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多元课件第三章1第1页，共111页，编辑于2022年，星期六3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布 一、一、正态变量二次型的分布正态变量二次型的分布 二、威沙特分布二、威沙特分布 三、三、霍特林霍特林T2分布分布 四、威尔克斯统计量四、威尔克斯统计量3.2 单总体均值向量的检验及置信域单总体均值向量的检验及置信域3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验目目 录录(一一)2第2页，共111页，编辑于2022年，星期六 一元统计中一元统计中,参数参数,2 2的检验涉的检验涉及到一个总体、二个总体及到一个总体、二个总体,乃至多乃至多个总体的检验问题个总体的检验问题;推广到推广到p元统计分析中，类似地元统计分析中，类似地对参数向量对参数向量和参数矩阵和参数矩阵 涉及到涉及到的检验也有一个总体、二个总体的检验也有一个总体、二个总体,乃乃至多个总体的检验问题。至多个总体的检验问题。第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3第3页，共111页，编辑于2022年，星期六 在一元统计中，用于检验在一元统计中，用于检验,2 2的抽样分的抽样分布有布有2 2分布分布,t 分布分布,F分布等分布等,它们都是由来它们都是由来自总体自总体N(N(,2 2)的样本导出的检验统计量的样本导出的检验统计量.推广到多元统计分析后，也有相应于以推广到多元统计分析后，也有相应于以上三个常用分布的统计量上三个常用分布的统计量:Wishart,:Wishart,Hotelling Hotelling T 2 2,Wilks,Wilks 统计量统计量,讨论这些统讨论这些统计量的分布是多元统计分析所涉及的假设检计量的分布是多元统计分析所涉及的假设检验问题的基础验问题的基础.第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验4第4页，共111页，编辑于2022年，星期六 设设Xi N N1 1(i ,2 2)()(i=1,.=1,.,n),),且相互独立，记且相互独立，记第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型一般情况一般情况(i 0 0，2 2 1 1时时),),结论结论1 15第5页，共111页，编辑于2022年，星期六 结论结论2 2 当当i0(0(i=1,=1,n),),2 2=1=1时时,XX的分布的分布常称为非中心常称为非中心2 2分布分布.第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型 定义定义3.1.13.1.1 设设n维随机向量维随机向量XN Nn(,In)(0),0),则称随机变量则称随机变量XX为服从为服从 n个自由度个自由度,非中心参数非中心参数的的2 2分布，记为分布，记为 6第6页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型则则 结论结论3 3 设设XNn(0,2 2In),A为为n阶对称方阵阶对称方阵,rk(rk(A)=)=r,则则 二次型二次型 XAX/22 2(r)A2 2A(A为对称幂等阵为对称幂等阵).).特例特例:当当A=In时时,7第7页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的分量独立的正态变量的二次型正态变量的二次型 结论结论4 4 设设XNn(,2 2In),),A为对称阵为对称阵,且且rkrk(A)=)=r,则二次型则二次型 A2 2A(A为对称幂等阵为对称幂等阵).).作业作业1:证明充分证明充分性性(习题习题3-1 ）(充分性的证明类似于结论充分性的证明类似于结论3 3中充分性的证明中充分性的证明方法方法,必要性证明不要求必要性证明不要求)13第13页，共111页，编辑于2022年，星期六 结论结论5 5 二次型与线性函数的独立性二次型与线性函数的独立性:设设XN Nn n(,2In),),A为为n阶对称阵，阶对称阵，B为为mn阵阵,令令XAX,Z=BX(Z为为m维维 随机向随机向量量),),若若BA=O,则则BX和和XAX相互独立相互独立.第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型 证明证明 设设rk(rk(A)=)=r0(0(当当r=0=0时时A0 0，结论，结论显然成立显然成立)，存在正交阵，存在正交阵使使17第17页，共111页，编辑于2022年，星期六 结论结论6 6 两个二次型相互独立的条件两个二次型相互独立的条件:设设XNn(,2In),),A，B为为n阶对称阵则阶对称阵则AB O XAX与与XBX相互独立相互独立.