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2022年中考专题复习：几何探究压轴题1.如图 1 矩形 A8C。中，点 E 是 CO 边上的动点(点 E 不与点 C,。重合)，连接 AE,过点 A 作 AF_LA交延 长线于点尸，连接 EF,点 G 为 E 尸的中点，连接 8G.求证：AADES AABF:若 AB=20,AO=10设E=x 点 G到直线 BC 的距离为.求 y 与 x的函数关系式；FC 24当生=胃时，X 的值为；oO 13(3汝口图 2,若AB=BC,设四边形 488的面积为 S,四边形 BCEG 的面积为 当号=；S 时，DE：0 c的值为2.在 RtAABC 中，NA=90。，AB=AC=50，点。为 AB 边上一点，AD=2a,点P为BC边上一点,连接DP,将。尸绕点。逆时针旋转 90。得到线段 OQ,连接尸 Q.(1)83=,OP 的最小值是；(2)当 NBPQ=15。时，求 8尸的长；(3)连接 BQ,若 ABO。的面积为 3,求 tan/BOQ 的值.3.A AABABC C中，8。_LAC于点3,点尸为射线B上任一点(点8除外)连接AP,将线段R4绕点尸顺时针方向旋 转a,a=ZABC,得到 PE,连接 CE.且 NABC=60。时，BP 与 CE 的数量关系是.(2)猜想证明：如图 2,当 8A=8C,且 NABC=90。时，请写出 BP 与 CE 的数量关系及 8C 与 CE 的位置关系，并说明理由.(3)拓展探究：在(2)的条件下，若 A8=8,AP=5近,请直接写出 CE 的长4.在 ZJA8C 中，AB=AC,NR4C=90。，点。，E 分别是 AC,线段出绕点 P顺时针旋转 90。得到线段 PM,连接 AM,CM.如图(1).当点 P 与点。重合时，线段 CM 与 PE的数量关系是,(2)探究证明当点 P 在射线 EQ 上运动时(不与点 E重合)，(1)中结论是否一定成立？请仅就图(2)中的情形给出证明.(3)问题解决Ar连接 PC,当PCM 是等边三角形时，请直接写出隹 的值.PE;8c与 CE 的位置关系是BC的中点，点 P 是直线 DE上一点，连接 AP,将图备用图,ACM=(1)观察发现:(1)问题发现5.已知：在正方形 ABC。中，点 E是边 A8 上点，点 G在边 A。上，连接 EG,EG=DG,EFLEG,交边 BC 于点尸(图 1).求证：AE+CF=EF；(2)连接正方形 A8CD 的对角线 AC,连接广，线段 AC 与线段。户相交于点 K(图 2),探究线段 AE、AD.AK 之 间的数量关系，直接写出你的结论；(3)在 的条件下，连接线段 DE与线段 AC 相交于点 P,(图 3)若AK=8母.MEF 的周长为 24,求 PK的 长.6.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称直等补四边形，根据以上定义，解决下列问题:如图 1,正方形 ABC。中，E 是 CD 上的点，将 ABCE 绕 8点旋转，使 8c与 8A 重合，此时点 E的对应点 E在DA 的延长线上，则四边形 BE。尸为直等补四边形，为什么？(2)如图 2,已知四边形 ABC。是“直等补”四边形，AB=BC=5,CD-I,ADAB,点 8到宜线 A。的距离为 BE.求 BE的长.若 M、N 分别是 AB、4。边上的动点，求 AMNC 周长的最小值.7.已知，80是菱形 ABC。的对角线，OEF 是直角三角形，NEDF=90。,NDEF=NA,连接 8E,点 G 是 8E的中点，连接CG、BF.(1)当 NA=90。时，如图 1,若 AOEF 的顶点 E 落在线段 CO 上时，请直接写出线段 CG 与线段 BF 的数量关系：如图 2,当 AOEF 的顶点 E 落在线段 83上时，中线段 CG 与线段 8尸的数量关系是否仍然成立？若成立，请 给予证明，若不成立，请说明理由.同学们经过讨论，探究出以下解决问题的思路：思路一：连接 4C,记 A与 8。相交于点 O,AC 与 BF相交于点 M,再利用三角形全等或相似的有关知识来解决问 题.思路二：记 A。与 EF 交于点“，易知”是 EF 的中点，连接 C”，将CW 绕点 C 顺时针旋转 90。，再利用旋转的 性质、三角形全等或相似的有关知识来解决问题.请参考上述思路，完成该问题的解答过程(一种方法即可)(2)当 NA=120。