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第四章时间响应分析第1页，本讲稿共38页 本本章章首首先先建建立立时时域域分分析析的的基基本本概概念念，时时域域分分析析问问题题的的提提法法和和描描述述，明明确确任任务务；其其次次，以以一一阶阶系系统统和和二二阶阶系系统统为为例例对对其其进进行行基基于于时时域域的的分分析析，一一方方面面学学习习时时域域分分析析的的基基本本方方法法，另另一一方方面面一一阶阶、二二阶阶系系统统也也有有其其典典型型性性，对对它它们们的的分分析析有有利利于于对对一一般般线线性性系系统统性性能能分分析析的的掌掌握握；其其次次介介绍绍瞬瞬态态响响应应的的性性能能指指标标，最后介绍稳态误差分析与计算最后介绍稳态误差分析与计算。第2页，本讲稿共38页4.14.1时间响应及其组成时间响应及其组成时间响应：系统在输入信号的作用下，其输出随时间时间响应：系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过程。的变化过程。输入引起的时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组输入引起的时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。成。瞬态响应是指系统在某一输入信号作用下，系统输出瞬态响应是指系统在某一输入信号作用下，系统输出从初始状态到稳定状态的响应过程。从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应是指时间稳态响应是指时间 趋于无穷大时，系统的输出稳趋于无穷大时，系统的输出稳定状态定状态 第3页，本讲稿共38页n分析系统瞬态响应方法：分析系统瞬态响应方法：n1.直接求解法直接求解法n2.间接求解法间接求解法n3.计算机仿真法计算机仿真法第4页，本讲稿共38页例例1如图如图1所示是一简单的振动系统所示是一简单的振动系统 系统的动力学方程：系统的动力学方程：第5页，本讲稿共38页系统的时间响应可以从两方面分类系统的时间响应可以从两方面分类1.1.按振动性质可分为自由响应与强迫响应按振动性质可分为自由响应与强迫响应2.2.按振动来源可分为按振动来源可分为零输入响应：没有输入时系统的初始状态引起的响应。零输入响应：没有输入时系统的初始状态引起的响应。零状态响应：没有输入时系统的初始状态为零，而由零状态响应：没有输入时系统的初始状态为零，而由 输入引起的响应。输入引起的响应。第6页，本讲稿共38页4.24.2典型输入信号典型输入信号 确定性信号是其变量和自变量之间的关系能够用某确定性信号是其变量和自变量之间的关系能够用某一确定性函数描述的信号。一确定性函数描述的信号。非确定性信号是其变量和自变量之间的关系不能用非确定性信号是其变量和自变量之间的关系不能用某一确定性函数描述的信号，也就是说它的变量某一确定性函数描述的信号，也就是说它的变量与自变量之间的关系是随机的，不能用确定的函与自变量之间的关系是随机的，不能用确定的函数关系来表示。数关系来表示。研究系统的动态特性就是研究系统在输入信号作用研究系统的动态特性就是研究系统在输入信号作用下，输出量怎样按输入量的作用而变化的，也就下，输出量怎样按输入量的作用而变化的，也就是系统对输入如何产生响应。是系统对输入如何产生响应。第7页，本讲稿共38页1.单位阶跃信号单位阶跃信号 2.2.单位脉冲信号单位脉冲信号3.3.单位斜坡信号（单位速度信号）单位斜坡信号（单位速度信号）4.4.单位抛物线信号（单位加速度信号）单位抛物线信号（单位加速度信号）5.正弦信号正弦信号 第8页，本讲稿共38页4.3一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应 一一阶系统的数学模型一一阶系统的数学模型由一阶微分方程由一阶微分方程 描述的系统描述的系统称为一阶系统。称为一阶系统。