2023一轮复习重难点专题突破专题09 函数零点问题的综合应用（解析版）.docx

2023 一轮复习重难点专题突破专题09函数零点问题的综合应用【方法技巧与总结】1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求 参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与X轴(或直线歹=%)在某区间上的交 点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.【题型归纳目录】题型一：零点问题之一个零点题型二：零点问题之二个零点题型三：零点问题之三个零点题型四：零点问题之max, min问题题型五：零点问题之同构法题型六：零点问题之零点差问题题型七：零点问题之三角函数题型八：零点问题之取点技巧【典例例题】题型一：零点问题之一个零点例 1.已知。>0,函数/()=2以3-3(/+l)x?+6办-2 .(1)讨论x)的单调性；(2)若在R上仅有一个零点，求a的取值范围.【解答】解：(1)由题可知：fx) = 6ax2 - 6(a2 + l)x + 6a- 6(x - a)(ax -1) .令 / x) = 0,则,x = a或x = L当> a,即0 < a < 1时，x(ax)一时> 0 ,此时，/(x)在(Y»,a), (L+oo)单调递增，/(x)在(a-)单调递减：aa当a = l时，/'(x).O恒成立，所以/(x)在R上单调递增.当即°，时，或x卜时,(工)>0,此时，/W在(F,1),(a,+°o)上单调递增，fM在(-,a)单调递减. aa综上，当0<a<l时，“X)的增区间为(-8,。)和f,+oc, “X)的减区间为(a-)； Ja当a = l时，/(x)在H上单调递增；当a>l时，/(x)的增区间为1-8-和(a,+oo), /(x)的减区间为(La). k a)a(2)由题可得:/ (a) =-a4+3a2-2 = (a2-l)(2-a2)；A1) = 1-4 a a"由(1)可得：当Ova <1时，/(a)<0,/d)<0,所以x)仅在(士+8)有一个零点，满足要求； aa当a = l时，f(x)仅有一个零点x = l,满足要求；当。>1时，/(-)>0,又x)在R上仅有一个零点，则/ (a) >0,即2-/>o解得i<a(上， a综上，若八处在R上仅有一个零点，则a的取值范围时(0,忘).例 2,已知函数/(x) = (3/n-2)e*-；x2(meR).(1)若x = 0是函数/J)的一个极值点，试讨论3) = 6加x+ /(x)(/! eR)的单调性；(2)若x)在R上有且仅有一个零点，求机的取值范围.【解答】解：(1) f'M = (3m-2)ex-x, x = 0是函数f(x)的一个极值点，则/'(0) = 3m - 2 = 0 .2I/ LI 1 2/W = , /. h(x) = blnx x .32.x b b -n(x)=x =,XX当h.o时，恒成立，在(o,+8)上单调递减.当 b > 0 时，h'(x) >0=>0<x<y/b .；.h(x)在电,+a>)上单调递减，在(0,)递增.综上，当&, 0时，人(外在(。,茁)上单调递减.当6>0时，力(x)在(扬，+8)上单调递减，在(0,)递增.(2) f(x)在R上有且仅有一个零点，即方程3加-2 =工有唯一解，令g(x)= ；T，g'(x) = J)，令g'(x) = °，可得x = °或x = 2, 2e2ex£(-8,0)时，gf(x) < 0 , xw(0,2)时，gf(x) > 0 , xw(2,+oo)时，gf(x) < 0ga)在(0,2)递增,在 SO), (Z+oo)递减,且 x->+o)时，g(x) - 0, Xf-00 时，g(x) -> 4-0021. 3加- 2 > 丁 或 3加一 2 = 0 .e22-2TH > + yy , 或加=§所以，的取值范围(弓+？，+°°)|J-.例 3.已知函数/(x) = (x-l)e*-ox?+6 .(I )讨论x)的单调性；(II)从下面两个条件中选一个，证明：“X)恰有一个零点.l、 1e?一< u, , b > 2a ；22(2)0 <a < , b la .