时，如图 3,若。灯的顶点 E 落在线段 CC 上时，请直接写出线段 CG 与线段 BF的数量关系.8.在 ABC 中，AB=AC,N8AC=120。，点尸在线段 AC 上，连接 8F,延长 CA 至点 3,连接 80,满足/ABF=ZABD,”是线段 BC 上一动点(不与点 8、C 重合)，连接DH交BF于点E,交 AB 于点 G.(D如图，若/ABF=NFBC,BD=2,求。C 的长；(2)如图，若NCDH+NBFD弓NDEF,猜想 40与 CH 的数量关系，并证明你猜想的结论:(3)如图，在(1)的条件下，P是BCD 内一点，连接 BP,DP,满足/82。=150。，是否存在点尸、H,使得2PH+CH 最小？若存在，请直接写出 2PH+C”的最小值.9.正方形 A8C。，点 E 在边 BC上，连 AE.如图 1,若 tanNE4C=；,AB=4,求 EC 长；(2)如图 2,点 F 在对角线 AC 上，满足=过点 F 作对人 AC 交 8 于 G,点 H 在线段 FG 上(不与端点重合)，连接若 NE4=45。，求证：EC=HG+y/iFC;(3)如图 3,在(1)的条件下，G是 40中点，点”是直线 C。上的一动点，连 G4,将A ADGDG“沿着 G翻折得到PGH,连 PB 交 AE于 Q,连孙、PD,当 BP最小值时，请直接写出/W)的面积.10.如图，点 E为正方形 ABCC 内一点，ZAEB=90,将 Rs ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90。，得到 CBE(点 A 的对应点为点 C).延长 AE 交 CE 于点 F,连接。E.猜想证明:(1)四边形 8ETE的形状是；(2汝口图，若 ZM=OE,请猜想线段 C 尸与尸 E 的数量关系并加以证明;(3)如图，若 48=15,CF=3,求 OE 的长.11.在等边A AMCMC 中，点。，E 分别在边 AB,BC 上运动，以 OE为边向右作等边A A)EF,)EF,设 AO=SE.(1)如图 1,求证：NCEF=NBDE；(2)如图 1,连接 C 凡请你从下列三个选项中，任选一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明；k=2；CT 平分 4CB；A,BE,C 尸三条线段构成以 AO 为斜边的直角三角形.1AF)(3汝口图 2,A=-,连接 AF,8b当 A 尸+8/取得最小值时，求工大的值.2AB12.如图，在正方形 ABCQ 中，B 为边 BC 上一点，连接 AE,过点。作 ONLAE 交 4E、AB 分别于点尸、N.AD AD ADB E C BEC BEC图图图(1)求证：4 ABEmADAN；(2)若 E 为 8c 中点，如图，连接 AC 交 OP 于点求 CM：AM 的值；如图，连接 CF,求 tanNCFE 的值.13.如图，在等腰直角三角形 ABC 和 AOE 中，AC=AB,AD=AE,连接 80,点 M、N 分别是 8。，BC 的中点,连接 MM(1)如图 1,当顶点。在边 4c 上时，请直接写出线段 BE与线段 MN 的数量关系是,位置关系是.(2)当 A40E绕点 4旋转时，连接 BE,上述结论是否依然成立，若成立请就图 2情况给出证明：若不成立，请说明理由.(3)当 AC=5 时，在 A4DE 绕点 A旋转过程中，以。，E,M,N 为顶点可以组成平行四边形，请直接写出 4。的 长.14.矩形纸片 A8C。中，AB=4.图图图图实践思考：(1)连接 8。，将纸片折叠，使点 8落在边上，对应点为 E,折痕为 G”,点 G,分别在 A8,BD上.若 AO=6AB,如图.80=,tan ZADB=；若折叠后的 AAGE 为等腰三角形，则“为_ 三角形；隐去点 E,G,H,线段 GE,EH,折痕 GH,如图，过点。作。FLB。交 BC 的延长线于点 F,连接 4RAC,则 S*C/=:若 AO=(应+1)A8,如图，点 M 在 AO 边上，H AM=AB,连接求的度数；拓展探究：(3)若 AO=&AB,如图，N为边 AO 的中点，P 为矩形 4BCQ 内一点，连接 BP,CP,满足 NBPC=90。，。是边A8 上一动点，则 PQ+QN 的最小值为15.AABC 为等腰直角三角形，ZBAC=90,AB=AC,点。为 8c的中点，连接 A。，在线段 A。