第二十六章 反比例函数综合问题 讲义人教版九年级数学下册.docx
反比例函数综合问题类型一点的坐标问题此类问题的常见类型:(1)求一次函数与反比例函数的图象的交点坐标:联立一次函数与反比例函数的解析式求解;(2)判断点是否在函数图象上:将点的坐标代入解析式,若符合则在,若不符合则不在;(3)求字母的值:将点的坐标代入解析式求解.例1.如图,函数y=x(x0)的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A,若点A绕点Bk2,0顺时针旋转90°后,得到的点A'仍在y=kx的图象上,则点A的坐标为. 例2.如图,一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A(2,m)和B两点.(1)求反比例函数的解析式;(2)求点B的坐标.例3.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2),过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;(2)若反比例函数y=mx(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上.例4.如图,一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k0)的图象相交于A(-1,m),B两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0),使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点,求b的值.类型二面积问题解决面积问题,主要考虑以下几个方面:(1)应用反比例函数比例系数k的几何意义;(2)若三角形的一边平行于x轴或y轴,则以此边为底求面积,如图1;若三边均不平行于坐标轴,则一般采用割补法求面积,如图2;(3)不规则图形转化为规则图形求面积 例5.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,RtOAB的直角顶点B在x轴的正半轴上,点A在第一象限,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D,连接CD.若ACD的面积是2,则k的值是. 例6.如图,矩形OABC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上,D为AB的中点,反比例函数y=kx(k>0)的图象经过点D,且与BC交于点E,连接OD,OE,DE,若ODE的面积为3,则k的值为. 例7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=-2x与反比例函数y=kx的图象交于A(a,-4),B两点.过原点O的另一条直线l与双曲线y=kx交于P,Q两点(P点在第二象限),若以点A,B,P,Q为顶点的四边形的面积为24,则点P的坐标是. 例8.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别在x轴和y轴上,OAOB=34.AOB的平分线与OA的垂直平分线交于点C,与AB交于点D,反比例函数y=kx的图象过点C.当以CD为边的正方形的面积为27时,k的值是()A.2B.3C.5D.7例9.如图,已知反比例函数y=mx(x>0)的图象经过点A(4,2),过A作ACy轴于点C.点B为反比例函数图象上的动点,过点B作BDx轴于点D,连接AD.直线BC与x轴的负半轴交于点E.(1)求反比例函数的表达式;(2)若BD=3OC,求BDE的面积.类型三最值问题此类问题一般借助对称点,依据三角形的两边之和大于第三边转化求解.例10.如图,点A(m,2),B(n,2)分别是反比例函数y=-4x,y=2x在x轴上方的图象上的点,点P是x轴上的动点,则PA+PB的最小值为. 例11.如图,点A(a,1),B(-1,b)都在双曲线y=-2x(x<0)上,点P,Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ所在直线的解析式为. 例12.如图,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y=3x上,点C,D分别是x轴,y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为()A.52B.62C.210+22D.82例13.如图,点A(a,2),B(-2,b)都在双曲线y=kx(x<0)上,点P,Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ所在直线的解析式是y=x+1.5,则k的值为()A.-7B.-4C.3D.7例14.如图,点A(m,4),B(n,1)在反比例函数图象上,ADx轴于点D,BCx轴于点C,DC=3,在x轴上存在一点P,使|PA-PB|的值最大,则点P的坐标是()A.(5,0)B.(4,0)C.(3,0)D.(2,0)例15.如图,已知直线y=ax+b与双曲线y=kx(x>0)交于A,B两点,与x轴交于点P(x0,0),与y轴交于点C.已知A,B两点的坐标分别为(1,3),(3,y1).(1)求点P的坐标;(2)连接OA,OB,求三角形OAB的面积;(3)在x轴上找出一点H,使HA+HB的值最小,求出符合条件的点H的坐标及HA+HB的最小值.例16.如图,反比例函数y=kx(k0,x>0)的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上的点A(1,3)作ABx轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD.(1)求k的值;(2)求点C的坐标;(3)在y轴上确定一点M,使点M到C,D两点距离之和d=MC+MD最小,求出点M的坐标.