【解答】解：(I) ： f(x) = (x-)ex -ax1 +b , f'(x) = x(ex-2a),当a. 0时，当x>0时，fx)>0 ,当x<0时，f'(x)<0 ,1/«在(-8,0)上单调递减，在(0,-ko)上单调递增，当a>0时，令/'(x) = 0,可得x = 0或x = /(2a),当0<a<1时， 2当 x>0 或 x</(2a)时，/'(x)>0,当/(2a)<x<0 时，/'(x)<0,/(x)在(-8 ,加(2a), (0,+oo)上单调递增，在(/“(2a), 0)上单调递减，(ii)a = g 时，fx) = x(ex-l.O且等号不恒成立，/(x)在尺上单调递增，(Hi)当 a > 1 时，2当x<0或x>加(2a)时,fx)>Q,当 0<x</"(2a)时，f'(x)<0, /(x)在(-8,0),(历(2a),依)上单调递增，在(0,仞2幻)上单调递减. 综上所述：当a, 0时，f(x)在(-a),0)上单调递减；在(0,田)上 单调递增;当0<。<；时，/(x)在(-8, ln(2a)和(0,+切)上单调递增；在(/"(2a), 0)上单调递减；当时，/(x)在灭 上单调递增；当a>；时，/(x)在(yo,0)和(历(2a), +oo)上单调递增；在(0,加(2a)上单调递减.(II)证明：若选，由(1 )知，/(x)在(yo,0)上单调递增，(0, /”(2a)单调递减，(ln(2a), +8)±/(x)单调递增.注意到 /(_,)= (_甘-1把< 0J(0) = b- l> 2a- l>0 ./(X)在(#Q上有一个零点；f(/n(2a) = (ln(2a) -1) - 2a - a /n2 2a + h > 2aln(2a) -2a- alrr 2a + 2a = aln(2a)(2 -ln(2a),1 /由-v4 得0<加(2a% 2 , /.aln(2a)(2-/w(2a).O ,2 2J(加(2a)>0,当 x.O 时,/(x)./(/«(2a) >0 ,此时/(x)无零点.综上：f(X)在R上仅有一个零点.另解：当 aeg，时，有/"(2a)e(0, 2,而/(x) = b-l>"l = 0，于是 f(ln(2a) = (ln(2a)-1)- 2a-aln2(2a) + b=ln(2a)(2 -ln(2a) + (b-2a)>0 ,所以/(x)在(0,+8)没有零点，当x<0时，-£(0,1),于是幻<-以2+6 = /(-2)<0,所以“X)在(_也,0)上存在一个零点，命题得证. aV a若选，则由(I )知：/(x)在(口，>(2a)上单调递增，在(加(2a), 0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.f(ln(2a) = (ln(2a)-l)2a -aln22a + b.、2aln(2a)-2a-aln22a + 2a = aln(2a)(2-ln(2a),/心<0, .加2硕2-加(2初<。，Mg”。，.当 X. 0 时，/(xl，/(/n(2a)<0 ,此时/(x)无零点.当x>0时，/(x)单调递增，注意至iJ/(0) = b-L, 2a-l<0,取 c = J2Q - b) + 2 , 9： b< 2a < , *- c > V2 > 1» 又易证 e，>c + l，f(c) = (c-l)el -ac2 +b>(c-l)(c + )-ac2 +b = (l-a)c2 +b-l>-c2 +b- = -b + + b- = l>0,/(x)在(0,c)上有唯一零点，即/(X)在(0,+oo)上有唯一零点.综上：/(x)在R上有唯一零点.题型二：零点问题之二个零点例 4.已知函数/(x) = (x-2)e*, a e R .(1)讨论/(x)的单调性：(2)若x)有两个零点，求"的取值范围.【解答】解：(I)由 “x) = (x-2)e，-a(x-l)2,可得 f'(x) = (x-l)e*- 2a(x -l) = (x-l)(ex - 2a),当 a. 0 时，由/'(x)>0,可得 x>l；由/，(x)<0,可得 x<l,即有x)在(-oo,l)递减;在(l,+a>)递增;当a>0时，由/，(x) = 0,解得x = l 或x = /"2a ,若 =1，则(x).O恒成立，即有/(外在R上递增;若0<<时，由/(x)>0,可得x> 1 或；由 f'(x) < 0 ,可得加(2a) <x< 1 ；即有 f(x)在(to,加(2a), (1,Ko)递增，在(历(2a), 1)递减；若 a > ,由 f'(x) > 0 ,可得 x<l 或 x> ln(2a)；由 f'x) < 0 ,可得 1 < x < 加(2a)即有 f(x)在(yo,1),(历(2a), +oo)递增；在(1, /”(2a)递减:综上：当a, 0时，/(x)在(yo,1)递减；在(1,+00)递增；当a>0时，a = '时，f(x)在H上递增;0<a<1时，x)在(-co,加(2a),。