传递函数传递函数第9页，本讲稿共38页一旦一旦 确定，系统传递函数的分母确定，系统传递函数的分母 也就确定，所也就确定，所以说以说 是一阶系统的特征参数，它表达了一阶系统本是一阶系统的特征参数，它表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性。因此不论一阶系统的身的与外界作用无关的固有特性。因此不论一阶系统的输入如何，一阶系统传递函数的分母是不变的。输入如何，一阶系统传递函数的分母是不变的。第10页，本讲稿共38页二一阶系统的单位阶跃响应二一阶系统的单位阶跃响应 取拉氏反变换，就可得到单位阶跃输入的时间响应为取拉氏反变换，就可得到单位阶跃输入的时间响应为图图4一阶系统单位阶跃响应一阶系统单位阶跃响应 一个是一个是A点，其对应的时间点，其对应的时间 系统的响应达到了稳态值的系统的响应达到了稳态值的63.2；另外一个是零点，其对应的另外一个是零点，其对应的 指数曲线在那一点的切线斜率等于指数曲线在那一点的切线斜率等于 第11页，本讲稿共38页图图5不同时间常数下的响应情况不同时间常数下的响应情况 1.1.时间常数时间常数T TT T的大小反映一阶系统惯性的大小的大小反映一阶系统惯性的大小T T小惯性小，小惯性小，T T大惯性大。大惯性大。2.调整时间调整时间 一阶系统在阶跃输入作用下，达一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的到稳态值的 所需要的时间所需要的时间（为允许误差为允许误差）时，；时，；第12页，本讲稿共38页调整时间反映系统响应的快速性，调整时间反映系统响应的快速性，越大系统的惯性越大，调整时间越长，响应越慢。越大系统的惯性越大，调整时间越长，响应越慢。图图6 6一阶系统的性能指标一阶系统的性能指标第13页，本讲稿共38页例例1 1：已知：已知 ，将此两环节串联在，将此两环节串联在一起，求系统的单位阶跃响应。一起，求系统的单位阶跃响应。极点分布极点分布 单位阶跃响应单位阶跃响应当两极点到虚轴的垂直距离的当两极点到虚轴的垂直距离的比值超过比值超过5倍时，远离虚轴的倍时，远离虚轴的极点在瞬态响应中的作用可近极点在瞬态响应中的作用可近似的忽略不及。并且靠虚轴最似的忽略不及。并且靠虚轴最近的一个或一对极点周围没有近的一个或一对极点周围没有零点时，我们可以把多个极点零点时，我们可以把多个极点的高阶系统，近似简化成一阶的高阶系统，近似简化成一阶或二阶系统来讨论或二阶系统来讨论.第14页，本讲稿共38页三一阶系统的单位脉冲响应三一阶系统的单位脉冲响应当系统的输入信号为理想的单位脉冲信号时，系统当系统的输入信号为理想的单位脉冲信号时，系统的输出称为单位脉冲响应函数的输出称为单位脉冲响应函数 图图7 7 一阶系统单位脉冲响应一阶系统单位脉冲响应图图8 8 不同时间常数下的响应情况不同时间常数下的响应情况第15页，本讲稿共38页四响应之间的关系四响应之间的关系 1如果输入函数等于某一函数如果输入函数等于某一函数的积分，则该输入函数的响的积分，则该输入函数的响应函数等于这一函数的响应应函数等于这一函数的响应函数的积分，但是如果为不函数的积分，但是如果为不定积分，则还需确定积分常定积分，则还需确定积分常数。数。如果输入函数等于某一函数如果输入函数等于某一函数的微分，则该输入函数的响的微分，则该输入函数的响应函数等于这一函数的响应应函数等于这一函数的响应函数的微分。函数的微分。第16页，本讲稿共38页例例1 1：已知系统的单位脉冲响应函数为：已知系统的单位脉冲响应函数为求（求（1 1）系统的传递函数）系统的传递函数 （2）确定系统的单位阶跃响应达到稳态值）确定系统的单位阶跃响应达到稳态值 的的 95所需要的时间所需要的时间第17页，本讲稿共38页4.34.3二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应 一典型二阶系统的数学模型一典型二阶系统的数学模型 无阻尼固有频率无阻尼固有频率 阻尼比阻尼比 随着阻尼比随着阻尼比 取值的不同，二阶系统的特征根也不同。取值的不同，二阶系统的特征根也不同。