状态空间分析讲稿.ppt

关于状态空间分析第一页，讲稿共六十一页哦9.3.1 由系统机理建立状态空间表达式由系统机理建立状态空间表达式例例9-29-2 力、弹簧、阻尼器组成的机械系统力、弹簧、阻尼器组成的机械系统由牛顿定律由牛顿定律其中，输入为其中，输入为F(t),输出为位移输出为位移 y(t).若已知初始位移和初始速度，则可唯若已知初始位移和初始速度，则可唯一确定系统在输入作用下的解。一确定系统在输入作用下的解。第二页，讲稿共六十一页哦可选择可选择位移位移和和速度速度作为作为状态变量状态变量状态方程为状态方程为输入输入系统的状态空间表达式为系统的状态空间表达式为第三页，讲稿共六十一页哦例例9-3 机械系统如图所示，若不考虑重力的作用，试写出以拉机械系统如图所示，若不考虑重力的作用，试写出以拉力力F为输入，质量为输入，质量m1和和m2的位移的位移y1和和y2为输出的状态空间表达式。为输出的状态空间表达式。解解 根据牛顿定律，分别列写关于根据牛顿定律，分别列写关于m1和和m2的方程的方程选择选择4个互相独立的状态变量。个互相独立的状态变量。第四页，讲稿共六十一页哦第五页，讲稿共六十一页哦9.3.3 9.3.3 由微分方程建立由微分方程建立状态空间描述状态空间描述步骤步骤：直接根据系统的物理机理建立相应的微分直接根据系统的物理机理建立相应的微分(连续系统）或差分（离连续系统）或差分（离散系统）方程组。散系统）方程组。针对微分方程，定义一组状态变量，建立针对微分方程，定义一组状态变量，建立状态方程状态方程，并根据系统输，并根据系统输出和状态之间的关系，建立系统的出和状态之间的关系，建立系统的输出方程输出方程 。状态变量的选取状态变量的选取 1 1.状态变量的选取是非唯一的。状态变量的选取是非唯一的。2.2.选取方法选取方法 （1 1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。（2 2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i i、电容电压、电容电压u uc c 、质量、质量m m 的速的速度度v v 等）等）第六页，讲稿共六十一页哦(1)线性微分方程中线性微分方程中不含有输入函数导数项不含有输入函数导数项的系统的状态空间表的系统的状态空间表达式达式 设单输入设单输入/单输出的控制系统的动态过程由下列单输出的控制系统的动态过程由下列n n阶微分阶微分方程来描述方程来描述输出信号及其各阶导数输出信号及其各阶导数u u 系统的输入信号系统的输入信号若已知初始条件若已知初始条件 及及 时刻的输入信时刻的输入信号号u(t)u(t)，则系统在任何时刻的行为便可完全确定。，则系统在任何时刻的行为便可完全确定。第七页，讲稿共六十一页哦状态变量可取为状态变量可取为可写为可写为第八页，讲稿共六十一页哦状态空间表达式状态空间表达式C=1 0 0 0其中，各矩阵为其中，各矩阵为,A=,B=第九页，讲稿共六十一页哦由微分方程求状态空间表达式的例题见书例由微分方程求状态空间表达式的例题见书例93b b根据上式绘制的状态变量之间关系的方块图根据上式绘制的状态变量之间关系的方块图,也称也称状态变量图状态变量图,如图所示，每个积分器的输出都是对应的一个状态变量，状态如图所示，每个积分器的输出都是对应的一个状态变量，状态方程由积分器的输入输出关系确定，输出方程在输出端给出方程由积分器的输入输出关系确定，输出方程在输出端给出 ：第十页，讲稿共六十一页哦例例9-49-4 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为设一控制系统的动态过程用微分方程表示为u，y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。