上有一点 M,连接 CM,以A 仞为直角边，点 A 为直角顶点，向右作等腰宜角三角形 AMN.图 1图 2图 3(1)如图 1,若 sinNMCO=g,CD=4,求线段 MV 的长；(2)如图 2,将等腰直角三角形 AMN 绕点 A 顺时针旋转 a。(0。0(。45。)，连接 CM、DM、CN,若DMCN,求证：4DM2+CN2=CM2；(3)如图 3,线段 MN 交线段 AC 于点 E,点 P、点。分别为线段 BC、线段 AC 上的点，连接 PM、QN,将 OPM沿翻折得到AOPM,将 EQN 沿 QN 翻折得到 AEQV,若 8c=8,在线段 8C 上找一点尸，连接 FD FE,请直接写出 FD+FE 的最小值.16.如图，在菱形 ABCZ)中，ZBAD=120,将边 48绕点 A 逆时针旋转至 48,记旋转角为 a.过点。作。尸，BC 于点尸，过点 8作 BE,直线于点 E,连接 EF.【探索发现】(1)填空：当 a=60 时，ZEBB=【验证猜想】成的值是(2)当 00aEJ_BC,垂足为。，若 NBE=60。，4c=2&，BD=有,求线段 AE 的长；(2)如图 2,若点。在 AA8C 内部，点尸是的中点，且 NBAO=/C8F,求证：N05尸=45。；(3)如图 3,点 A 与点 4关于直线 8c对称，点。是A AA A，AC 内部一动点，ZADC=90.若 44,则线段的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由.19.在ABC 和中，ZAFE=ZABC=90,ZAEF=ZACB=3Q,AE=-AC,连接 EC.点 G 是 EC 中 2点，将 AAEF 绕点 A 顺时针旋转.(1)如图 1,若 E恰好在线段 4c上，48=2,连接尸 G,求尸 G 的长度；(2)如图 2,若点尸恰好落在射线 CE 上，连接 8G,证明：GB=BAB+GC；2(3)如图 3,若 AB=3,在 AAE 尸旋转过程中，当 GB-(GC 最大时，直接写出直线 AB,AC,BG 所围成三角形的 面积.(1 汝口图 1,连接 PO,若 NPC=60。，AD=4,求 tan/APB 的值；(2)如图 2,点尸在 DC 上，连接 AF.作 Z4 总的平分线 PE交 AF 于点 E,连接 OE、CE,若 ZAP8=60。,PA+PC=/3PE.求证：平分 NADF；(3)如图 3,在(2)的条件下，点。为 AP 的中点，点”为平面内一动点，且 AQ=MQ,连接 PM,以 PM为边长 作等边，若BP=2,直接写出 8必的最小值.20.如图，在正方形 ABCZ)中，点尸为 C8 延长线上一点，连接 AP.连接。M,CP 平分 NBCQ 交 QM 于点 P,连接 PB,当/ANO=60。时,连接 NP.证明：DN+BN=yiPN;(3)如图 3,当 N4NO=45。，点尸为正方形内一任意点，连接 BP,CP,DP,NP,当 BP+CP+OP 取最小值时，直 接写出 PN?的值.(2)如图 2,以 BC 为边向外作正 ABCM,21.在边长为 2面的正方形 A8CC 中，点 N 为血延长线上一点，连接 ON.(1)如图 1,以 BC 为边向内作正 ABCM,连接 MN,当 C,M,N 三点共线时，求：A AON 的面积;参考答案:1.(1)证明：.AE_LAF,.*,ZE4F=90,四边形 A3c都是矩形，/./BAD=ZABC=ZABF=ND=90,.ZE4F=ZR4D,.ZFAB=ZDAE,-ZABF=ZD=90f:NADEs(2)如图，作GH上BF于H.vZGWF=ZC=90,:.GHHEC,:FG=GE,:.FH=HC,/.EC=2GH=2yfDE+EC=CD=AB=2G,x+2y=20,y-+10(0 x M=MB=3,分两种情况讨论:情况一：当 Q 点在 BC 左侧时，如下图所示:由旋转得，DQ=DP,NPDg90。,：.ZQPD=45,:NBPQ=15。,：.ZBPD=30,BD:.PM=CDM=3百,：.BP=PM+MB=3y/3+3i情况二：当。点在 8c右侧时，如下图所示:：ZQPD=45,N8PQ=15,ZBPD=60,:.PM=半=6,：.BP=PM+MB=/3+3,综上所述，8P的值为 3G+3或 G+3.解：分别过点 Q、P 作 AB 的垂线，垂足分别为点 G、H,则 BH=PH,NQGD=NPHD=90。,：.Z QDG+Z OQG=90。