《初中数学总复习资料》专题37 阅读理解问题-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列（解析版）.doc

备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟第七篇 专题复习篇 专题37 阅读理解问题 解读考点知识点名师点晴新定义问题新概念问题结合具体的问题情境，解决关于新定义的计算、猜想类问题阅读理解类问题来源:学科网图表问题来源:学科网来源:Zxxk.Com结合统计、方程思想解决相关的图表问题来源:学科网ZXXK材料阅读题根据所给的材料，解决相关的问题2年中考【2017年题组】一、选择题1（2017山东省潍坊市）定义x表示不超过实数x的最大整数，如1.8=1，1.4=2，3=3函数y=x的图象如图所示，则方程的解为（）A或B或C或D或 【答案】A【解析】试题分析：当1x2时，=1，解得x1=，x2=；当x=0，=0，x=0；当1x0时，=1，方程没有实数解；当2x1时，=1，方程没有实数解；所以方程的解为0或故选A学科网考点：1解一元二次方程因式分解法；2实数大小比较；3函数的图象；4新定义；5分类讨论2（2017浙江省湖州市）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A13B14C15D16【答案】B【解析】考点：1几何变换的类型；2勾股定理；3新定义；4最值问题二、填空题3（2017四川省乐山市）对于函数，我们定义（为常数）例如，则已知：（1）若方程有两个相等实数根，则m的值为 ；（2）若方程有两个正数根，则m的取值范围为 【答案】（1）；（2）m且m【解析】（2），即=，化简得：，方程有两个正数根，解得：m且m故答案为：m且m考点：1抛物线与x轴的交点；2根的判别式；3根与系数的关系；4新定义；5综合题4（2017山东省威海市）阅读理解：如图1，O与直线a、b都相切，不论O如何转动，直线a、b之间的距离始终保持不变（等于O的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图4，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c，d之间的距离等于2cm，则莱洛三角形的周长为 cm【答案】2【解析】考点：1切线的性质；2平行线之间的距离；3新定义5（2017河北）对于实数，我们用符号表示，两数中较小的数，如，因此 ；若，则 【答案】；2或-1【解析】试题分析：因为，所以min，=当时，解得（舍），；当时，解得，（舍）考点：1二次函数的性质；2新定义；3实数大小比较；4分类讨论；5解一元二次方程-直接开平方法学科￥网6（2017湖南省湘潭市）设，如果，则.根据该材料填空：已知，且，则m= 【答案】6【解析】试题分析：由题意：，且，2m=12，m=6，故答案为：6考点：1坐标与图形性质；2新定义7（2017贵州省六盘水市）定义：A=b，c，a，B=c，AB=a，b，c，若M=1，N=0，1，1，则MN= 【答案】1，0，1【解析】试题分析：M=1，N=0，1，1，MN=1，0，1，故答案为：1，0，1考点：1有理数；2新定义8（2017黑龙江省齐齐哈尔市）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”如图，线段CD是ABC的“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相似，A=46°，则ACB的度数为 【答案】113°或92°【解析】考点：1相似三角形的性质；2等腰三角形的性质；3分类讨论；4新定义三、解答题9（2017内蒙古通辽市）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，ABCD中，若AB=1，BC=2，则ABCD为1阶准菱形（1）猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是 阶准菱形；已知ABCD的邻边长分别为a，b（ab），满足a=8b+r，b=5r，请写出ABCD是 阶准菱形（2）操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE请证明四边形ABFE是菱形【答案】（1）3，12；（2）证明见解析【解析】如图2，b=5r，a=8b+r=40r+r=8×5r+r，利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：故答案为：3，12（2）由折叠知：ABE=FBE，AB=BF，四边形ABCD是平行四边形，AEBF，AEB=FBE，AEB=ABE，AE=AB，AE=BF，四边形ABFE是平行四边形，四边形ABFE是菱形考点：1四边形综合题；2新定义；3阅读型；4操作型；5压轴题10（2017北京市）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点（1）当O的半径为2时，在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，O的关联点是 点P在直线y=x上，若P为O的关联点，求点P的横坐标的取值范围（2）C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=x+1与x轴、y轴交于点A、B若线段AB上的所有点都是C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围【答案】（1）P2，P3；x，或x；（2）2xC或2xC【解析】（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（，0），于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（，0），于是得到结论试题解析：（1）点P1（，0），P2（，），P3（，0），OP1=，OP2=1，OP3=，P1与O的最小距离为，P2与O的最小距离为1，OP3与O的最小距离为，O，O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；根据定义分析，可得当最小y=x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，x），当OP=1时，由距离公式得，OP= =1，x=±，当OP=3时，OP=3，解得：x=±；点P的横坐标的取值范围为：，或x；（2）直线y=x+1与x轴、y轴交于点A、B，A