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第一章 误差第1页，本讲稿共62页 教材 数值方法，金一庆等编 浙江大学,机械工业出版社。实际上，只要有如下内容：绪论与误差、非线性方程求解、解线性方程组的直接法、解线性方程组迭代法、插值法、曲线拟合和函数逼近、数值积分与微分、常微分方程数值解 书都可作为教材。第2页，本讲稿共62页 参考书1.数值方法，金一庆等编数值方法，金一庆等编 浙江大学浙江大学,机械工业出版社机械工业出版社,20002.数值分析及其MATLAB实验，姜健飞等编,科学出版社,20043.数值分析，徐跃良编,西南交大出版社,20054.计算方法，曹德欣等编,中国矿业大学出版社,20015 数值分析方法，奚梅成等编,中国科学技术大学出版社,20036数值分析(第三版)，颜庆津编北京航空航天大学出版社,2006 高等学校研究生教材。第3页，本讲稿共62页考试要求：1、考试为题库调题考试。2、期末成绩为60分以上及实验成绩（上机）通过，该门课程才通过。第4页，本讲稿共62页1.1数值分析课程介绍n随着计算机和计算方法的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和计算材料学等，计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。我们知道，计算能力是计算工具和计算方法的效率的计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中。第5页，本讲稿共62页n 数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。法。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影。数值分析既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性数值分析既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征，数值分析是一门理论性和实践性都很强的学科。和实验性的技术特征，数值分析是一门理论性和实践性都很强的学科。在70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程。第6页，本讲稿共62页 数值分析的计算对象是微积分，线性代数，常微数值分析的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数分方程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数代法、计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。值解等问题。数值分析的计算目标是高等数学问题的的数值解。数值分析的计算目标是高等数学问题的的数值解。对一般理工科的学生，教学内容侧重方法的实用性对一般理工科的学生，教学内容侧重方法的实用性和实验性部分；我们的宗旨既不以严谨理论为主导，和实验性部分；我们的宗旨既不以严谨理论为主导，也不是全篇的数据的数值计算，而是两者兼顾，兼收也不是全篇的数据的数值计算，而是两者兼顾，兼收方法的基本理论和实用性。方法的基本理论和实用性。第7页，本讲稿共62页求精确解求精确解(值值)一般非常困难。例如：一般非常困难。例如：1.1.方程组阶数方程组阶数n n很大，例如很大，例如n=20,n=20,计算机运算速度计算机运算速度 1 1亿次亿次/秒秒,用不好的方法用不好的方法,大约需算大约需算3030多万年多万年;好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。问题。2.2.特征值定义特征值定义 第8页，本讲稿共62页3.3.形式复杂时求根和求积分很困难。形式复杂时求根和求积分很困难。4.4.线性微分方程易解，线性微分方程易解，如如 非线性方程难解，如非线性方程难解，如 希希 望：望：求近似解，但方法简单可行，行之有效求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）。以计算机为工（计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。具，易在计算机上实现。计算机运算计算机运算:只能进行加，减，乘，除等算术运只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。算和一些逻辑运算。