，Z PDH+Z QDG=90,:.NDQG=NPDH,：PD=QD,：.DGQ/PHD(44S),:.QG=DH,DG=PH,BOQ的面积为 3,.；8OQG=3 且 BO=3及，:.DH=QG=yf2,分两种情况讨论：情况一：当点。在 BC左侧时，如上图所示:DG=PH=BH=BD+DH=36+O=4后,_ QG _ 6 _ 1 DG 4x/2-4情况二：当点 Q 在 BC 右侧时，如下图所示:DG=PH=BH=BD-DH=3Q-6=2近,“旃嘿=系=；综上所述吟3.(1)如图，连接 AE,A：BA=BC,且 NA8C=60。，.4BC 为等边三角形，A ZABC=ZBAC=ZACB=60,AB=AC,：PE=PA,且 NAPE=a=60。，ZXAPE为等边三角形，ZM=60,AP=AE9tan 2BDQ：.ZBAC-ZPAC=ZPAE-ZPAC,：.ZBAP=ZCAE；AB=AC 在 ABA 尸和CAE中，/BAP=NCAE,AP=AE:BP=CE,NABP 二 NACE,VBD1AC,BA=BCfZABC=60,NABP=30。,：.ZABP=ZACE=30,:.NACE+NACB=90。，：.BCCE.故答案为：BP=CE,BCCE；(2)(2)CE=42BP9BC.LCE；理由：连接 AE,由题意可知：AA3C、A4PE均为等腰直角三角形,Ar AF r-：.ZBAC=ZPAE=45f一=一=V2,AB AP：.ZBAP+ZPAD=ZCAE+ZPADf即 NBAP=NCAE；v.AC AE又.南=瓦AABAPACAE,A=/2,NACE=NABP,BP BA9：AB=BCfBDLAC,:.NABO=NC8D=NAC8=45=/ACE,，ZBCE=ZBCA+ZACM5+45=90,:.BCLCE,:.BCLCE,CE=4iBP；(3)(4)CE=2 或 14.如图，当点尸在 8。上时，连接 4E,VAB=8,：.AD=BD=4yf2，：AP=5/2,.在&AAPD 中，PDAP2-AD2=342.，8P=4&-3&=&,由(2)知：CE=41BP,CE=V2-/2=2：如图，当点 P 不在 8。上时，连接 AE,同理可得 OP=3 五,ma+3 及=7 及，CE=7&.&=14.综上：CE的长为 2 或 14.4.CM=-J1PE，45解法提示：；点。，分别是 AC,8C 的中点,/.DE/-AB.二 2由旋转知，ZAPM=90,即 AC_LPM.易知 nW=A)=C,.ZACM=ZCMD=45,.DCM 为等腰直角三角形，-CM=y/2CD.：PE=-AB=-AC=CD,22CM=历PE.(2)一定成立.证明：在A AABCABC 中，AB=AC,N8AC=90,点 E 是 BC 的中点，连接 AE,如图，则 NE4C=NE4B=45。.:点D,E 分别是 AC,BC 的中点，DE/-AB.=2,ZAEP=ZPAE=45.V PA=PM,ZAPM=90,二是等腰直角三角形，/.ZPAM=45,ZEAC=ZPAM,：.ZEAP=ZCAM,.AE _y/2 AP _y2-=-，-=-，AC 2 AM 2.AE AP就一而AAPAACM,XACM=Z.AEP=45，-=/2,PE AE:CM=PE.解法提示：当PCM是等边三角形时，分两种情况讨论.过点户作尸 4,CM 于点“，延长 CM 交直线于点 F.由（2）知 NACM=45。，易得A ACDCD 尸和PF4 均为等腰直角三角形.设尸”=a,则=，CH=a,A CM=a又由（2）知瞿=&,PE口 F C 厂A A.瓜 PE=-CM=a,23,:CF=FH+CH=a+a,AC=2CD=2x CF=-J1CF,32AC 亿+半当点 P 在 8c 下方时，如图，连接 AE,.庄=也，ZACM=ZAEPtCM AM 2PE=CM,ZACQ=ZAED=45.2过点尸作 P4LCM 于点”，延长 MC 交直线 EO于点 Q.易得A ACEQCEQ 和A APQHPQH 均为等腰直角三角形.设PH=b,则 Q=b,CH=b,A CA/=AC=72=缶+净,HM同（2）易得APAACA/,3AC综上可知，的值为 G+i或 G-1.PE5.(1)证明：如图 4,连接 OF,作。垂足 M.:DMIEF,GELEF,：./GEF=NOMF=90。