解：选取状态变量为解：选取状态变量为写成标准形式写成标准形式第十一页，讲稿共六十一页哦(2)(2)输入信号包含导数项的输入信号包含导数项的n n阶微分方程系统的状态空间描述阶微分方程系统的状态空间描述控制系统由下列控制系统由下列n n阶微分方程来描述阶微分方程来描述若采用上述方法选取状态变量，则可化成一阶微分方程组若采用上述方法选取状态变量，则可化成一阶微分方程组方程组中，出现了方程组中，出现了u u(t t)的导数项，不能采用以上方法。的导数项，不能采用以上方法。第十二页，讲稿共六十一页哦选择状态变量的原则：选择状态变量的原则：在包含状态变量的在包含状态变量的n个一阶微分方程个一阶微分方程构成的系统状态方程中，任何一个微分方程都不能含有作用构成的系统状态方程中，任何一个微分方程都不能含有作用函数函数/输入量的导数项。输入量的导数项。若若输输入入信信号号 在在 时时刻刻出出现现有有限限跳跳跃跃，如如阶阶跃跃函函数数，则则 在在t t0 0时时刻刻出出现现脉脉冲冲函函数数 ，在在t t0 0时时刻刻将将是是更更高高阶阶的的脉脉冲冲函函数数，状状态态轨轨迹迹则则在在t t0 0时时刻刻产产生生无无穷穷大大跳跳跃跃。故故此此时时不不能能按按照照前前面面的的方方法法将将系系统统的的输输出出量量 及及其其各各阶阶导导数数直直接接选选作作系系统统的的状状态态变变量量，因因为为这这组组状状态态变变量量已已经经不不具具备备在在已已知知系系统统输输入入和和初初始始状状态态条条件件下下完完全全确确定定系统未来运动状态的特性。系统未来运动状态的特性。第十三页，讲稿共六十一页哦选取状态变量选取状态变量由此可得输出方程n-1n-1个状态个状态方程方程可写成可写成第十四页，讲稿共六十一页哦对对x xn n求导求导将将y(n)代入代入第十五页，讲稿共六十一页哦将上式中所有的输出项以及输出的导数项都用状态和输入的各阶导数将上式中所有的输出项以及输出的导数项都用状态和输入的各阶导数项表示有项表示有可写成可写成可以保证系统有唯一解。可以保证系统有唯一解。第十六页，讲稿共六十一页哦 A=B=C=1 0 0 0，将微分方程组改写成矩阵向量形式将微分方程组改写成矩阵向量形式第十七页，讲稿共六十一页哦例例9-5 设设一一控控制制系系统统的的动动态态方方程程用用微微分分方方程程表表示示为为 试求该控制系统的状态空间描述。试求该控制系统的状态空间描述。解：与下式比较解：与下式比较 可得可得选取状态变量选取状态变量第十八页，讲稿共六十一页哦状态方程为状态方程为系统状态空间表达式为系统状态空间表达式为第十九页，讲稿共六十一页哦一般形式：一般形式：当当式式中中b0=0 时时，还还可可以以按按如如下下规规则则选选择择另另一一组组状状态态变变量量。设设第二十页，讲稿共六十一页哦则得到则得到输出方程为输出方程为 第二十一页，讲稿共六十一页哦继续变换，则得到继续变换，则得到第二十二页，讲稿共六十一页哦对对x1求导，求导，并将并将y(n)用用代入后整理得代入后整理得第二十三页，讲稿共六十一页哦d=0 第二十四页，讲稿共六十一页哦例例9-5（续续）设设一一控控制制系系统统的的动动态态方方程程用用微微分分方方程程表表示示为为 试求该控制系统的状态空间描述。试求该控制系统的状态空间描述。解：与下式比较解：与下式比较 可得可得选取状态变量选取状态变量第二十五页，讲稿共六十一页哦所以状态空间表达式为所以状态空间表达式为 对于一个给定的系统而言，状态变量的选取并不是唯一的。对于一个给定的系统而言，状态变量的选取并不是唯一的。第二十六页，讲稿共六十一页哦例例9-6 设有双输入双输出的二阶系统设有双输入双输出的二阶系统，其运动方程为，其运动方程为试写出系统的状态空间表达式试写出系统的状态空间表达式解：按最高阶导数项求解解：按最高阶导数项求解y y1 1、y y2 2的方法，的方法，对以上两方程积分对以上两方程积分第二十七页，讲稿共六十一页哦选取状态变量选取状态变量由由y y1 1的表达式可得的表达式可得选取状态变量选取状态变量则有则有由由y y2 2的表达式，有的表达式，有综上综上第二十八页，讲稿共六十一页哦将上述方程写成矩阵方程形式，有将上述方程写成矩阵方程形式，有系统输出矩阵方程为系统输出矩阵方程为第二十九页，讲稿共六十一页哦9.3.3 由状态变量图求由状态变量图求状态空间描述状态空间描述状态变量图状态变量图 描述系统状态变量之间关系的图，由积分环节、描述系统状态变量之间关系的图，由积分环节、比例环节和相加符号组成。