计算方法：计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算进行加，减，乘，除等基本运算 数值方法。数值方法。第9页，本讲稿共62页1.2 1.2 误差基础知识误差基础知识一一.误差来源误差来源 第10页，本讲稿共62页 半半个个世世纪纪以以来来计计算算机机还还给给我我们们这这个个世世界界的的诸诸多多烦烦恼恼中中，误误差差问问题题最最为为突突出出。小小到到银银行行利利率率的的错错算算，大大到到导导弹弹的的错错误误发发射射，除除了了操操作作人人员员的的疏疏忽忽、机机器器的的故故障障引引起起的的过过失失误误差差外外，计计算算机机在在处处理理数数据据过过程程中中还还存存在在计计算算误误差差。这这是是计计算算机机机机器器数数系系所所引引起起的的，这这一一数数系系的的特特点点是是有有限限、离离散散、支支离离破破碎碎；这这和和数数学学上上常常用用的的实实数数系系无无限限、稠稠密密、连连续续的的特特点点完完全全不不同同。机机器器数数的的表表示示方方法法通通常常采采用用浮浮点点数数形形式式，即：即：数值计算方法就是数值计算方法就是“研究用于求得数学问题近似解研究用于求得数学问题近似解的方法和过程的方法和过程”，由于算法的实现必须在计算机上进行，由于算法的实现必须在计算机上进行，虽然计算机是非常准确且快捷的计算工具，虽然计算机是非常准确且快捷的计算工具，但计算机并不但计算机并不是象一般人想象哪样可以解决一切问题而不出是象一般人想象哪样可以解决一切问题而不出差错差错。第11页，本讲稿共62页其中 ，且 都是整数09中的任一个数。称为尾数，尾数的位数n是有限正整数；中的m称为阶数，阶数也是有界的数。所以，机器数中有最大的数，也有最小的数。用机器数表示实数时，很多情况下都带有误差。第12页，本讲稿共62页 function s=f(m)s=0;for n=1:m s=s+0.1 end s=s-100运行结果：运行结果：s=-1.4069e-012反应二进制本质反应二进制本质第13页，本讲稿共62页 在在2400多年前，古希腊人提出了被称为几何三大问多年前，古希腊人提出了被称为几何三大问题的古典难题。这说明在历史上，人类就常被误差所题的古典难题。这说明在历史上，人类就常被误差所困扰。下面问题就是三大难题之一。困扰。下面问题就是三大难题之一。第14页，本讲稿共62页 例 题 解 不妨设已知立方体体积为1。要作的立方体体积为2，则所求方立体高度应该为 ，用计算机计算出 ，（15位数）。尽管精确度相当高，但仍是近似值。下面的表1-1列出了对h取前有限位数时，计算所得体积的误差。例例1 立方倍积问题。作一个立方体，使其体积立方倍积问题。作一个立方体，使其体积为已知立方体的二倍为已知立方体的二倍。第15页，本讲稿共62页例 1（续）位数 高度体积误差21.21.7282.720010-131.251.9531254.687510-241.2591.9956169794.383010-351.25991.9998997577991.002410-461.259921.999995000191494.999810-671.2599211.999999762390492.376110-781.2599211.999999762390492.377110-791.259921041.999999952878604.712110-8表表1-1 立方倍积问题的计算立方倍积问题的计算 由由上上表表可可知知，计计算算机机机机器器数数的的有有限限位位特特点点使使这这一一问问题题只只能在满足一定的精度条件下解决，误差是无法消除的。能在满足一定的精度条件下解决，误差是无法消除的。第16页，本讲稿共62页1 误差来源 （2）在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到）在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到的物理量，如电压、电流、温度、长度等，而观测难免不的物理量，如电压、电流、温度、长度等，而观测难免不带误差，这种误差称为带误差，这种误差称为观测误差观测误差。一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差。引起误差的原因是多方面的。差称为误差。引起误差的原因是多方面的。（1）从实际问题转化为数学问题，即建立数学模型时，）从实际问题转化为数学问题，即建立数学模型时，对被描述的实际问题进行了抽象和简化，忽略了一些次对被描述的实际问题进行了抽象和简化，忽略了一些次要因素，这样建立的数学模型虽然具有要因素，这样建立的数学模型虽然具有“精确精确”、“完完美美”的外衣，其实只是客观现象的一种近似。这种数学的外衣，其实只是客观现象的一种近似。