第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型 证明必要性的思路：证明必要性的思路：记记rk(rk(A)=)=r.因因A为为n阶对称阵阶对称阵,存在正交阵存在正交阵,使得使得 A=diag(diag(1,1,r 0,.,0)0,.,0)令令Y X，则，则YNn(,2In),),作业作业2:证明证明必要性必要性(习题习题3-2）21第21页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型且且 又因为又因为 X BX=Y B Y=Y HY,其中其中H=B。如果由如果由AB=O,能够证明能够证明XBX可表示为可表示为Yr+1+1，,Yn的函数，即的函数，即H只是只是右下子块右下子块H22为非为非O的矩阵。的矩阵。则则XAX 与与XBX相互独立。相互独立。22第22页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-一般一般p维正态变量的二次型维正态变量的二次型 结论结论1 1 设设XNp(,),0,0,则则X-1 X2 2(p,)，其中，其中-1.证明证明 因因0,0,由正定阵的分解可得由正定阵的分解可得 C C(C为非退化阵为非退化阵).).令令YC-1-1X(即即XCY)，则，则 YN Np(C-1-1,C-1-1 (C-1-1),),因因CC，所以，所以YN Np(C-1-1,Ip).).且且 X-1XY C-1 CYY Y2 2(p,)，其中其中(C-1-1)(C-1-1)=-1.27第27页，共111页，编辑于2022年，星期六 结论结论2 2 设设XN Np(,),0,0,A为对称阵为对称阵,rk(rk(A)=)=r.则则(X-)A(X-)2(2(r)AAA.第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-一般一般p p维正态变量的二次型维正态变量的二次型 证明证明 因因0,0,则则rk(rk()p.因因为对称为对称阵阵,故存在正交阵故存在正交阵,使得使得28第28页，共111页，编辑于2022年，星期六 令令第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-一般一般p p维正态变量的二次型维正态变量的二次型这里这里注意注意:修改修改P5529第29页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-一般一般p p维正态变量的二次型维正态变量的二次型 由以上由以上“1.1.结论结论3 3”的证明知的证明知即即两边左右乘两边左右乘1/2，即得即得 AAA.30第30页，共111页，编辑于2022年，星期六 结论结论3 3 设设XN Np(,),0,0,A和和B为为p阶对称阶对称阵阵,则则 (X-)A(X-)与与(X-)B(X-)独立独立 ABOpp.第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-一般一般p p维正态变量的二次型维正态变量的二次型注意注意:修改修改P55倒倒2行行31第31页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-一般一般p p维正态变量的二次型维正态变量的二次型由由“1.1.结论结论6 6”知知与与相互独立相互独立 32第32页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-非中心非中心 t 分布和分布和F F分布分布定义定义3.1.23.1.2定义定义3.1.33.1.333第33页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-非中心非中心t t分布的应用分布的应用 一元统计中，关于一个正态总体一元统计中，关于一个正态总体N(N(,2 2)的均值检的均值检验中，检验验中，检验H H0 0：0 0时，检验统计量时，检验统计量否定域为否定域为|T|，其中，其中满足：满足：P|P|T|=(显著性水平显著性水平).).34第34页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-非中心非中心t分布的应用分布的应用 当否定当否定H H0 0时，可能犯第一类错误，且时，可能犯第一类错误，且 第一类错误的概率第一类错误的概率P P“以真当假以真当假”P P|T|0 0 显著性水平显著性水平.当当H H0 0相容时，可能犯第二类错误，且相容时，可能犯第二类错误，且 第二类错误的概率第二类错误的概率P P“以假当真以假当真”P P|T|=1 1 0 0 =.此时检验统计量此时检验统计量Tt(n-1,-1,),利用非中心利用非中心 t t分布分布可以计算第二类错误可以计算第二类错误的值的值.35第35页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)Wishart分布是一元统计中分布是一元统计中2分布的推广分布的推广.