,+«)递增，在(历(2a), 1)递减;a>时，/(x)在(-8,1)，(/"(2a),内)递增；在(1，/"(2a)递减(2)由(1)可得，当。<0时，/(x)在(yo,1)递减；在(l,+oo)递增，且/ (1) =-e<0, f (2) =-a>0,故 x)在(1,2)上存在 1 个零点,取 6 满足 b<0, fib</M(-|),则 / (b) "-J"孕-2)-如-1)2 贴-|)>0,故/(x)在S,l)是也存在1个零点，故a<0时，“X)有2个零点；当。=0时，/(x) = (x-2)e*,所以/(x)只有一个零点x = 2 ,不合题意;当a>0时，若。=二时，“X)在R递增，/(x)不存在2个零点，不合题意；若0<。<且，/(x)在(l,+oo)递增，又当x, 1时，/(x)<0 , /(x)不存在2个零点，不合题意，当时，"X)在(-00,1)单调增，在(1, 加(2a)递减，在(/(2a), +8)递增，/(x)极大值=/ (1) =-e<0,故/(x)不存在2个零点，不合题意；综上，/(x)有两个零点时，a的取值范围为(70,0).例5.已知函数/(x) = /9-；以2.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求a的取值范围.【解答】解：(1)/V)的定义域为(0,+8),且/，(x) ="空， X当a. 0时，/'(x)>0,此时/(x)在(0,+oo)上单调递增；当a>0时，由r(x)>0解得0<<也，由(幻<0解得x>也，此时/(x)在(0,也)上单调递增， aaa在(也,+8)上单调递减；a综上，当a, 0时，/(x)在(0,+8)上单调递增；当。>0时，x)在(0,也)上单调递增，在(,+oo)上单调递减； aa(2)由(1)知，当a, 0时，/(x)在(0,+8)上单调递增，函数“X)至多一个零点，不合题意；当。>0时，/(x)在(0,近)上单调递增，在(江,+8)上单调递减，则aafMmax = /() = /n-1 a (-=)2 =-1/n(a + l).a y/a 2 y/a 2当a.时，/(x)max = /() = -ln(a +1) 0 ,函数x)至多有一个零点，不合题意；ea 2当0<。/时，/(x)m=/() = -/«(a + l)>0， ea 2由于le(0,-J=), H/(l) = /nl-fl-l2 = -!-a<0,由零点存在性定理可知，/(X)在(0, j=)上存在唯一零点，由于2>4=，且/(2)=历2-_1.".(2)2=历2-2<2-2=0 (由于/”、<幻， a y/a a a 2 a a a a a由零点存在性定理可知，/(x)在(。,+00)上存在唯零点: y/a综上，实数a的取值范围为(O,). e例6.已知函数/(x) = e*e*-2(a + l) + 2ax(e为自然对数的底数，且a. 1).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(X)有两个零点，求a的取值范围.【解答】解：(1) r(x) = 2(e*-l)(e*-a), a, 0 时，ex - a > 0 ) 则x<0 时，/'(x)<0, /(x)在(-co,0)递减，x>0 时，f'(x) > 0 , /(x)在(0,+oo)递增,当 a >0 时，由/，(x) = 0 得$ =/"a , x2 = 0 , 若。=1,则 f'(x).O ,故 f(x)在 R 递增， 若0 < a < 1 ,则当 x < Ina 或 x > 0 时，f'(x) > 0 )< x < 0 时，f'(x) < 0 ,故/(x)在(0,+oo)递增，在(0a,0)递减;综上：a. 0时，/(x)在(-oo,0)递减，在(0,+8)递增，0<a<l 时，f(x)在(-oo,/a) , (0,+<»)递增，在(/“a,0)递减； a = l时，x)在R递增；(2)a = l时，/(x)在R递增，不可能有2个零点，当 0<a<l 时，/(x)在(Y0,/a) , (0,+8)递增，(/a,0)递减，故当x =痴时，x)取极大值，极大值为/(茄)=-“5+2) + 2必”0, 此时，/(x)不可能有2个零点，当 a = 0 时，f(x) = ex(ex -2),由/(x) = 0 得 x = /2 ,此时，/(x)仅有1个零点，当<0时，/(x)在(-8,0)递减，在(0,+oo)递增， 故 f (x)min = /(0) = -1 -2a ,/(x)有 2 个零点，./()<0,: a > , <4<0,22而/ (1) =ec-2( + l) + 2a>0,取 b<<" + D ,则/ (b) = eh (a +1)2 + lab > eb (a +1)2. .0 , 2a故f(x)在(-00,0), (0,+x)各有1个零点，综上，a的取值范围是(-1, 0). 