,：.DM/GEf：./MDE=/DEG,9：DG=GEfGOE 是等腰三角形，:NGED=/GDE,：./GDE=/EDM,在 DAEA DME中,/ADE=NMDEZA=ZDA/=90,DE=DE:/DAE义4DME(A4S),:.DM=AD,AE=ME,U：AD=CD,：.DC=DM,在 RtL DCF 和 Rm DMF 中，DF=DFDM=DC/?，DCFqRlA DMF(HL),：.CF=MFf：.AE+CF=EM+MFt:EM+MF=EF,：.AE+CF=EFX(2)解：如图 5,连接 EK、ED.图 5由(1)知，A DAE咨LDME,RMDCFqRfA DMF,：.ZADE=NMDE=|NAOM,/CDF=NMDF=y/COM,:.NEDF=NEDM+NMDF=N4OM+g ZCDM=-ZADC=45,V ZAK=45,:NEAK=/EDK,、E、K、。四点共圆，.NEAD+NEKD=180。,：.ZEKD=ISO-ZEAD=90,:.NEDK=45。，EDK 是等腰直角三角形，DE2=2DK2,：S源形AEKD=SAADE+SAKDE=SAAEK+SAKDA,：.；ADAE+DKEK=AK-AEinZEAK+AK*ADsinZDAKfAD-AE+DK2=AK*AEx+AK-ADx,22；DK2=DE2=(AE+AE2),：.ADAE+-(A/y+AE2)=AKAE+AKAD,222：.2ADAE+AD2+AE?=y/2 AK-AE+42AK-AD,：.(AD+AE)2=0AK(AO+AE),：AD+AE0,：.AE+AD=42AK;解：.8尸的周长为 24,：.BE+EF+BF=24,由(1)AE+CF=EF,：.BE+AE+CF+BF=24,：.AB+BC=24,：.ABBC=2,即正方形 ABC。的边长为 12,:.AC=MAB=12后.由(2)知 AE+AO=&AK,:AK=8母,.,.AE+AD=5/2 85/2=16,CK=AC-AK=12丘-8a=4 应,：.AE=16-AD=4.：AE/CD,：.AEPsCDP,.AP _ AE 4 _ 1.而一而一五一 3，3 3：.CP=-AC=-x12y2=9&,：.PK=CP-CK=9/2-4/2=572.6.(1)证明：.8CE 绕 B 点旋转，使 BC 与 BA 重合，ZABC=90,二旋转角为 90。，即：NFBE=90。,根据旋转的性质可得：BF=BE,NF=NBEC,:.N F+N BED=N BEC+N BED=18U。,四边形满足“直等补”四边形的定义,四边形 6EO尸为“直等补”四边形；(2)证明：如图 1,过。作。尸于点尸，,四边形 A8CO 为直等补四边形，AB=BC=5,CD=,.ZABC=90,ZABC+ZD=180,ZD=90,.BE.LAD,CFBFf.NDEF=90。,NCFE=90。,四边形 COM 是矩形，.DE=CF,EF=CD=,.NABE+NA=90,ZABE+ZCBE=90,，ZA=NCBF,vZAB=ZfiFC=90,AB=BC,.ABEBCF(AAS),.BE=CF,AE=BF,；DE=CF,;.BE=DE,四边形 CQM 是矩形，.EF=CD=1,MBEwMCF,;.AE=BF,：.AE=BE-,设=则 AE=x-l,RtAABE 中，x2+(x-l)2=52,解得 x=4或 4=一 3（舍去）,：.BE=4；如图 2,延长 CB 到点 F,使得 BF=BC,延长 CD 到点 G,使得 CD=DG,连接 FG,分别与 43、AD 交于点 M、N,过 G 作 G”,3c交的延长线于点”，则夕=b=5,CD=DG=9/ZABC=ZADC=9(rf;.FM=CM,GN=CN,AA/NC 的周长=CA/+MN+aV=BW+MV+GN=FG 时取最小值,四边形 ABCD 为直等补四边形，.ZA+ZBCD=180,/BCD+ZHCG=180,.ZA=ZHCG,又.ZAEB=NCHG=90。,:.MBEMCHG,BE AE AB GW-CW-CG?.AB=5,8=4,AE=yjAB2-BE2=3，.435GHH29解得 G”=2,CH=g:.FH=FC+CH=西,5/.FG=yFH2+GH2=8&，AAfNC 周长的最小值为 8人.7.(1)四边形 A8CZJ 是菱形，ZA=90,二四边形 4BC 是正方形，AB=CD=CB,NBCE=NA=90,：ZEDF=90,ZDEF=ZA,：.NDEF=45。,.OEF 是等腰直角三角形，:.DF=DE,：.AD-DF=CD-DE,gp AF=CE,：.