多多元正态总体元正态总体Np(,)中中,常用样本均值向量常用样本均值向量X作作为为的估计，样本协差阵的估计，样本协差阵SA/(n-1)作为作为的的估计估计.由第二章的定理由第二章的定理2.5.2已给出了已给出了XNp(,/n).S?.一元统计中，用样本方差一元统计中，用样本方差作为作为2的估计，而且知道的估计，而且知道36第36页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)推广到推广到p元正态总体元正态总体,样本协差阵样本协差阵SA/(n-1)及随及随机矩阵机矩阵A(离差阵离差阵)的分布是什么的分布是什么?设设X()(1,n)为来自为来自Np(0,)的随机样本的随机样本,考虑考虑随机矩阵随机矩阵的分布的分布.当当p=1时时，37第37页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)推广到推广到p维正态总体时，随机矩阵维正态总体时，随机矩阵W的分布是什么的分布是什么?定义定义3.1.4 设设X()Np(0,)(1,n)相相互独立，则称随机矩阵互独立，则称随机矩阵的分布为的分布为Wishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)，记，记为为WWp(n,).显然显然p=1时时 ,即即38第38页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)一般地一般地,设设X()Np(,)(1,n)相互独立相互独立,记记则称则称WXX服从非中心参数为服从非中心参数为的非中心的非中心Wishart分布分布,记为记为WWp(n,).其中其中39第39页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)当当X()Np(,)(1,n)相互独立时，非中心相互独立时，非中心参数参数这里这里其中其中p为随机矩阵为随机矩阵W的阶数的阶数,n为自由度为自由度,一元统计中一元统计中的的2对应对应p元统计中的协差阵元统计中的协差阵.40第40页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质1 设设X()Np(,)(1,n)相互独立，则相互独立，则样本离差阵样本离差阵A服从服从Wishart分布，即分布，即 证明证明 根据第二章根据第二章2.5的定理的定理2.5.2知知而而ZNp(0,)(=1,n-1)相互独立相互独立,由定义由定义 3.1.4可知可知AWp(n-1,).41第41页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 由于由于Wishart分布是分布是2分布的推广分布的推广,它具有它具有2分布分布的一些性质的一些性质.性质性质2 关于自由度关于自由度n具有可加性：具有可加性：设设Wi Wp(ni,)(i1,k)相互独立，则相互独立，则 性质性质3 设设p阶随机阵阶随机阵WWp(n,),C是是mp常数阵常数阵,则则m阶随机阵阶随机阵CWC也服从也服从Wishart分布分布,即即CWCWm(n,CC).42第42页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质证明证明其中其中 ZNp(0,)(=1,n)相互独立相互独立.令令Y=CZ,则则YNm(0,CC).故故 由定义由定义3.1.4有有:43第43页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 aWWp(n,a)(a0，为常数，为常数).在性质在性质3 中只须取中只须取Ca1/2 Ip，即得此结论，即得此结论.特例：特例：设设l(l1,lp)，则，则 lWl W1(n,ll),即即 22(n)(其中其中2ll).在性质在性质3中只须取中只须取Cl,即得此结论即得此结论.思考思考:试问随机阵试问随机阵W的对角元素的对角元素Wii的分布？的分布？44第44页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质4 4 分块分块Wishart矩阵的分布矩阵的分布:设设X()Np(0,)(1,n)相互独立，其中相互独立，其中又已知随机矩阵又已知随机矩阵则则(习题习题3-4)45第45页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质5 设随机矩阵设随机矩阵WWp(n,)，记，记则则相互独立。其中相互独立。其中(性质性质5,性质性质7和性质和性质8不要求不要求)46第46页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质6 设随机矩阵设随机矩阵WWp(n,)，则，则 E(W)n.