2题型三：零点问题之三个零点例 7.已知函数/(x) = a(/”x + ), a&R . x(1)求x)的极值；(2)若方程2/(x)-/”x + x + 2=0有三个解，求实数a的取值范围.【解答】解：(1) /(x)的定义域为(0,+8),XXX当 >0时，/(x)在(0,1)上递减，在(L+oo)上递增,所以/(x)在x = 1处取得极小值a ,当。=0时，/(x) = 0 ,所以无极值，当。<0时，/(x)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，所以/(X)在x = l处取得极大值a.(2)设 h(x) = 2/(x)-/nx + x + 2 ,即 h(x) = (2a - l)lnx + + x + 2 » x, 2a-I 2a (x-l)(x + 2a)h (x) =- + 1 =q-(x > 0).X XX若a.O,则当xw(0/)时，Y(x)<0,6(x)单调递减，当xe(l,+oo)时，hx) > 0 ,力(x)单调递增，力(x)至多有两个零点.若 4 = 一；，则 X£(0,+8), Ar(x).O (仅“ (1 ) =0),以工)单调递增，至多有一个零点.若-< a < 0 ,则 0 < -2a < 1 ,2当 xw(0,-2o)或 xw(l,+oo)时，l(x)>0, (x)单调递增;当工£(一2凡1)时，hx) < 0 , /z(x)单调递减，要使3)有三个零点，必须有需成立.由力(1) <0 ,得<一 m，这与-1<<0矛盾，所以力(x)不可能有三个零点.若 <,则-2i1.当 x e (0,1)或 x £ (-2,+8)时，hx) > 0 » (x)单调递增;当xe(1,-2q)时，Y(x)v0,力(外单调递减，要使Mx)有三个零点，必须有>° 成立， h(-2a)<0,3由 (1 ) > 0 ,得,2由 (2a) = (2a 1)/(2tz) 1 < 0 及 a < ,得 a < ,-<a.并且,当一3<av-g 时,0<e-2 < 1 , e2 > -2a ,2222人("2) = 4 + -2 + 2矶/-2)<4 + 1-&2-2)<4 + 1-5?<0,h(e2) = / + 2a(e-2 + 2) > / - 3, +2) = e2-6-3e2 >e2-7>0.综上，使 (x)有三个零点的的取值范围为(-，-/.例 8.已知函数/(x) = x/x-(a + l)x + l , a w R .(1)求函数/(外的单调区间和极值(2)若方程(2a-l)(13 + a + l) + L + x + 2 = 0有三个解，求实数a的取值范围. XX【解答】解：(1)函数的定义域(0,+oo), fx) = lnx-a ,当x>e“时，/r(x) > 0 ,函数单调递增，当0<x<e。时，fx) < 0 ,函数单调递减,故当x = e“时，函数取得极小值/(产)=1-，没有极大值，(2 由)(2a-l)e + a + l) + L + x + 2 = 0整理可得(l-2a)(x/nr + l) = (x + l)2 , XX令 y = xlnx +1 ,则 J =+1 = 0 可得 x = Le易得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， ee故x = l时，函数取得最小值1一1>0即歹= x/x+ 1 > 0 , ee故原方程可转化为-2a =与小匚,xlnx-l令 g(x)=(xlnx + ,则 g，(x) =(x + D(/")(l) (x/nx +1)因为x>0 ,易得当或0<x<l时，g*(x) > 0 ,函数单调递增，当1cxec时，gf(x) < 0故当x = l时，函数取得极大值g (1) =4,当x = e时，函数取得极小值g (e)函数单调递减,= e + l ,由题意可得，y = l-2a与g(x)3个交点，则e + l<l-2a<4,例9.已知函数/(x) = x3-fcc +公.(1)讨论/(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点，求/的取值范围.【解答】解：(1) f (x) = x3 -kx + k2. f'(x) = 3x2 -k .