这种数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差模型误差。第17页，本讲稿共62页方法误差与舍入误差（4）在计算中遇到的数据可能位数很多，也可能是无穷小数，如，等，由于计算机数系是间断的且有界，即计算时只能对有限位数进行运算，因此必须进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差。（3）在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到的结）在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到的结果，但实际计算时，只能用有限过程来计算。如无穷级数果，但实际计算时，只能用有限过程来计算。如无穷级数求和，只能取前面有限项求和来近似代替，于是产生了有求和，只能取前面有限项求和来近似代替，于是产生了有限过程代替无限过程的误差，称为限过程代替无限过程的误差，称为截断误差截断误差，这是计算，这是计算方法本身出现的误差，所以也称方法本身出现的误差，所以也称方法误差方法误差，这种误差是，这种误差是需要特别重视的。需要特别重视的。第18页，本讲稿共62页 有时，带有误差的数据也被人们频繁使用。例如，在某次人口普查，经统计我国某省的人口数为7123万，这就是一个近似数，其舍入误差不超过0.5万。用3.1415926来代替圆周率，其舍入误差为 舍入误差 在对收敛的无穷级数计算中，常取有限项代替无穷项。在对收敛的无穷级数计算中，常取有限项代替无穷项。在对收敛的无穷级数计算中，常取有限项代替无穷项。在对收敛的无穷级数计算中，常取有限项代替无穷项。如对于正弦函数如对于正弦函数如对于正弦函数如对于正弦函数:取 ，作近似计算，则 为其截断误差。第19页，本讲稿共62页条条 件件 问问 题题 计算方法中有一类问题称为条件问题，条计算方法中有一类问题称为条件问题，条件问题是一个算法件问题是一个算法 （公式）由于初始数据或（公式）由于初始数据或者中间某些数据微小摄动对计算结果产生影者中间某些数据微小摄动对计算结果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、观测误差都响的敏感性的问题。舍入误差、观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条件问题的计算属初始数据的摄动。研究坏条件问题的计算方法是十分重要的课题，有的时候，一些问方法是十分重要的课题，有的时候，一些问题的条件并不坏，但由于算法不恰当，初始题的条件并不坏，但由于算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入误差在计算过程中不数据的微小摄动或舍入误差在计算过程中不断被放大，而可能导致计算结果的精度大大断被放大，而可能导致计算结果的精度大大降低，甚至使计算失去意义降低，甚至使计算失去意义。第20页，本讲稿共62页递 推 算 法 递递推推算算法法是是解解决决实实际际问问题题中中使使用用相相当当普普遍遍的的一一种种算算法法，它的数学描述是带初值的递推关系式。它的数学描述是带初值的递推关系式。例例2 小猴吃桃问题。有一天小猴摘下了若干个桃子，当小猴吃桃问题。有一天小猴摘下了若干个桃子，当即吃掉了一半，还觉得不过瘾，又多吃了一个。第二天接即吃掉了一半，还觉得不过瘾，又多吃了一个。第二天接着吃了剩下的一半，又多吃了一个。以后每天都是吃掉尚着吃了剩下的一半，又多吃了一个。以后每天都是吃掉尚存的桃子的一半零一个。到第十天早上，小猴准备吃桃子存的桃子的一半零一个。到第十天早上，小猴准备吃桃子时，看到只剩下时，看到只剩下1个桃子了。问小猴第一天共摘下了多少个桃子了。问小猴第一天共摘下了多少个桃子？个桃子？解解 设第设第k天的桃子数为天的桃子数为pk，则桃子数目变化规律为，则桃子数目变化规律为第21页，本讲稿共62页递 推 算 法（续 1）这是正向递推的关系式，解之，可得逆向递推关系式 由初值 ，根据上式设计算循环算法计算出 即第一天的桃子数为1534。上上例例中中仅仅涉涉及及整整数数序序列列递递推推，根根据据初初值值条条件件来来选选择择正正向向递递推推或或逆逆向向递递推推使使实实际际问问题题得得以以解解决决。尽尽管管正正向向递递推推和和逆逆向向递递推推公公式式在在数数学学上上完完全全等等价价，却却导导致致两两种种完完全全不不同同的的算算法法。对对于于实实数数序序列列的的递递推推由由于于初初始始误误差差的的存存在在，可可以以一一种种方方向向的的递递推推会会使使误误差差扩扩大大，而而另另一一方方向向的的递递推推会会使使得得误误差差逐逐步步减减小小。