证明证明:由定义由定义3.1.4,知知其中其中ZNp(0,)(=1,n)相互独立相互独立.则则47第47页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布分布 一元统计中一元统计中,若若XN(0,1),2(n),X与与 相互独立相互独立,则随机变量则随机变量下面把下面把 的分布推广到的分布推广到p元总体元总体.设总体设总体XNp(0,)，随机阵，随机阵W Wp(n,),我们来讨论我们来讨论T2nXW-1 X的分的分布布.48第48页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布分布 定义定义3.1.5 设设XNp(0,),随机阵随机阵WWp(n,)(0,np),且且X与与W相互独立相互独立,则称统计量则称统计量T2nXW-1 X 为为Hotelling T2 统计量统计量,其分布称其分布称为服从为服从n个自由度的个自由度的T2 分布分布,记为记为T2 T2(p,n).更一般地更一般地,若若XNp(,)(0),则称则称T2 的分的分布为布为非中心非中心Hotelling T2 分布，记为分布，记为 T2 T2(p,n,).49第49页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质1 设设X()Np(,)(1,n)是来自是来自p元总体元总体Np(,)的随机样本的随机样本,X和和A分别为总体分别为总体Np(,)的样本的样本均值向量和离差阵均值向量和离差阵,则统计量则统计量事实上事实上,因因 50第50页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 而而AWp(n-1,),且且A与与X相互独立相互独立.由定义由定义 3.1.5知知51第51页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质2 T2与与F分布的关系分布的关系:设设T2T2(p,n)，则则在一元统计中在一元统计中52第52页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质当当p=1时时,一维总体一维总体XN(0,2)，所以所以 注意注意:因因这是性质这是性质2的特例的特例:即即p=1时时,T2F(1,n).53第53页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质一般地：一般地：(性质性质2的严格证明见参考文献的严格证明见参考文献2)其中其中X-1 X2(p,)(0)，还可以证明，还可以证明2(n-p+1),且且与与独立独立.54第54页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质3 设设XNp(,),随机阵随机阵WWp(n,)(0,np),且且X与与W相互独立相互独立,T2nXW-1 X为非中心为非中心Hotelling T2 统计量统计量(T2 T2(p,n,).则则其中非中心参数其中非中心参数 .55第55页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 或 性质性质3 设设X()Np(,)(1,n)是来自是来自p元元总体总体Np(,)的随机样本的随机样本,X 和和A分别为样本均值向量分别为样本均值向量和离差阵和离差阵.记记56第56页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 一元统计中一元统计中(p=1时时),t 统计量与参数统计量与参数2无关无关.类似类似地有以下性质地有以下性质.性质性质4 T2统计量的分布只与统计量的分布只与p,n有关有关,而而与与无关无关.即即57第57页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 事实上事实上,因因XNp(0,)(0),WWp(n,),则则-1/2XNp(0,Ip)，因此因此58第58页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质5 在非退化的线性变换下在非退化的线性变换下,T2统计量保统计量保持不变持不变 设设X()(1,n)是来自是来自p元总体元总体Np(,)的的随机样本随机样本,Xx和和Ax分别表示正态总体分别表示正态总体X的样的样本均值向量和离差阵本均值向量和离差阵,则由性质则由性质1有有59第59页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 作业作业(习题习题3-4)令令其中其中C是是p p非退化常数矩阵，非退化常数矩阵，d是是p 1常常向量。则可证明：向量。