£0 时，/V).O, /(x)在 R 递增,A>0时，令/'(外>0,解得：x>号或x<-令八x)<0,解得：k_“(X)在(-8,-g)递增,在(罟，号)递减，在嗜,+8)递增,综上，上. 0时，/(x)在R递增,k > 0 时，/(x)在(一8,3)递增，在f勺递减，在嗜,+8)递增;(2)由(1)得：& >0，/(x)极小值=/(x)极大值二若/(X)有三个零点,左>0Td只需，,解得：0 < k < >V327八4。4 故丘(0,).27题型四：零点问题之max, min问题例 10.已知函数/Xx) = x3+qx +，, g(x) = -Inx .4(1)当°为何值时，工轴为曲线y = /(x)的切线.(2)设尸a)=/a)-g(x)在口, +8)单调递增，求的取值范围.(3)用加加，处表示加，差中的最小值,设函数/?(工)=加屋/(幻，g(x)(x>0),讨论力(幻零点的 个数.【解答】解：(1)八x) = 3f+.设曲线y = /(x)与工轴相切于点P&o，0),则 /) = 0, /缶)=0,；元；+ cIXq d- 03/2 +。= o, i 3解得 / = ， a =-,因此当4 = -士时，X轴为曲线y = /(幻的切线；4(2) F(x) = /(x)- g(x) = x3 + ax + + /azx ,4导数为尸(x) = 3x2 + a + Lx由题意可得3/+。+上.0在1, +oo)恒成立，X即有-a, 3/+工的最小值，X由3x2 H的导数为6x - > 0在x1递增， XX即有最小值为4,贝ij 一a, 4 ,解得 a.- 4 ；(3)当 xe(l,+<x)时，g(x) = -Inx < 0 ,/.函数人(x) = min f(x), g(x) g(x) < 0 ,故力(X)在R £(l,+8)时无零点.当 x = l 时，若 a一 *,则/ ( I ) = a + .0 »44/.h(x) = min f (1), g (1 ) = g (1) =0,故x = l是函数(x)的一个零点；若a<-2,则/ (1) =a + <0 , 44:.h(x) = min f (1), g (1) = / (1) <0,故x = l不是函数(x)的零点；当 x w (0,1)时，g(x) = -Inx > 0 ,因此只考虑/(x)在(0,1)内的零点个数即可.当4 -3或a.O时，/V) = 3f+。在(0,1)内无零点,因此“X)在区间(0,1)内单调，而 f (0) = ， f ( 1 ) =。4,44当a, -3时，函数/(X)在区间(0,1)内有一个零点，当a.0时,函数/(x)在区间(0,1)内没有零点.当-3<a<0时，函数/(x)在(0,行)内单调递减，在(后，1)内单调递增,故当x =层时，”处取得最小值/(户)=当层+ )V 3V 33V 34若f(J) > 0 »即< a <0 t则f(x)在(0,1)内无零点. V 34若唔)皿 7,则/在(。)内有唯一零点.若"杵)<0,即由/(o)= "，f (I) =。+ (，.当时，/(x)在(0,1)内有两个零点. 44当-3<a. 时，/(x)在(0,1)内有一个零点. 4 35综上可得：当-一或a<-一时，(x)有一个零点； 443 5当。=-2或-士时，力(x)有两个零点；4 4当-2<a<-3时，函数(x)有三个零点. 44例 11.已知函数/(x) = x2+0 + 彳，g(x) = -Inx .(1)若函数g/(x)的定义域为R ,求实数a的取值范围；(2)若函数g/(x)在(l,+oo)上单调递减，求实数a的取值范围；(3)用加 ?，表不m, 中的最小值，设函数力(x) = m山/(x) , g(x)(x > 0)»讨论 (x)零点的个数.【解答】解：(1)若函数g/(x)的定义域为H,则任意 xwR ,使得 /(x) = x2 -I- ar + > 0 »4所以 = / 4x 1 x，<0 ,解得一 4所以实数a的取值范围为(-1,1).(2)若函数g/(x)在(l,+oo)上单调递减，又因为g(x)在(0,+00)上为减函数，所以/(X)在(L+8)上为增函数且任意X£(l,+8), /(X)> 0 ,所以3,1,且/ (1) >0,即2. 1,且 1+4 + 1>0,24解得a >,4所以a的取值范围为(-：, 4-00).(3)因为当工>1 时，g(x) = -Inx < 0 ,所以 h(x) = minf(x), g(x) g(x) < 0 ,所以h(x)在(l,+oo)上无零点，当a.0时，/(x)过(0)点，且对称轴-2.0，作出(x)的图象，可得Mx)只有一个零点x = l ,-1时，令，(x) = 0,解得石且0<X函数Mx)有3个零点函数/i(x)有1个零点当。