在在设设计计（选选用用）算算法法时时要要用用使使初初始始误误差差不不增增长的算法。长的算法。第22页，本讲稿共62页解解解解:当当当当n n n n=0=0=0=0时时时时由此可得由此可得由此可得由此可得出递推计出递推计出递推计出递推计算公式算公式算公式算公式:于是可设计如下两种算法：于是可设计如下两种算法：于是可设计如下两种算法：于是可设计如下两种算法：递 推 算 法（续 2）例例3 3第23页，本讲稿共62页两种算法算法算法算法算法1 1算法算法算法算法2 2，由，由，由，由（1-2）可得：可得：可得：可得：依式（依式（依式（依式（1-31-3）计算）计算）计算）计算 的近似值。的近似值。的近似值。的近似值。第24页，本讲稿共62页表1-1nIn（按算法1计算）In（按算法2计算）0.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.034303350.028489580.0284683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-0.645697260.013016368.305409380.0118412714-41.455618310.01222222130由表中结果可见，按算法由表中结果可见，按算法由表中结果可见，按算法由表中结果可见，按算法1 1得到得到得到得到 ，这显然是错的。，这显然是错的。，这显然是错的。，这显然是错的。第25页，本讲稿共62页 说 明 因为对任意因为对任意因为对任意因为对任意n0n0均有：均有：均有：均有：以及以及以及以及 且且且且 时，时，时，时，。而按算法。而按算法。而按算法。而按算法2 2计计计计算，尽管算，尽管算，尽管算，尽管 取值精度不高，其误差取值精度不高，其误差取值精度不高，其误差取值精度不高，其误差 但但但但递递递递推推推推计计计计算算算算得得得得到到到到的的的的 却却却却有有有有8 8位位位位有有有有效效效效数数数数字字字字，为为为为什什什什么么么么会会会会出出出出现现现现这这这这样样样样的的的的现现现现象象象象？下下下下面面面面的的的的分分分分析析析析说说说说明明明明，这这这这是是是是舍舍舍舍入入入入误误误误差差差差在在在在计计计计算算算算过过过过程程程程中传播所引起的后果。中传播所引起的后果。中传播所引起的后果。中传播所引起的后果。设设设设 有舍入误差（可能由计算机自动舍入引起），假有舍入误差（可能由计算机自动舍入引起），假有舍入误差（可能由计算机自动舍入引起），假有舍入误差（可能由计算机自动舍入引起），假定计算过程中不产生新的舍入误差，则由式（定计算过程中不产生新的舍入误差，则由式（定计算过程中不产生新的舍入误差，则由式（定计算过程中不产生新的舍入误差，则由式（1-21-2）有：）有：）有：）有：第26页，本讲稿共62页 说 明（续1）第27页，本讲稿共62页说明（续2）而对算法而对算法而对算法而对算法2 2，以，以，以，以 计算计算计算计算 应有应有应有应有从而有从而有从而有从而有:因此从因此从因此从因此从 出发计算到出发计算到出发计算到出发计算到 时，其误差已缩小时，其误差已缩小时，其误差已缩小时，其误差已缩小 倍倍倍倍。上例说明，对于同一问题，不同的算法对初始数据的误差上例说明，对于同一问题，不同的算法对初始数据的误差上例说明，对于同一问题，不同的算法对初始数据的误差上例说明，对于同一问题，不同的算法对初始数据的误差（或计算过程中某一步的舍入误差）的传播是不同的，一（或计算过程中某一步的舍入误差）的传播是不同的，一（或计算过程中某一步的舍入误差）的传播是不同的，一（或计算过程中某一步的舍入误差）的传播是不同的，一个算法，经过指定次数计算后，若仍能将初始数据的误差个算法，经过指定次数计算后，若仍能将初始数据的误差个算法，经过指定次数计算后，若仍能将初始数据的误差个算法，经过指定次数计算后，若仍能将初始数据的误差的影响限于一定范围之内，这个算法的稳定性就好，反之的影响限于一定范围之内，这个算法的稳定性就好，反之的影响限于一定范围之内，这个算法的稳定性就好，反之的影响限于一定范围之内，这个算法的稳定性就好，反之稳定性差，上例中，算法稳定性差，上例中，算法稳定性差，上例中，算法稳定性差，上例中，算法2 2具有数值稳定性、而算法具有数值稳定性、而算法具有数值稳定性、而算法具有数值稳定性、而算法1 1则是则是则是则是数值不稳定的。显然，只有选用数值稳定性好的算法，才数值不稳定的。显然，只有选用数值稳定性好的算法，才数值不稳定的。显然，只有选用数值稳定性好的算法，才数值不稳定的。显然，只有选用数值稳定性好的算法，才能求得较准确的结果。能求得较准确的结果。能求得较准确的结果。能求得较准确的结果。