轴夹角为45°，点关于对称轴对称，由勾股定理得，最小值故答案为：.9、如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过A，B，C三点，顶点为F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标；(3)已知M为抛物线上的一动点(不与C点重合)，试探究：若以A，B，M为顶点的三角形面积与ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；若探究中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与E的位置关系，并说明理由.【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）抛物线的解析式为y=14x2-32x-4，F3，254；(3)所点M的坐标为(6，-4)，(41+3，4)，(-41+3，4)；若M点位于第四象限，则M点即为M1点，此时直线MF和E相切，理由见解析.【解析】 (1)由题图可得点A的横坐标为3-5=-2，点B的横坐标为3+5=8，连接CE，则CE=5，又OE=3，OC=CE2-OE2=4，A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4).(2)把(-2，0)，(8，0)，(0，-4)代入y=ax2+bx+c，得.4a-2b+c=0，64a+8b+c=0，c=4，解得a=14，b=32，c=4.抛物线的解析式为y=14x2-32x-4.EFy轴，点F的横坐标为3.把x=3代入y=14x2-32x-4，得y=- 254，F3，254.(3)如图所示，连接AC，BM1，BC，易知SABM1=SABC，ABM1与ABC同底等高，点C与点M1关于直线x=3对称，M1(6，-4).把y=4代入y=14x2-32x-4，得14x2-32x-4=4，解得x1=41+3，x2=-41+3，M2(41+3，4)，M3(-41+3，4).所有符合条件的点M的坐标为(6，-4)，(41+3，4)，(-41+3，4).若M点位于第四象限，则M点即为M1点，此时直线MF和E相切.理由如下：M1(6，-4)，圆心E(3，0)，点F3，254，连接M1E.利用勾股定理得M1E=5，M1F=154，又EF=254，M1E2+M1F2=EF2，即FM1E=90°，M1EM1F.M1E是E的半径，直线M1F和E相切，即当M点位于第四象限时，直线MF与E相切.10、若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”（1）若“路线”l的表达式为y=2x4，它的“带线”L的顶点的横坐标为1，求“带线”L的表达式；（2）如果抛物线y=mx22mx+m1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标【答案】（1）“带线”L的表达式为y=2x2+4x4；（2）m=2，n=2；（3）点P的坐标为（，）【解析】（1）“带线”L的顶点横坐标是1，且它的“路线”l的表达式为y=2x4y=2×（1）4=6，“带线”L的顶点坐标为（1，6）设L的表达式为y=a（x+1）26，“路线”y=2x4与y轴的交点坐标为（0，4）“带线”L也经过点（0，4），将（0，4）代入L的表达式，解得a=2“带线”L的表达式为 y=2（x+1）26=2x2+4x4；（2）直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），抛物线y=mx22mx+m1与y轴的交点坐标也为（0，1），解得m=2，抛物线表达式为y=2x24x+1，其顶点坐标为（1，1）直线y=nx+1经过点（1，1），解得n=2；（3）如图，设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，1），过点B作BCy轴于点C，BCA=90°，又点A 坐标为（0，1），AO=1，BC=1，AC=2“路线”l是经过点A、B的直线且P与“路线”l相切于点A，连接PA交 x轴于点D，PAAB，DAB=AOD=90°，ADO+DAO=90°，又DAO+BAC=90°，ADO=BAC，RtAODRtBCA，OD=AC=2，D点坐标为（2，0）经过点D、A的直线表达式为y=x+1，点P为直线y=x+1与抛物线L：y=2x24x+1的交点，解方程组： 得 ：（即点A舍去）， ，点P的坐标为11、如图已知抛物线y=ax23ax4a（a0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_，点A的坐标为_；（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将CMN沿CN翻折，M的对应点为M在图中探究：是否存在点Q，使得M恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）(1.5，0) (-1，0)（2）；（3）存在，.【解析】解：（1）对称轴x=，点E坐标（，0），令y=0，则有ax23ax4a=0，x=1或4，点A坐标（1，0）故答案分别为（，0），（1，0）（2）如图中，设E与直线BC相切于点D，连接DE，则DEBC，DE=OE=，EB=，OC=4a，DB=，tanOBC=，解得a=，抛物线解析式为y=（3）如图中，由题意MCN=NCB，MNOM，MCN=CNM，MN=CM，点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）， 直线BC解析式为y=x+3，BC=5，M（m，m+3），N（m，m2+m+3），作MFOC于F，sinBCO=，CM=m，当N在直线BC上方时，m2+m+3（m+3）=m，解得：m=或0（舍弃），Q1（，0）当N在直线BC下方时，（m+3）（m2+m+3）=m，解得m=或0（舍弃），Q2（，0），综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）