比例环节和相加符号组成。状状态态变变量量图图的的特特点点：每每一一个个积积分分环环节节的的输输出出都都代代表表系系统统的一个状态变量的一个状态变量第三十页，讲稿共六十一页哦P276,P276,例例9-79-7：方框图（结构图）方框图（结构图）状态变量图状态变量图步骤：步骤：1.1.结构图由典型环节构成；结构图由典型环节构成；2.2.将一阶惯性环节、二阶震荡环节分解成局部状态图；将一阶惯性环节、二阶震荡环节分解成局部状态图；3.3.设定每一个积分环节的输出为一个状态变量，画出状态设定每一个积分环节的输出为一个状态变量，画出状态变量图。变量图。第三十一页，讲稿共六十一页哦例例9-7 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为试绘制系统的状态变量图，并由图列写系统的状态空间描述。试绘制系统的状态变量图，并由图列写系统的状态空间描述。解解 将系统的闭环传递函数改写成将系统的闭环传递函数改写成令令第三十二页，讲稿共六十一页哦第三十三页，讲稿共六十一页哦作业：P348 9-3，9-6，9-9第三十四页，讲稿共六十一页哦将传递函数转换成状态空间描述将传递函数转换成状态空间描述将状态空间描述转换成传递函数将状态空间描述转换成传递函数9.3.4 系统传递函数与系统传递函数与状态空间描述状态空间描述（1 1）传递函数转换成状态空间描述传递函数转换成状态空间描述第三十五页，讲稿共六十一页哦选取状态变量选取状态变量第三十六页，讲稿共六十一页哦若有若有 ，则输出方程的前两项为零。，则输出方程的前两项为零。此法也可用来求取微分方程中含有输入信号的导数时系统的此法也可用来求取微分方程中含有输入信号的导数时系统的状态空间描述，注意与前面介绍的方法不同的是状态空间描述，注意与前面介绍的方法不同的是B B和和C C不同。不同。第三十七页，讲稿共六十一页哦例9-8 设控制系统的传递函数为设控制系统的传递函数为 试求该统的状态空间描述试求该统的状态空间描述。解解 状态方程为状态方程为输出方程为输出方程为第三十八页，讲稿共六十一页哦 传递函数的串联实现传递函数的串联实现传递函数为两多项式相除形式，分子多项式（传递函数为两多项式相除形式，分子多项式（Numerator）为）为分母多项式（分母多项式（Denominator）如果如果为为G(s)的的m个零点，个零点，为为G（s）的）的n个极点，那么个极点，那么G(s)可以表示为：可以表示为：第三十九页，讲稿共六十一页哦所以系统的实现可以由所以系统的实现可以由共共n个环节串联而成，如图（个环节串联而成，如图（a）所示。）所示。其结构图可以是如图（其结构图可以是如图（b）中虚框表示。）中虚框表示。(a)对第一个环节，由于：对第一个环节，由于：第四十页，讲稿共六十一页哦(b)m=n-1的情况的情况我们我们令各个积分器的输出为系统状态变量令各个积分器的输出为系统状态变量，则得系统状态方程为：，则得系统状态方程为：第四十一页，讲稿共六十一页哦第四十二页，讲稿共六十一页哦 传递函数的并联实现系统传递函数传递函数的并联实现系统传递函数为系统的特征方程。当为系统的特征方程。当Den(s)=0有有n个不等的特征根个不等的特征根（）G(s)可以分解为可以分解为n个分式之和，即：个分式之和，即：，称作系统对应极点，称作系统对应极点pi的的留数留数。其中其中其中，其中，第四十三页，讲稿共六十一页哦上式可以用如图所示的并联方式实现。上式可以用如图所示的并联方式实现。