第28页，本讲稿共62页2 绝对误差、相对误差和有效数字2.1 2.1 2.1 2.1 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差 设设设设 x x*为准确值的近似值，记为准确值的近似值，记为准确值的近似值，记为准确值的近似值，记 一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝对误差对误差对误差对误差e e的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情况估计出况估计出况估计出况估计出e e 的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界 :这样的这样的这样的这样的 称为称为称为称为x x*的的的的绝对误差限或误差限绝对误差限或误差限绝对误差限或误差限绝对误差限或误差限。显然，误差限不是唯一的。显然，误差限不是唯一的。显然，误差限不是唯一的。显然，误差限不是唯一的。第29页，本讲稿共62页误差限的意义容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超过容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超过容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超过容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的半个被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的半个被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的半个被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的半个单位为其误差限。例如若取单位为其误差限。例如若取单位为其误差限。例如若取单位为其误差限。例如若取 的近似值为的近似值为的近似值为的近似值为3.143.14，则：，则：，则：，则：有误差限及近似值，就有误差限及近似值，就有误差限及近似值，就有误差限及近似值，就 可以得到准确值可以得到准确值可以得到准确值可以得到准确值x x的范围：的范围：的范围：的范围：即准确值必定在区间即准确值必定在区间即准确值必定在区间即准确值必定在区间 x*,x x*+内，内，内，内，也常记作：也常记作：也常记作：也常记作：x=x*第30页，本讲稿共62页 因此，要刻划近似值的精确程度，不仅要看绝对误差因此，要刻划近似值的精确程度，不仅要看绝对误差因此，要刻划近似值的精确程度，不仅要看绝对误差因此，要刻划近似值的精确程度，不仅要看绝对误差的大小，还必须考虑所测量值本身的大小，这就是的大小，还必须考虑所测量值本身的大小，这就是的大小，还必须考虑所测量值本身的大小，这就是的大小，还必须考虑所测量值本身的大小，这就是相对误相对误相对误相对误差差差差 er。误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。例如误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。例如误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。例如误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。例如测量百米跑道长时，误差不超过测量百米跑道长时，误差不超过测量百米跑道长时，误差不超过测量百米跑道长时，误差不超过1010厘米，而测量黑板长时厘米，而测量黑板长时厘米，而测量黑板长时厘米，而测量黑板长时得其长度为得其长度为得其长度为得其长度为3 3米，误差不超过米，误差不超过米，误差不超过米，误差不超过1 1厘米。就误差限而言，前者厘米。就误差限而言，前者厘米。就误差限而言，前者厘米。就误差限而言，前者为后者的为后者的为后者的为后者的1010倍，但由于前者误差只占所量长度的千分之一，倍，但由于前者误差只占所量长度的千分之一，倍，但由于前者误差只占所量长度的千分之一，倍，但由于前者误差只占所量长度的千分之一，而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量百米跑而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量百米跑而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量百米跑而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量百米跑通的结果更为精确。