2022年椭圆标准方程及其性质知识点大全2.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 【专题七】 椭圆标准方程及其性质学问点大全 一 椭圆的定义及椭圆的标准方程： 椭圆定义： 平面内一个动点 P 到两个定点 F 1、F 2 的距离之和等于常数 PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 , 这个动点 P 的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的 焦点,两焦点的距离叫作椭圆的 焦距 . 留意： 如 PF 1 PF 2 F 1 F 2 ,就动点 P 的轨迹为线段 F 1F 2； 如 PF 1 PF 2 F 1 F 2 ,就动点 P 的轨迹无图形 二 椭圆的简洁几何性： 标准方程是指中心在原点,坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程；标准方程x2y21ab0 y2x21ab0 a2b2a2b2图形焦点F 1c,0,F2c ,0 F 10 ,c,F2,0c 焦距xF 1F22 cbxF 1F 22 ca范畴a,yb,y性质名师归纳总结 对称性 a 0, ,0关于x轴、y轴和原点对称a , b 0, 第 1 页,共 4 页顶点b 0 ,轴长长轴长A A 2,A A 2=2 a,短轴长B B 2,B B 2=2 b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 离心率ec0e1,e1b2c2a2b2aa（离心率越大,椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数 a 与 b,确定椭圆的外形和大小,是椭圆的定型条件,焦点F1,F2的位置,是椭圆的定位条件,它打算椭圆标准方程的类型,常数 a,b,c 都大于零,其中 a最大且 a 2 =b 2 +c 2 .2 2 2. 方程 Ax By C 表示椭圆的充要条件是： ABC 0,且 A,B,C 同号,A B；AB 时,焦点在 y 轴上, AB 时,焦点 在 x 轴上；三焦点三角形的面积公式：SPF F 1 2b2 tan 2如图： 椭圆标准方程为:x2y21ab0 ,椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一a2b2名师归纳总结 点,F F2为焦点且F PF2,就F PF 2为焦点三角形,其面积为SPF F 12b2 tan2；第 2 页,共 4 页四通径 ：如图：通径长MN2b2yMxa 椭圆标准方程 :x2y21ab0 ,Fa2b2五点与 椭圆的位置关系 ：2 y 01；（ 2）点P x 0,y 0在椭圆上N（1）点P x 0,y 0在椭圆外x20a22 b2 x 0y21；0a2b22 y 02 b12（3）点 P x 0 , y 0 在椭圆内 x 02a 六 直线与椭圆的位置关系 ：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设直线 l 的方程为： Ax+By+C=0 ,椭圆x2y21（a b 0）,联立组成方a2b2程组,消去 y或 x利用判别式 的符号来确定：0直线与椭圆相切；、（1）相交：0直线与椭圆相交；（ 2）相切：（3）相离：0直线与椭圆相离；b0 相交于两点A x 1,y 1 七 弦长公式： 如直 线 AB:ykxb与椭圆标准方程:x2y21aa2b2B x 2,y 2,1整理得：把 AB 所在直线方程 y=kx+b,代入椭圆方程x2y2a2b2Ax2+Bx+C=0 ； 弦长公式：x2111k2y2x 1x224x 1x2y21k2a（含 x 的方程）AB1k2x 1AB1y11y 124y 1y2=11a（含 yk2k2k2的方程）名师归纳总结 （八）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“ 韦达定理 ” 或“ 点差法 ” 求解；第 3 页,共 4 页设是椭圆上不重合的两点,A x 1 , y 1,B x 2 , y2x2y21ab0a2b2直线的斜率 ABk, M AB,是线段的中点坐标,x 0 y 0 ABx0x 12x2y0y1y22就,x 12y 1211a2b2x22y2212a2b2两式相减得x1x2a2x 1x2y 1y2b2y1y20Qy1y2b2gx1x2x1x2a2y1y2所以1 式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题,此法称为点差法 设而不求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆标准方程 :x2y21ab0 ,以M x 0,y 0为中点的弦所在直线的斜率a2b2k k OMb2；y2x21ab0 ,以M x 0,y 0为中点的弦所在直线的斜率a2椭圆标准方程 : a2b2k k OMa2b2斜率为 k 的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点为 Px1,y1 ,Qx2,y2 ,中点为M（x0,y0）,把 P,Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得x ky2 2 0a b（椭圆内不含端点的线段）【考点指要】；15%左右,且 1 道,挑选题和填空在历年的高考数学试题中,有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的题型,数量,难度保持相对稳固：挑选题和填空题共2 道题,解答题题主要考查圆锥曲线的标准方程,几何性质等；解答题往往是以椭圆,双曲线或抛物线为 载体的有肯定难度的综合题,问题涉及函数,方程,不等式,三角函数,平面对量等诸多 方面的学问,并包蕴着数学结合,等价转化,分类争论等数学思想方法,对考生的数学学 科才能及思维才能的考查要求较高；主要考查：圆锥曲线的概念和性质；直线与圆锥曲线 的位置关系；求曲线的方程；与圆锥曲线有关的定值问题,最值问题,对称问题,范畴问 题等；曲线的应用问题,探究问题以及圆锥曲线与其它数学内容的交汇问题也将是高考命 题的热点；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页