(SAS),：.BF=BE,在 RSCBE 中，点 G 是 BE的中点，：.CG=BE,：.CG=BF,故答案为：CG=3BF；中线段 CG 与线段 BF的数量关系仍然成立，证明：思路一：连接 AC,记 4c 与 8。相交于点 O,AC 与 8F相交于点 M,连接 GM,ABDC图 2四边形 A8CO 是正方形，：.ZBCD=90,BC=CD,DO=BO,ACLBD,：.COBD,CO=DO=BO,由得：DE=DF,设 DE=DF=yfOG=xtOE=at点 G 是 BE 的中点，:.EG=BG=a+x,OB=OG+BG=a+2xf,:OD=OB,.y+a=+2r,.*.y=2x,即 DE=DF=20G,VAC1BD,ZEDF=90,：.OA/DF,:DO=BO,，FM=BM=；BF,DF=2OM,:.OM=x=OG,VAC1BD,:.NMOB=ZGOC=90,VOB=OC,:AMOB义AGOC(SAS),：.CG=BM=BF,.中线段 CG 与线段 8 尸的数量关系仍然成立;过点 C 作 CNLOB 于 N,连接 GN,.四边形 ABC。是菱形，ZA=120,DC=BC,ZADC=60,ZA=ZBCD=120,NBDC=NCBD NOCN=60,DN=BN=；80=6 CN,CN,茄一适，:点、G 是 3七的中点，NG DE,DE 2，./BNG=/BDE,/BOE+NB。尸=90,NBNG+NCNG=900,BDF=ZCNG,：NDEF=；/A,:./。=60。,30,:DF=4iDE,1DE1.NG=2=1,DF-y/3DE-2G.NG CN-=,DF BD:ZBDF=/CNG,:BDFs/CNG,CG CN 1 _茄一茄一砺，:.BF=2 4 CG.故答案为：BF=2CG.8.(1)如图 1,图 1作 DW_LBC 于 M,：.ZBMD=90,：AB=AC,NB4c=120。，,ZABC=ZC=30,NABF=NFBC=15,：.NABD=NABF=15,ZDBM=45,：.DM=BD-smZDBM=2sm450=y/2,:.CD=2DM=2五；CH=5AD,理由如下：如图 2,作HN/1AB交AC于N,作 NM_LBC 于 M,图 2/.ZDNH=180-N84c=60。，:./NHC=/DNH-ZC=60-30=30,NC=NNC=30。，:CH=2HM=2*(HNs/NHC)=2(Ncos30。)=GM,:NCDH+/BFD=?ZDEF,ZCDH+ZBFD+ZDEF=180,2.ZDEF=120,.*.ZBED=ZBAD=60,:乙 4GO=NBGE,ZADG=ZABF=/ABD,:/DBH=NABC+NABO=30+NA8。，NBHD=Z C+ZADG=30+ZABDf:/DBH=/DHB,:DH=BD,:.AABD经XNDH(A4S),:.HN=AD,：.CH=y/3AD；(3)如图 3,作等边三角形 8。，以。为圆心，08=80=2为半径作圆 O,点尸在。上运动，作/BCR=30。，作HN上CR于N：.HN=-CH 2P+”N 最小时，尸、H、N 共线，且PHN过点O,故作。3_7?于 Q 交 4B于。作 8TJ_0。于。:ZABC=ZBCR=30,:.AB/CR,：.OQLBT,作 0B的垂直平分线交 07于 M,：.OM=BM,设 BT=x,；OM=BM=2BT=2x,析=氐，.,*(/3x+2x)2+X2=22,.V6-V2.x=-,2：.BT=(V3+2)诋,2.TQ=8R=；8c=；.(及+卡),N 乙*OQ=y/b+V2,：.PfQ=OQ-OP1=y/6+y/2-2t：2PH+CH=2(PH+-CH)2.2P，+C”的最小值是：2#+2&4.9.(1)解：过 E点作 E,AC 于点，如下图所示:,四边形 488为正方形，AC 为对角线，NHCE=45。,为等腰宜角三角形，设HE=CH=X91EHV tan ZEAC=-=,3 AH.*.AH=3xt：.AC=AHCH=4X9V ZB=90,A D在 RS ABC 中，由勾股定理可知：.16x2=16+16,解得 x=0(负值舍去)，：.EH=HC=y/2,EC=yjEH2+HC2=72+2=2(2)证明：延长 GF 交 BC 于 M,连接 AG,如图 2所示:V FGAAC,ZCFG=90,且 AC 为对角线,/尸 CG=/尸 CM=45,。6 加和 4 CrG 是等腰直角三角形，CM=CGfCG=y/2CF，：.BM=BCCM=CDCG=DG,：AF=ABf：.AF=ADf_i AG=AG在 RS AFG 和 RlAAOG 中，f AF=ADARtA AFGRtA ADG(HL),：.FG=DG,:.BM=FG,；NBAC=NEAH=45。