通的结果更为精确。通的结果更为精确。通的结果更为精确。相对误差由于准确值由于准确值由于准确值由于准确值x x未知，故一般取相对误差为未知，故一般取相对误差为未知，故一般取相对误差为未知，故一般取相对误差为:第31页，本讲稿共62页相对误差（续）可以证明，当可以证明，当可以证明，当可以证明，当|e er r|很小时，很小时，很小时，很小时，是是是是e er r 的高阶无穷小，的高阶无穷小，的高阶无穷小，的高阶无穷小，可以忽略不计。所以，取绝对误差与近似值之比为相对误可以忽略不计。所以，取绝对误差与近似值之比为相对误可以忽略不计。所以，取绝对误差与近似值之比为相对误可以忽略不计。所以，取绝对误差与近似值之比为相对误差是合理的差是合理的差是合理的差是合理的。同样，相对误差也只能估计其同样，相对误差也只能估计其同样，相对误差也只能估计其同样，相对误差也只能估计其上限，如果存在正数上限，如果存在正数上限，如果存在正数上限，如果存在正数 r r ，使得：，使得：，使得：，使得：则称则称则称则称 r r为为为为x x*的相对误差限，显然，的相对误差限，显然，的相对误差限，显然，的相对误差限，显然，可作为可作为可作为可作为x x*的一个的一个的一个的一个相对误差限，例如，由实验测得光速近似值为相对误差限，例如，由实验测得光速近似值为相对误差限，例如，由实验测得光速近似值为相对误差限，例如，由实验测得光速近似值为C C*=2.99792510=2.997925105 5公里公里公里公里/秒，其误差限为秒，其误差限为秒，其误差限为秒，其误差限为0.1 0.1 公里公里公里公里/秒，于是秒，于是秒，于是秒，于是 所以所以所以所以410410-7-7是是是是C C*的一个的一个的一个的一个相对误差限。相对误差限。相对误差限。相对误差限。第32页，本讲稿共62页2.2 有效数字 一个数能表示大小，如果这个数是一个近似值一个数能表示大小，如果这个数是一个近似值x x*，当然希，当然希望能指明它的精确程度，如望能指明它的精确程度，如8 8与与8.0008.000大小一样，但若作为大小一样，但若作为近似值，在引进有效数字概念后，可知其精确程度不一样。近似值，在引进有效数字概念后，可知其精确程度不一样。通常要将某个位数很多的数表示成一定的位数，用通常要将某个位数很多的数表示成一定的位数，用通常要将某个位数很多的数表示成一定的位数，用通常要将某个位数很多的数表示成一定的位数，用四舍五入的方法，如四舍五入的方法，如四舍五入的方法，如四舍五入的方法，如=3.14159265.=3.14159265.，可表为，可表为，可表为，可表为3.143.14，3.14163.1416等，这种表示方法的特点是：近似数的误差限为等，这种表示方法的特点是：近似数的误差限为等，这种表示方法的特点是：近似数的误差限为等，这种表示方法的特点是：近似数的误差限为其最末一位的半个单位。即：其最末一位的半个单位。即：其最末一位的半个单位。即：其最末一位的半个单位。即：x x1 1*=3.14=3.14为所有三位数中与为所有三位数中与为所有三位数中与为所有三位数中与 相差最小的数，不超过末位相差最小的数，不超过末位相差最小的数，不超过末位相差最小的数，不超过末位（第三位，百分位）的半个单位，即（第三位，百分位）的半个单位，即（第三位，百分位）的半个单位，即（第三位，百分位）的半个单位，即0.5100.510-2-2;是所有五位数中与是所有五位数中与是所有五位数中与是所有五位数中与 相差最小的数，不超过末位（第五位）相差最小的数，不超过末位（第五位）相差最小的数，不超过末位（第五位）相差最小的数，不超过末位（第五位）的半个单位即的半个单位即的半个单位即的半个单位即0.5100.510-4-4。第33页，本讲稿共62页有效数字的定义 定定定定义义义义1 1 按定义按定义按定义按定义x x1 1*=3.14=3.14可称为准确到第三位或有三位有效数字，可称为准确到第三位或有三位有效数字，可称为准确到第三位或有三位有效数字，可称为准确到第三位或有三位有效数字，而而而而 x x2 2*=3.1416=3.1416称为准确到第五位，或有五位有效数字。称为准确到第五位，或有五位有效数字。称为准确到第五位，或有五位有效数字。称为准确到第五位，或有五位有效数字。如果近似值如果近似值x*的误差限是它的某一位的半个单位，的误差限是它的某一位的半个单位，就说就说 x*“准确准确”到这一位，并且从这一位直到前到这一位，并且从这一位直到前面第一个非零数字为止的所有数字均称为面第一个非零数字为止的所有数字均称为有效数有效数字字。