则可证明：60第60页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 分布的定义分布的定义 一元统计中一元统计中,设设2(m),2(n),且相互独立且相互独立,则则 在总体在总体N(1,2(x)和和N(2,2(y)方差齐性检验中方差齐性检验中,设设X(i)(i=1,m)为来自总体为来自总体N(1,2(x)的样本的样本,Y(j)(j=1,n)为为来自总体来自总体N(2,2(y)的样本的样本.取取2(x)和和2(y)的估计量的估计量(样本样本方差方差)分别为分别为61第61页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 分布的定义分布的定义检验统计量检验统计量 p元总体元总体Np(,)中中,协差阵协差阵的估计量为的估计量为A/(n-1)或或A/n.在检验在检验H0:12时时,如何用一个数值来描述估如何用一个数值来描述估计矩阵的离散程度呢计矩阵的离散程度呢.一般可用矩阵的行列式、迹一般可用矩阵的行列式、迹或特征值等数量指标来描述总体的分散程度或特征值等数量指标来描述总体的分散程度.62第62页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 分布的定义分布的定义 定义定义3.1.6 设设XNp(,),则称协差阵的行列则称协差阵的行列式式|为为X的广义方差的广义方差.若若X()(1,n)为为p元总体元总体X的随机样本，的随机样本，A为样本离差阵为样本离差阵,有了广义方差的概念后有了广义方差的概念后,在多元统计的协差阵齐次检在多元统计的协差阵齐次检验中验中,类似一元统计类似一元统计,可考虑两个广义方差之比构成可考虑两个广义方差之比构成的统计量的统计量Wilks统计量的分布统计量的分布.63第63页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 分布的定义分布的定义 定义定义3.1.7 设设A1Wp(n1,),A2Wp(n2,)(0,n1p),且且A1与与A2独立独立,则称广义方差之比则称广义方差之比为为Wilks(或或)统计量统计量,其分布称为其分布称为Wilks(威尔威尔克斯克斯)分布分布,记为记为 (p,n1,n2)(或或p,n1,n2)64第64页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 统计量的性质统计量的性质 在实际应用中在实际应用中,常把常把统计量化为统计量化为T2统计量统计量,进而进而化为化为F统计量统计量,利用我们熟悉的利用我们熟悉的F统计量来解决多元统计量来解决多元统计分析中有关检验的问题统计分析中有关检验的问题.结论结论1 当当n21时时,设设n1=np,则则注意注意:在这里记号在这里记号(p,n,1)有两重含义有两重含义:统计量统计量(也是随机变量也是随机变量);其分布是参数为其分布是参数为p,n,1的威尔克斯分布的威尔克斯分布.65第65页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 统计量的性质统计量的性质或或 证明证明 设设X()(1,n,n+1)相互独立同相互独立同Np(0,)分布分布,显然有显然有66第66页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 统计量的性质统计量的性质由定义由定义3.1.7，知，知67第67页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 统计量的性质统计量的性质利用分块矩阵求行列式的公式利用分块矩阵求行列式的公式(见附录的推论见附录的推论4.1):68第68页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 统计量的性质统计量的性质所以所以结论结论2 当当n22时时,设设n1np,则则69第69页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 统计量的性质统计量的性质 结论结论3 当当p=1时，则时，则因因p=1时时,(1,n1,n2)就是就是(n1/2,n2/2)利用贝塔分布与利用贝塔分布与F分布的关系分布的关系,即有以上结即有以上结论论.70第70页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Wilks 统计量的性质统计量的性质结论结论4 当当p=2时，则时，则 结论结论5 当当n22,p2时时,可用可用2统计量或统计量或F统计量统计量近似近似.Box(1949)给出以下结论：给出以下结论：设设(p,n,n2),则当则当n时，时，-rln2(p n2),其中其中r=n-(p-n2+1)/2.