=-1或-3时，(x)有两个零点， 4当。(-2, -1)时，/X)有三个零点. 4例12.已知函数/(x) = d _3or + e, g(x) = l-lnx ,其中e为自然对数的底数.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)用 maxm，鞭表示 m , n 中较大者,记函数 A(x) = maxf(x)， g(x)， (x > 0).若函数 6(x)在(0,+8)上恰有2个零点，求实数的取值范围.【解答】解：(1) ff(x) = 3x2-3a,当a. 0时，r(x).O, /(X)在R上单调递增，当 a > 0 时，fx) = 3(x 4- 4a )(x - y/a),当xc(-8,-布)，(，+oo), /r(x)>0, /(x)单调递增，当XE (-右，筋)，fx) < 0 , /(X)单调递减；(2)当 xe(0,e)时，g(x)>0,力(x).g(x)>0, A(x)在(0,e)无零点，当 x = e 时，g (e) =0, f (e) = e3 - 3ae + e ,若/ (e) 0 ,即则e是力(x)的一个零点，若/ (e) >0 ,即a<-,则e不是力(x)的零点，当xe(e,+8)时，g(x)<0,所以此时只需考虑函数“X)的零点的情况.因为/'(x) = 3-3a >3e?-3a , 当a,/时，/'(x)>0, /(x)在(e,x)上单调递增.所以：(i )当a, 宁时，f .0, /(x)在(e,+oo)上无零点；(ii )当一-<a. /时，/ (e) < 0 ,又 f(2e) = 8e3 -6ae + e8笳 -6e +e>0 ,所以此时 f(x)在(e,-f-oo)上恰有一个零点；当a>/时，由(1)知，/(x)在3,近)递减，(&，+oo)递增，又因为/ (e) =e3 -3ae + e< e3 -3e3 + e< 0 , f (2a) = 8a3 -6a2 + e> 8a2 -6a2 + e = 2a2 + e> 0 ,所以此 时/(x)恰有一个零点.综上，a> .3题型五：零点问题之同构法例13.已知函数/(幻= +'-/(0¥)-2(4>0),若函数/(X)在区间(0,+8)内存在零点，求实数4的 e取值范围«,v1【解答】解：方法一：由/(') = + %一/(")一2(。>0)可得r(x) = J"(a),ee xplx- f t _ )设 y =a , x > 0 , a > 0 ,则 y'=；，令 y' = 0 n x = 1 ,y 在 x w (0,1)单调递减，在 x £ (1, +oo)XX单调递增，故y. = y=1-。当0<a<l时，令r(x) = 0nx = l,当xe(0,l)时，f(x)单调递减,当xe(l,+oo)时，/单调递增,(1)=a-l-lna>0,此时/(x)在区间(0,+8)内无零点;当a = 1时，f (1) =a-l-/na = O,此时/(x)在区间(0,+8)内有零点;V _ 1 pX-l当 a>l 时，令/'(x) = (a) = 0 ,解得x = X1 或 1 或X2,0 < x, < 1 < x,.e x此时/(x)在X(0,X1)单减，X(X, 1)单增，X(1,X2)单减，X G (x2 ) +8)单增, 当X = X1或X?时，/(X)极小值=0,此时/(X)在区间(0,+00)内有两个零点；综合知/(X)在区间(0,+00)内有零点n a.方法二：由题意可得*=加-x + 2 ,即尸>一+1 + /n(ax)-l = 0,因为e、.j + l当x = 0时等号成立,所以-x +1+ /(ar) = 0 ,即 ax = e、T, > 令g(x) = J，g'(x) =1xxxe易知g(x)在(0,1)单减,在(1,+oo)上单增,所以g(x).g(1)=1, 又X趋近于0和正无穷时，g(x)趋近于正无穷，例14.已知/()=%/内+ 2+.(1)若函数8(%)=/。) +工(：05-5后-17内-1在(0,5上有1个零点，求头数a的取值氾围.(2)若关于x的方程x/R =/(x)-1工2+"一 1有两个不同的实数解，求a的取值范围.【解答】解：(1) g(x) = x2 +xcosx-sinx , xg(0 ,所以 g'(x) =- sin x) 9当a.