(a)(b)并联实现并联实现(无重根无重根)第四十四页，讲稿共六十一页哦从图（从图（b）我们可得系统的状态方程：）我们可得系统的状态方程：输出方程为：输出方程为：写成矢量形式为：写成矢量形式为：请注意，这里的系统矩阵请注意，这里的系统矩阵A为一标准的对角型。为一标准的对角型。第四十五页，讲稿共六十一页哦 如果状态变量选择为如果状态变量选择为第四十六页，讲稿共六十一页哦那么系统输出则为那么系统输出则为 同样，经过反拉氏变换并展成矩阵形式有同样，经过反拉氏变换并展成矩阵形式有 对角阵标准型对角阵标准型 第四十七页，讲稿共六十一页哦当上述当上述G(s)的分母的分母Den(s)=0有重根时有重根时，不失一般性，假设：，不失一般性，假设：即即为为q重根，其它为单根。这时重根，其它为单根。这时G(S)可以分解为：可以分解为：其中：其中：i=1,2,qj=q+1,q+2,n第四十八页，讲稿共六十一页哦并联实现（有重根）并联实现（有重根）第四十九页，讲稿共六十一页哦取图中每个积分器输出为状态变量，则有：取图中每个积分器输出为状态变量，则有：第五十页，讲稿共六十一页哦注意这里的注意这里的A为一约当标准型。为一约当标准型。第五十一页，讲稿共六十一页哦例例 求下列传递函数的并联实现求下列传递函数的并联实现解：分母各项多项式分解可得解：分母各项多项式分解可得系统并联实现的动态方程为：系统并联实现的动态方程为：第五十二页，讲稿共六十一页哦系统动态方程和系统传递函数（阵）都是控制系统两种经常系统动态方程和系统传递函数（阵）都是控制系统两种经常使用的数学模型。使用的数学模型。动态方程不但体现了系统输入输出的关系，而且还清楚地表动态方程不但体现了系统输入输出的关系，而且还清楚地表达了系统内部状态变量的关系。传递函数只体现了系统输入与达了系统内部状态变量的关系。传递函数只体现了系统输入与输出的关系。输出的关系。从传递函数到动态方程是个系统实现的问题，这是一个比较复从传递函数到动态方程是个系统实现的问题，这是一个比较复杂的并且是非唯一的过程。但从动态方程到传递函数（阵）却是杂的并且是非唯一的过程。但从动态方程到传递函数（阵）却是一个一个唯一的唯一的、比较简单的过程。、比较简单的过程。(2)将状态空间描述转换成传递函数将状态空间描述转换成传递函数第五十三页，讲稿共六十一页哦v 单输入单输入/单输出系统的状态空间描述转换成传递函数单输出系统的状态空间描述转换成传递函数设一单输入设一单输入/单输出系统的状态空间描述为单输出系统的状态空间描述为D为标量为标量设初始条件为零，对上式进行拉氏变换可得设初始条件为零，对上式进行拉氏变换可得系统的传递函数为系统的传递函数为第五十四页，讲稿共六十一页哦例例9-99-9 设系统的状态空间描述为设系统的状态空间描述为求系统的传递函数。求系统的传递函数。解解 状态空间描述的状态空间描述的A,B,C分别为分别为第五十五页，讲稿共六十一页哦系统的传递函数为系统的传递函数为第五十六页，讲稿共六十一页哦v 多输入多输入/多输出系统的状态空间描述转换成传递函数矩阵多输出系统的状态空间描述转换成传递函数矩阵 系统的输出信号系统的输出信号 系统的输入信号系统的输入信号 系统的状态变量系统的状态变量第五十七页，讲稿共六十一页哦 与单输入/单输出系统的状态方程形式相同，仅是矩阵B,C,D的维数不同。将状态方程进行拉氏变换，得将状态方程进行拉氏变换，得传递函数矩阵传递函数矩阵动态方程动态方程第五十八页，讲稿共六十一页哦例例9-10 已知系统的动态方程为已知系统的动态方程为 试求系统的传递矩阵。试求系统的传递矩阵。解：解：第五十九页，讲稿共六十一页哦 系统矩阵系统矩阵A A的特征方程和特征值的特征方程和特征值由系统矩阵由系统矩阵A A构成的方程构成的方程 称系统的称系统的特征方程特征方程,特特征方程的根也称为征方程的根也称为特征值特征值.展开展开有有即可得到即可得到n n个特征值个特征值.如如3 3个特征值为个特征值为1 1、2 2和和3 3则则第六十页，讲稿共六十一页哦感谢大家观看第六十一页，讲稿共六十一页哦