,:./BAE=NFAH,VFG1AC,:.ZAFH=90,：.AABEAAFH(ASA),：.BE=FH,:BM=BE+EM,FG=FH+HG,:.EM=HG,；EC=EM+CM,CM=CG=y/2CF,:EC=HG+6FC.(3)解：如下图 3 所示，G 为 AO 中点,：.GA=GD,将 GDH沿G”翻折得到 4 GPH,：.GD=GP,.G4=GO=GP,动点 P 在以 G点为圆心，GO 为半径的劣弧尸。上运动，如下图 4虚线所示,图4当 8、P、G 三点不共线时，由三角形两边之差小于第三边可知：BPBG-GP,当且仅当 8、P、G 三点共线时有：BP=BG-GP,此时 8 尸取得最小值，.在(1)的条件下，正方形边长 AZ4,：.AG=GD=GP=2,BG=J AB2+AG?=J16+4=2 石，过户点作 PMLAO 于 M点，则 PM/AB,:.GMPsGAB,.MP GP 加、来.南=热，代入数据：MP _ 2瓯5：.SD=-AD?PM 1仓%撞=辿225510.四边形 BEFE是正方形.理由如下：由旋转得，ZE,=ZAEB=90,ZEBE=90,/BE尸=180-ZAB=90,.,四边形 BENE是矩形，由旋转得，BE=BE,二四边形 BE，FE是正方形.CF=FE,证明：如图 2,过点。作。G_LAE 于点 G,则/OG4=NAEB=90。,AB图 2,;DA=DE,：.AG=AE,四边形 ABCD是正方形,：.DA=AB,NDAB=9。,：.ZBAE+ZDAG=90,/NAOG+ND4G=90。，:.ZADG=ZBAE,在 ADG 和 4 BAE 中ZDG=NBAE=ZBAE=90-ZDAB,ACAB,AD=AE,：.CADABAECSAS),CD=BE,ZACD=ZABE,点 M、N 分别是 8。、8c的中点，MN/CD,MN=、CD,2:.MN=LBE；2/ZBCH+ZCBH=ZBCH+ZABE+ZABC=ZBCH+ZACD+ZABC=ZACB+ZABC=90P,.ZC/fl=90,:.CD工BE,/ZWGB=ZCHB=9O；：.MN1BE.(3)如图 3,A。在 AA8C 内部，AE 在 AABC 的外部，且四边形。EMN 是平行四边形,由(2)得，CD上BE,MN/CD,MN=、CD=；BE,-,-DE/MN,：.ZEDN+ZDNM=l 80,ZDNM=NCDN,/.4EDN+ZCDN=180,AC,D、E三点在同一条直线上，/.ZBE0900,DE2=2AD2,DE=6AD，/DE=MN,:.CD=BE=2MN=2DE=2gAD，,:AC=5,BC2=52+52=50,由CE2+BE2=BC2(/2AD+2V2AD)2+(2/2AD)2=50，解得 AO=2 叵；13如图 4,AO、4E 都在 AABC 的外部，且四边形。ENM 是平行四边形，设 BE交 4c于点 0,ZCAD=ZBAE=90+ZCAE,AC=AB,AD=AE,：.ACADABAE(SAS,：.CD=CE,N 分别为 BO、BC的中点，：.MN/CD,/四边形 DENM 是平行四边形，：.DE/MN,.点 E 在 CO 上，-.ZACD=ZABE,ZCOEZAOB,ZACE+ZCOE=ZABE+ZAOB=90,：.NBEC=90。,N 分别是 80、BC 的中点，：.MN=-CD=-BE,22BE=CD=2MN2DE,DE=y/2AD，BE=CD=22AD，由 C5+32=3c2 得，(2 6 AD-&A+(20AD=5O，解得力。=0，综上所述，AO 的长为生叵或行.1314.(1)解：;四边形 ABCQ 是矩形，ZA=90fVAB=4fAD=y/3ABfAD=y/3 ABA 5/3,BD=JAB2AD2=8，tan ZADB=,AD 3故答案为：8,且；3由得：tanNAQB=e,3/.ZADB=309：.ZABD=900-ZADB=60,V ZA=90,AGE 为等腰三角形，:.NAEG=45。，由折叠的性质得：NGEH=NA8D=60。，,ZD/=180-ZAEG-NGEH=180 一 45-60=75,/.ZDHE=180-ZDEH-ZADB=180-75。-30=75,:.ZDEH=ZDHEt：.DE=DHt石是等腰三角形，故答案为：等腰；丁四边形 ABCQ 是矩形，A ZABC=ZBCD=ZADC=90fCD=AB=4,:.ZDCF=90,由得：NA08=3O。