_第一章解直角三角形 锐角三角函数九年级数学下册 .docx
锐角三角函数【知识梳理】一、锐角三角函数的概念如图所示，在RtABC中，C90°，A所对的边BC记为a，叫做A的对边，也叫做B的邻边，B所对的边AC记为b，叫做B的对边，也是A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即.同理；要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，不能理解成sin与A，cos与A，tan与A的乘积书写时习惯上省略A的角的记号“”，但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、常写成、(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<A<90°间变化时，tanA0二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、的值依次为、，而、的值的顺序正好相反.三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在RtABC中，C=90°(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：【典型例题】考点一 锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A,B,C都在格点上,则tanABC的值是 ()A.2B.12C.55D.5【例2】如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tanBAC的值为()A.12B.1C.33D.3【变式训练】1. 如图，若点A的坐标为(1,3),则sin1=. 2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是（）A2 B C D考点二 已知三角函数求边长【例3】如图,在ABC中,C=90°,AB=15,sinB=35,则BC的长为()A.3B.9C.4D.12【变式训练】1. 如图,在RtABC中,C=90°,AC=4,tanA=12,则AB的长是()A.2B.8C.25D.452. 在RtABC中,C=90°,若AB=5,sinA=35,则斜边AB上的高为. 考点三 特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°【例6】已知ABC中的A与B满足（1tanA）2+|sinB|=0（1）试判断ABC的形状（2）求（1+sinA）22（3+tanC）0的值【变式训练】1. 6tan230°sin60°2sin45° 2. sin60°4cos230°+sin45°tan60°3. 若,是一个三角形的两个锐角,且满足sin-32+(3-tan)2=0,则对此三角形的形状描述最准确的是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)如图1，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°_(2)对于0A180°，A的正对值sadA的取值范围是_(3)如图1，已知sinA，其中A为锐角，试求sadA的值【变式训练】如图,定义:在RtABC中,锐角的邻边与对边的比叫做的余切,记作cot,即cot=的邻边的对边=ACBC.根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°=; (2)已知tanA=34,其中A为锐角,则cotA的值为. 【强化练习】1. 如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是AB上一点(不与点A,B重合),连结PO,设POB=,则点P的坐标是()A.(sin,sin)B.(cos,cos)C.(cos,sin)D.(sin,cos)2. 如图,已知AB是O的直径,弦CDAB,AC=22,BC=1,那么sinABD的值是. 3. 在RtABC中,若2AB=AC,则cosC=. 4. 如图,在ABC中,B=45°,AC=5,cosC=35,AD是BC边上的高线.(1)求AD的长;(2)求ABC的面积.5. 如图所示，AB是O的直径，且AB10，CD是O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD6，试求cosAPC的值 答案及解析【典型例题】考点一 锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A,B,C都在格点上,则tanABC的值是 ()A.2B.12C.55D.5【答案】A【例2】如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tanBAC的值为()A.12B.1C.33D.3【答案】B【解析】如图,连结BC,则BCAB.在RtABC中,AB=BC=22+12=5,tanBAC=BCAB=1.【变式训练】1. 如图，若点A的坐标为(1,3),则sin1=. 【答案】322. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是（）A2 B C D【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，ABC为直角三角形，tanB=，故选：D考点二 已知三角函数求边长【例3】如图,在ABC中,C=90°,AB=15,sinB=35,则BC的长为()A.3B.9C.4D.12【答案】D【变式训练】1. 如图,在RtABC中,C=90°,AC=4,tanA=12,则AB的长是()A.2B.8C.25D.45【答案】C2. 在RtABC中,C=90°,若AB=5,sinA=35,则斜边AB上的高为. 【答案】125考点三 特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°【答案】见解析【解析】原式=+=2+=32+2=【例6】已知ABC中的A与B满足（1tanA）2+|sinB|=0（1）试判断ABC的形状（2）求（1+sinA）22（3+tanC）0的值【答案】见解析【解析】（1）|1tanA）2+|sinB|=0，tanA=1，sinB=，A=45°，B=60°，C=180°45°60°=75°，ABC是锐角三角形；（2）A=45°，B=60°，C=180°45°60°=75°，原式=（1+）221=【变式训练】1. 6tan230°sin60°2sin45° 2. sin60°4cos230°+sin45°tan60°【答案】见解析【解答】（1）原式= (2) 原式=×4×（）2+×=3+=；3. 若,是一个三角形的两个锐角,且满足sin-32+(3-tan)2=0,则对此三角形的形状描述最准确的是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解答】sin-32+(3-tan)2=0,sin-32=0,3-tan=0,sin=32,tan=3.又,都是锐角,=60°,=60°,此三角形的形状是等边三角形.故选C考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)如图1，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°_(2)对于0A180°，A的正对值sadA的取值范围是_(3)如图1，已知sinA，其中A为锐角，试求sadA的值【答案】见解析【解析】(1)1； (2)0sadA2；(3)如图2所示，延长AC到D，使ADAB，连接BD设ADAB5a，由得BC3a， ， CD5a-4aa， 【变式训练】如图,定义:在RtABC中,锐角的邻边与对边的比叫做的余切,记作cot,即cot=的邻边的对边=ACBC.根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°=; (2)已知tanA=34,其中A为锐角,则cotA的值为. 【答案】(1)；（2）【强化练习】1. 如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是AB上一点(不与点A,B重合),连结PO,设POB=,则点P的坐标是()A.(sin,sin)B.(cos,cos)C.(cos,sin)D.(sin,cos)【答案】C【解析】如图,过点P作PQOB,垂足为Q.在RtOPQ中,OP=1,POQ=,sin=PQOP,cos=OQOP,即PQ=sin,OQ=cos,则点P的坐标为(cos,sin).故选C.2. 如图,已知AB是O的直径,弦CDAB,AC=22,BC=1,那么sinABD的值是. 【答案】223【解析】AB是O的直径,ACB=90°,则AB=12+(22)2=3.ABCD,AC=AD,ABC=ABD,sinABD=sinABC=ACAB=223.3. 在RtABC中,若2AB=AC,则cosC=. 【答案】.32或255【解析】2AB=AC,AB不是最长边,即C90°.分两种情况讨论:当B=90°时,设AB=x,则AC=2x,BC=(2x)2-x2=3x,cosC=BCAC=3x2x=32.当A=90°时,设AB=y,则AC=2y,BC=(2y)2+y2=5y,cosC=ACBC=2y5y=255.综上所述,cosC的值为32或255.4. 如图,在ABC中,B=45°,AC=5,cosC=35,AD是BC边上的高线.(1)求AD的长;(2)求ABC的面积.【答案】见解析【解答】解:(1)ADBC,ADC=ADB=90°.在RtACD中,AC=5,cosC=35,CD=AC·cosC=3,AD=AC2-CD2=4.(2)B=45°,ADB=90°,BAD=90°-B=45°,B=BAD,BD=AD=4,SABC=12AD·BC=12×4×(4+3)=14.5. 如图所示，AB是O的直径，且AB10，CD是O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD6，试求cosAPC的值 【答案】见解析【解答】连结AC， AB是O的直径， ACP90°，又 BD，PABPCD， PCDPAB， 又 CD6，AB10， 在RtPAC中，