时，a?sinx.O,所以g(x)在(0,自单调递增，又因为g(0) = 0,所以g(x)在(0,上无零点；当 0<a<l 时，3x0 g (0,y)，使得 sin % =4,所以g(x)在(与,单调递减，在(0,%)单调递增，又因为g(0) = 0, g(1) = -l,2C所以若丝-l>0,即a>2时，g(x)在(0,马上无零点， 8k2若Q?L0,即0<a, W时，g(x)在(0,马上有一个零点， 8乃2当a. 0时，g<x) = a-xsinx<0 , g(x)在(0,工上单调递减，g(x)在(0,刍上无零点，综上当0<a. W时，g(x)在(0,马上有一个零点； n2(2)由 xe'-Q =/(x)-乌工2 + 如一 1(工> 0),即 xexa = xlnx + ar ,即 exa =加工 + a ,则有/一。+(x-Q)= x + /u,令 h(x) = x + lnx , x > 0 ,则 hexa) = exa + (x - a),'(x) = l + 1>0,所以函数(x)在(0,+oo)上递增， X所以则有x-a = /nx, BP a = x-Inx , x>0 »因为关于x的方程'"一" = /(x)-yx2 4-ar-l有两个不同的实数解，则方程4 =无-勿¥ , x>0有两个不同的实数解，令(p(x) = x Inx ,贝lj(px) = 1 =-, X X当 0 < x v 1 时,(px) < 0 ,当 x > 1 时，(px) > 0 ,所以函数o(x) = X -加X在(0,1)上递减，在(1, +00)上递增,所以。(女加=。=1，当 X -> 0 时，(p(x) ->+00 , 当 X -> y 时，(p(x) -> +00 , 所以a|al.例 15.已知函数 f(x) = aex - ln(x +1) + Ina 1 .(1)若a = 1,求函数/(x)的极值；(2)若函数/(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围.【解答】解析：(1)当。=1 时，/(x) = ex-Zn(x+l)-l, ff(x) = ex一, x>-l, x + 1显然T(x)在(-1,+ao)单调递增，且广(0) = 0,当一l<x<0时，ff(x)<0, /(x)单调递减；当x>0时，/'(x)>0, /(x)单调递增.在x = 0处取得极小值"0) = 0,无极大值.(2)函数力有两个零点,即/(幻=0有两个解，即/(如、)=加阿+1) + (工+ 1)有两个解,设人«) = 1 +而，则+力单调递增，t.aex=x(x>-1)有两个解,即a = ±(x>-1)有两个解, ex令s(x) = =(x.-l)，贝lj(x) =-三， ee当 XE (-1,0)时，5r(x) > 0 , s(x)单调递增；当 xw(0,+oo)时，s，(x)<0, s(x)单调递减.V 5(-1) = 0, 5(0) = 1,当 x>0 时 s(x)>0,/. 0 < a < 1 .题型六：零点问题之零点差问题例16.已知关于x的函数y = /(x) , y = g(x)与O = b + b(左"wR)在区间。上恒有f(x)/g(x).(1)若/(工)=/+2%，g(x) = -x2 + 2x , D = (-oo,+ao),求力(x)的表达式；(2)若/(工)="2 - x + l , g(x) = klnx » h(x) = kx - k , 0 = (0,+oo),求 的取值范围；(3)若/(x) = / -2x?, g(x) = 4x2 -8 , (x) = 4(r+ 2f2(0<|“” 也)，D = m , n c: -V2 »V2,求证：一九【解答】解：(1)由/(x) = g(x)得x = 0 ,又八x) = 2x + 2, gx) = -2x + 2,所以-0) = g，(0) = 2,所以，函数(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以(x) = 2x,经检验：A(x) = 2x ,符合任意，(2) h(x)-g(x) = k(x-lnx),1 y - 1设<p(x) = x-lnx ,设夕'(x) = 1 =,X X在(1,+oo)上，(px)> o, e(x)单调递增，在(0,1)上，(px) < 0 , /(x)单调递减，所以夕(x)0 ( 1)= 0 .所以当/i(x)-g(x)0时，匕0,令 P(x) = x)-A(x)所以 p(x) = X2 - X + l-(fcc - %)=- (% + l)x + (1 + %). .0 ,得，当=% + 1 0时，即仁-1时，/(X)在(0,”)上单调递增，所以 p(x) > p(0) = 1+ A