也可以给出如下定义：也可以给出如下定义：也可以给出如下定义：也可以给出如下定义：第34页，本讲稿共62页同样，同样，同样，同样，x x*2 2=3.1416=3.1416有五位有效数字，因为有五位有效数字，因为有五位有效数字，因为有五位有效数字，因为 x x*2 2=3.1416=0.3141610=3.1416=0.31416101 1 。而：而：而：而：x x*1 1=3.14=3.14有三位有效数字，是因为有三位有效数字，是因为有三位有效数字，是因为有三位有效数字，是因为x x*1 1=3.14=0.31410=3.14=0.314101 1，而：而：而：而：按上述定义，有效数字的概念实际上是说：以按上述定义，有效数字的概念实际上是说：以按上述定义，有效数字的概念实际上是说：以按上述定义，有效数字的概念实际上是说：以x x*近似近似近似近似x x，如果，如果，如果，如果x x*从从从从x x依四舍五入规则得到，那么依四舍五入规则得到，那么依四舍五入规则得到，那么依四舍五入规则得到，那么x x*的每一位都是有的每一位都是有的每一位都是有的每一位都是有效数字。因此，实际应用时：效数字。因此，实际应用时：效数字。因此，实际应用时：效数字。因此，实际应用时：第35页，本讲稿共62页有效数字定义的进一步解释1.1.若若若若x x已知，可根据四舍五入的原则得已知，可根据四舍五入的原则得已知，可根据四舍五入的原则得已知，可根据四舍五入的原则得x x*；2.若若若若x x未知，则需从近似值的误差界来判断未知，则需从近似值的误差界来判断未知，则需从近似值的误差界来判断未知，则需从近似值的误差界来判断x x*的有效位数；的有效位数；的有效位数；的有效位数；第36页，本讲稿共62页4.有效数字越多，其绝对误差也越小，相对误差同有效数字越多，其绝对误差也越小，相对误差同有效数字越多，其绝对误差也越小，相对误差同有效数字越多，其绝对误差也越小，相对误差同样也越小；样也越小；样也越小；样也越小；并且：若并且：若并且：若并且：若x x*有有有有n n位有效数字，则其相对误差限为位有效数字，则其相对误差限为位有效数字，则其相对误差限为位有效数字，则其相对误差限为 ，若若若若x x*的相对误差限为的相对误差限为的相对误差限为的相对误差限为 ，则，则，则，则x x*至少至少至少至少有有有有n n位有效数字；位有效数字；位有效数字；位有效数字；5.0.00235.0.0023与与与与0.0023000.002300不同，前者最多为二位有效数字，不同，前者最多为二位有效数字，不同，前者最多为二位有效数字，不同，前者最多为二位有效数字，而而而而0.0023000.002300则可能具有四位有效数字。则可能具有四位有效数字。则可能具有四位有效数字。则可能具有四位有效数字。3.3.记近似值记近似值记近似值记近似值x x*=0.=0.a a1 1a a2 2a an n1010mm，若要保留五位有效数字，若要保留五位有效数字，若要保留五位有效数字，若要保留五位有效数字（这是（这是（这是（这是 以后常会用到的），即要求误差限以后常会用到的），即要求误差限以后常会用到的），即要求误差限以后常会用到的），即要求误差限 0.510|b|a|b|时，尽量避免时，尽量避免a+b a+b。例如，假设计算机。例如，假设计算机 只能存放只能存放1010位尾数的十进制数，则位尾数的十进制数，则 ，第56页，本讲稿共62页3.3.尽量避免相近数相减尽量避免相近数相减 ，第57页，本讲稿共62页3.3.尽量避免相近数相减尽量避免相近数相减 例如，当例如，当x x很大时，应很大时，应 ，当x接近于0时，应第58页，本讲稿共62页 4.4.避免绝对值很小的数做分母避免绝对值很小的数做分母 当当|b|a|b|a|时，应尽量避免时，应尽量避免 。第59页，本讲稿共62页5.5.选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速增长高速增长 第60页，本讲稿共62页5.5.选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速 增长增长 例如例如 若若 （误差（误差 ）则计算）则计算 时误差扩大了时误差扩大了 倍倍,而而 （n=1,2,n=1,2,）是稳定。第61页，本讲稿共62页6.6.方法的收敛性。方法的收敛性。7.7.方法的快捷与存储空间节省。现在计算机的运方法的快捷与存储空间节省。现在计算机的运算速度尽管很快，但如果不注意方法，则有些算速度尽管很快，但如果不注意方法，则有些看似简单的问题，计算所需的时间也是不能容看似简单的问题，计算所需的时间也是不能容忍的。忍的。例如例如:Cramer:Cramer法则法则 第62页，本讲稿共62页