第18页，本讲稿共38页1.，零阻尼状态，零阻尼状态系统的响应为持续的等幅振荡。系统的响应为持续的等幅振荡。2.，称为欠阻尼状态，称为欠阻尼状态 系统的响应具有振荡特性。系统的响应具有振荡特性。第19页，本讲稿共38页3.，称为临界阻尼状态，称为临界阻尼状态，4.，称为过阻尼状态，称为过阻尼状态，临界阻尼和过阻尼状态下，系统的响应均无振荡。临界阻尼和过阻尼状态下，系统的响应均无振荡。二阶系统的响应特性完全由二阶系统的响应特性完全由 和和 这两个特征量来描述，这两个特征量来描述，所以说所以说 和和 是二阶系统的重要结构参数。是二阶系统的重要结构参数。第20页，本讲稿共38页二二阶系统的单位阶跃响应二二阶系统的单位阶跃响应 主要讨论二阶系统不同阻尼比时的单位阶跃响应主要讨论二阶系统不同阻尼比时的单位阶跃响应 第21页，本讲稿共38页令令 ，角是系统的极点向量与负实轴的夹角角是系统的极点向量与负实轴的夹角，图图9 9 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线第22页，本讲稿共38页图图1010零阻尼状态二阶系统单位阶跃响应曲线零阻尼状态二阶系统单位阶跃响应曲线第23页，本讲稿共38页 图图1313不同不同 下二阶系统的单位阶跃响应曲线下二阶系统的单位阶跃响应曲线 当当 时是等幅振荡；在时是等幅振荡；在 和和 时，二阶系统的过渡过程具时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性。从过渡过程的持有单调上升的特性。从过渡过程的持续时间来看，在无振荡单调上升的曲续时间来看，在无振荡单调上升的曲线中，以线中，以 时的过渡时间最短，时的过渡时间最短，在欠阻尼系统中，当在欠阻尼系统中，当 0.8时，时，不仅其过渡时间比不仅其过渡时间比 时更短，时更短，而且振荡不太严重而且振荡不太严重。由图可知二阶系统的单位阶跃函数的过渡过程随着阻尼比由图可知二阶系统的单位阶跃函数的过渡过程随着阻尼比 的减小，其振荡特性表现的愈加强烈，的减小，其振荡特性表现的愈加强烈，第24页，本讲稿共38页三二阶系统的单位脉冲响应三二阶系统的单位脉冲响应 图图14不同不同 下二阶系统的单位脉冲响应曲线下二阶系统的单位脉冲响应曲线 第25页，本讲稿共38页四二阶系统响应的性能指标四二阶系统响应的性能指标 图图15 15 二阶欠阻尼系统响应的性能指标二阶欠阻尼系统响应的性能指标1.1.上升时间上升时间 2.2.峰值时间峰值时间 3.3.最大超调量最大超调量 4.4.调整时间调整时间 5.振荡次数振荡次数 第26页，本讲稿共38页四二阶系统响应的性能指标四二阶系统响应的性能指标 1.1.上升时间上升时间 ：响应曲线从原始工作状态出发，第一次达到输：响应曲线从原始工作状态出发，第一次达到输 出稳态值所需的时间出稳态值所需的时间2.2.峰值时间峰值时间 ：响应曲线达到第一个峰值所需的时间：响应曲线达到第一个峰值所需的时间 3.3.最大超调量最大超调量 ：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量 4.4.调整时间调整时间 ：在响应曲线的稳态值附近取稳态值的：在响应曲线的稳态值附近取稳态值的 或或 作为误差带，响应曲线达到并不再超出误差带范围，所需要的最作为误差带，响应曲线达到并不再超出误差带范围，所需要的最小时间。小时间。5.振荡次数振荡次数 ：在过渡过程时间：在过渡过程时间 内，内，穿越其稳态穿越其稳态值的次数的一半。值的次数的一半。第27页，本讲稿共38页结论：结论：1.1.要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比适的阻尼比 和无阻尼固有频率和无阻尼固有频率 ，提高，提高 可以提可以提高二阶系统的响应速度，减少上升时间、峰值时间、高二阶系统的响应速度，减少上升时间、峰值时间、和调整时间；增大和调整时间；增大 可以减弱系统的振荡性能，但可以减弱系统的振荡性能，但是会增大上升时间和峰值时间。