，:.ZBDC=90-ZADB=60f：DF.LBD,：.ZBDF=90f：.NCDF=90。-ZBDC=30,:,CF=BCD=,33:.SAACF=I CFxA8=巡,故答案为：殳叵；3(2)解：V ZA=90,AM=AB,ZXABM 是等腰直角三角形，ZAMB=45,AM=AB=4,8M=及 AB=40,VAD=(夜+1)AB=4 垃+4,：.DM=AD-AM=4yf2，:.BM=DM,：.NDBM=NBDM=；NAM8=22.5。；(3)解：.=&AB=40,N 为边 AO 的中点，:.AN=3AD=2及，作点 N 关于 4B 的对称点 M,B 0 c 图则 AN=AN=2五,/NBPC=90,.点 P 在以 8c 为直径的半圆。上，连接。M 交 AB 于 Q,交半圆。于 P,则 OP=O8=g8C=20,QN=QN,此时 PQ+QN 的值最小=尸。+。乂=/”,；/乂 4。=90。=/08。，ZAQN=NBQO,AN=Bg五,.AQMg/SBQ。(A4S),:.QN=QO,AQ=BQ=AB=2,QN=QO=yjBQ+OB2=26，：.PQ+QN=PN=2Q0-OP=4y/3-22，即 PQ+QN的最小值为 4G-2&,故答案为：473-272.15.(1)解：,.NB4C=90,点)是 8c 的中点，AB=AC,：.ADCD=-BC=4,ADLBC,2：sin ZMCD=-,3/.tanZMCD=-4=互,2V24DM=CDtan Z MCD=4X 虫=应，4：.AM=AD-DM=4-&,在 RtAAMN 中，AM AMI-I-iMN=.=.V。=V2x(4-V2)=4 夜-2；sm ZANM sm 45(2)证明：如图 1,连接 8M并延长交 CN 于 E,；NBAC=NMAN=90,：.ZBAC-ZMAC=ZMAN-/MAC,即：4BAM=4CAN,在B4M 和CAN 中，AB=AC E 共圆，:/BEC=NBAC=90,：.EM2CE2=CM2f*：DM/CNf:BDMSBCE,.BM DM BD 1BE CE BC2f:CE=2DM,EM=BM,:EM=CN,：.4DM2CN2=CM2；(3)如图 2,图 2：AD=CD=BC=4fAM=3DM,3：DM=1,AM=3,MN=y/AM=3五,NE=-MN=y/2,3：MD=DM=,NE=NE=j,点。在以“为圆心，1为半径的圆上，点E在以 N 为圆心，|正为半径的圆上,作点 M 关于 BC的对称点 G,连接GN交BC于F,交 0N 于。，则 F0+FE 的最小，在 RtAAGN 中，AG=OG+4Q=1+4=5,AN=3,*-GN=AG?+AN?=J52+32=5/34，：DF/AN9:GFDS/GNA,GF GD*G/V-AG*GF 1,k 片AGF=-/34,：.MF=GF=L回,5:,FD+FE=MF-MD+FN-NE=GF+FN-NE-MD=GN-NEf-MD,即：（FO+F&）min=J-l16.（1）解：当 a=60时，点 9与点 C 重合，四边形 A8CQ 为菱形，ZBAD=120,A ADI IBC,NC8A=60,V BEJLCD,工BE上AB,BP ZABE=90:.ZBBr=90-/CBA=30,在 RtDFC 和 Rt/BEC 中，DC=BCZDCF=4BCEZDFC=/BEC：.ADFCABEC（AAS）,V FC=EC,V NECB=60,:.ZCFE=ZCEF=30,J NCFE=NEBB,：.EF=BE,假设 CE=?，则BC=2m,.EF BE 73-=-=，,DB BC 2故答案为：30；2解：当 0a22如图，当点 E 在。夕的延长线上时，*/BD=DE-BE=2 石-2,ZBBE=NDBF=30./norznDC-EB FB G cos ZB BE=cos NDBF=-=-=BB DB 2又:ABBE-AFBB=ZDBF-Z.FBB,NBBD=NEBF,:.BBA/EBF,.EB FB EF y/3丽一丽一而EF=BD=x(2/3-2)=3-/3.22综上所述：所的长为 3-6 或 3+6.17.(1)证明：如图中，图四边形 A8CO 是矩形，：.AD/BC,.ZAEB=ZDAE,由翻折的性质可知，ZAEB-ZAED,：.ZDAE=ZAED,:.DA=DE；(2)证明：四边形 ABC。为平行四边形,.ZB=ZAZX7,/A43 石