(二个重要结论不要求二个重要结论不要求)71第71页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 在多元统计分析中在多元统计分析中,考虑的总体是考虑的总体是p维正态总维正态总体体Np(,),关于均值向量的检验问题经常是关于均值向量的检验问题经常是需要的需要的.p元正态随机向量的每一个分量都是一元正态变量元正态随机向量的每一个分量都是一元正态变量,关于均值向量的检验问题能否化为关于均值向量的检验问题能否化为 p个一元正态的均个一元正态的均值检验问题呢值检验问题呢?显然这是不完全的显然这是不完全的.因为因为p个分量之间个分量之间往往有互相依赖的关系往往有互相依赖的关系,分开作检验分开作检验,往往得不出正往往得不出正确的结论确的结论.但我们可以构造出类似于一元统计中的统但我们可以构造出类似于一元统计中的统计量计量,用来对均值向量进行检验用来对均值向量进行检验.73第73页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验关于均值向量的检验包括关于均值向量的检验包括:一个一个p元正态总体元正态总体Np(,),检验检验 H0:0;二个二个p元正态总体元正态总体Np(1,1)和和Np(2,2)，检验检验H0:12 k个个p元正态总体元正态总体Np(i,)(i1,k),当协差当协差阵相等时检验阵相等时检验k个均值向量是否全相等个均值向量是否全相等(即多元即多元方差分析方差分析).74第74页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 设总体设总体XNp(,),随机样本随机样本X()(1,n).检验检验H0:0(0为已知向量为已知向量),H1:01.当当0已知时均值向量的检验已知时均值向量的检验利用二次型分布的结论利用二次型分布的结论(“2.结论结论1”)知知75第75页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验取检验统计量为取检验统计量为 按传统的检验方法按传统的检验方法,对给定的显著水平对给定的显著水平,查查2分布临界值表得分布临界值表得:76第76页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 由样本值由样本值x()(1,n),计算计算X及及T20值值,若若T20,则否定则否定H0,否则否则H0相容相容.利利用用统统计计软软件件(如如SAS系系统统),还还可可以以通通过过计计算算显显著著性性概概率率值值(p值值)给给出出检检验验结结果果,且且由由此此得得出出的的结结论论更丰富更丰富.假假设设在在H0成成立立情情况况下下,随随机机变变量量T20 2(p),由由样样本本值值 计计 算算 得得 到到T20的的 值值 为为 d,可可 以以 计计 算算 以以 下下 概概 率率 值值：p=P T20 d,常称此概率值为常称此概率值为显著性概率值显著性概率值，或简称为，或简称为p值值.77第77页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 对给定的显著性水平对给定的显著性水平,当当p值值时时(即即d值大值大,X与与偏差大偏差大),则在显著性水平则在显著性水平下否定假设下否定假设H0；在这种情；在这种情况下况下,可能犯可能犯“以真当假以真当假”的第一类错误的第一类错误,且且就是就是犯第一类错误的概率犯第一类错误的概率.当当p值值时时(即即d值小值小,X与与偏差小偏差小),则在显著性水平则在显著性水平下下H0相容；在这种情况下，可能犯相容；在这种情况下，可能犯“以假当真以假当真”的第二类错误的第二类错误,且犯第二类错误的概率且犯第二类错误的概率为为 =P T20|当当=10,其中检验统计量其中检验统计量T20 2(p,),非中心参数非中心参数 =n(1-0)(0)-1(1-0).78第78页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 p值的直观含义可以这样看值的直观含义可以这样看,检验统计量检验统计量T20的大的大小反映小反映X与与0的偏差大小的偏差大小,当当H0成立时成立时T20 值应较小值应较小.现在由观测数据计算现在由观测数据计算T20值为值为d；当；当H0 成立时统计量成立时统计量T20 2(p),由由2分布可以计算该统计量分布可以计算该统计量d的概率值的概率值(即即p值值).比如比如p值值=0.02=0.05,表示在表示在 0的假设下，的假设下，观测数据中极少会出现观测数据中极少会出现T20的值大于等于的值大于等于d值的情况，值的情况，故在故在0.05的水平下有足够的证据否定原假设，即的水平下有足够的证据否定原假设，即认为认为与与0 有显著地差异有显著地差异.79第79页，共111页，编辑于2022年，星期六第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 又比如当又比如当p值值=0.22=0.05时时,表示在表示在0的假设下，观测数据中经常会出现的假设下，观测数据中经常会出现T20的值大于等于的值大于等于d值的情况，故在值的情况，故在0.05的的水平下没有足够的