是会增大上升时间和峰值时间。2.2.，所以，所以 的提高，一般是通过提高的提高，一般是通过提高 值来实值来实现的，另外由于现的，另外由于 ，所以增大，所以增大 ，当然希望减小，当然希望减小 ，可见系统的响应速度与振荡性能之间是存在矛盾的。因可见系统的响应速度与振荡性能之间是存在矛盾的。因此即要减弱系统的振荡性能，又要系统具有一定的响应此即要减弱系统的振荡性能，又要系统具有一定的响应速度，那就只有选择合适的速度，那就只有选择合适的 和和 才能实现。才能实现。第28页，本讲稿共38页四二阶系统响应的性能指标四二阶系统响应的性能指标 1.1.上升时间上升时间 当当 一定时，一定时，增大，增大，减小；当减小；当 一定时，一定时，增大，增大，增大增大 2.2.峰值时间峰值时间 3.3.最大超调量最大超调量=4.调整时间调整时间 5.振荡次数振荡次数 第29页，本讲稿共38页例例2 2：已知：已知 0.60.6，5 5，求系统的性能指标。，求系统的性能指标。例例3:3:如图所示如图所示 a a 的机械系统，在质量的机械系统，在质量 上施加阶跃力上施加阶跃力 后，后，的时间响应的时间响应 如图如图 所示，求系统的所示，求系统的第30页，本讲稿共38页例例4 4：如如图图 所所示示的的机机械械系系统统，在在质质量量 上上施施加加的的阶阶跃跃力力 后后，的时间响应的时间响应 如图如图 所示，求系统的所示，求系统的第31页，本讲稿共38页4.4稳态误差分析与计算稳态误差分析与计算 所谓准确性它指瞬态响应结束后，实际的输出与希望的所谓准确性它指瞬态响应结束后，实际的输出与希望的输出量之间的偏差输出量之间的偏差稳态误差，稳态误差，一稳态误差的定义一稳态误差的定义拉氏变换为拉氏变换为拉氏变换为拉氏变换为 第32页，本讲稿共38页二稳态误差的计算二稳态误差的计算根据终值定理根据终值定理例例5：已知单位反馈系统的开环传递函数为：已知单位反馈系统的开环传递函数为 ，当输入信，当输入信号号 时，求系统的稳态误差。时，求系统的稳态误差。第33页，本讲稿共38页三输入信号作用下的稳态误差与系统结构的关系三输入信号作用下的稳态误差与系统结构的关系 V V为开环传递函数中包含积分环节的数目为开环传递函数中包含积分环节的数目 的系统称为的系统称为0 0型系统型系统 的系统称为的系统称为型系统型系统 的系统称为的系统称为型系统型系统稳态误差与系统的型别有关，下面分析三种不同输入信号输稳态误差与系统的型别有关，下面分析三种不同输入信号输入时系统的稳态误差。入时系统的稳态误差。为了便于说明，我们以单位反馈系统为了便于说明，我们以单位反馈系统 的情况进行讨论的情况进行讨论第34页，本讲稿共38页1 1输入阶跃信号输入阶跃信号稳态误差稳态误差？2 2输入斜坡信号输入斜坡信号3.3.输入抛物线信号输入抛物线信号 第35页，本讲稿共38页三种典型输入信号下的稳态误差与系统型别之间的规律系统型别系统型别 阶跃输入阶跃输入 斜坡输入斜坡输入 抛物线函数输入抛物线函数输入 0 0 0 0 0 0 0 第36页，本讲稿共38页例：单位反馈系统开环传递函数例：单位反馈系统开环传递函数 ，当输入信号，当输入信号 为为 时，系统的稳态误差时，系统的稳态误差例：例：单单位反位反馈馈系系统统开开环传递环传递函数函数 ，当，当输输入信号入信号 为为 时时，系，系统统的的稳态误稳态误差差第37页，本讲稿共38页结论：结论：稳态误差与输入信号有关；稳态误差与输入信号有关；稳态误差与系统型次有关。型次越高，稳态误差越小；稳态误差与系统型次有关。型次越高，稳态误差越小；稳稳态态误误差差与与系系统统开开环环增增益益有有关关。开开环环增增益益越越大大，稳稳态态误差越小；误差越小；当当系系统统存存在在几几个个输输入入作作用用时时，可可按按叠叠加加原原理理进进行行计计算算。系系统统存存在在干干扰扰作作用用时时，总总的的误误差差等等于于给给定定输输入入和和干扰分别作用引起的误差之和；干扰分别作用引起的误差之和；单位反馈系统稳态误差和稳态偏差相同。单位反馈系统稳态误差和稳态偏差相同。第38页，本讲稿共38页