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA=3，C（2，0）；如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，CD=1，直线AB的解析式为y=x+1，直线AB与x轴的夹角=45°，AC=，C（，0），圆心C的横坐标的取值范围为：2xC；如图3，当圆过点A，则AC=1，C（2，0）；如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，OC=，C（，0），圆心C的横坐标的取值范围为：2xC；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：2xC或2xC考点：1一次函数综合题；2新定义；3压轴题学科&网11（2017吉林省长春市）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x0时，它们对应的函数值互为相反数；当x0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数y=x1，它的相关函数为（1）已知点A（5，8）在一次函数y=ax3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；当3x3时，求函数的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连结MN直接写出线段MN与二次函数的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围【答案】（1）1；（2）m=2或m=2+或m=2；最大值为，最小值为；（3）3n1或1n【解析】（2）二次函数的相关函数为，分为m0和m0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；当3x0时，然后可 此时的最大值和最小值，当0x3时，函数，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当3x3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围试题解析：（1）函数y=ax3的相关函数为，将点A（5，8）代入y=ax+3得：5a+3=8，解得：a=1（2）二次函数的相关函数为 ；当m0时，将B（m，）代入得，解得：m=2+（舍去）或m=2当m0时，将B（m，）代入得：，解得：m=2+或m=2综上所述：m=2或m=2+或m=2当3x0时，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，此时y的最大值为当0x3时，函数，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为，当x=2时，有最大值，最大值y=综上所述，当3x3时，函数的相关函数的最大值为，最小值为；（3）如图1所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点所以当x=2时，y=1，即4+8+n=1，解得n=3如图2所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点抛物线与y轴交点纵坐标为1，n=1，解得：n=1，当3n1时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点学.科.网如图3所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点抛物线经过点（0，1），n=1如图4所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点抛物线经过点M（，1），+2n=1，解得：n=，1n时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点综上所述，n的取值范围是3n1或1n考点：1二次函数综合题；2新定义；3二次函数的最值；4最值问题；5分类讨论；6压轴题12（2017济宁）定义：点P是ABC内部或边上的点（顶点除外），在PAB，PBC，PCA中，若至少有一个三角形与ABC相似，则称点P是ABC的自相似点例如：如图1，点P在ABC的内部，PBC=A，PCB=ABC，则BCPABC，故点P是ABC的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线（x0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点（1）如图2，点P是OM上一点，ONP=M，试说明点P是MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）P（，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在， M（，3），N（，0）【解析】（2）作MEx轴于H，由勾股定理求出OM=，直线OM的解析式为y=x，ON=2，MOH=30°，分两种情况：作PQx轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=ON=1，求出P的纵坐标即可；求出MN=2，由相似三角形的性质得出，求出PN=，在求出P的横坐标即可；（3）证出OM=2=ON，MON=60°，得出MON是等边三角形，由点P在ABC的内部，得出PBCA，PCBABC，即可得出结论试题解析：（1）ONP=M，NOP=MON，NOPMON，点P是MON的自相似点；过P作PDx轴于D，则tanPOD= =，AON=60°，当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），MNO=90°，NOPMON，NPO=MNO=90°，在RtOPN中，OP=ONcos60°=，OD=OPcos60°=×=，PD=OPsin60°=×=，P（，）；（2）作MEx轴于H，如图3所示：点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），OM= =，直线OM的解析式为y=x，ON=2，MOH=30°，分两种情况：如图3所示：P是MON的相似点，PONNOM，作PQx轴于Q，PO=PN，OQ=ON=1，P的横坐标为1，y=×1=，P（1，）；学科*网如图4所示：由勾股定理得：MN=2，P是MON的相似点，PNMNOM，即，解得：PN=，即P的纵坐标为，代入y=x得： =x ，解得：x=2，P（2，）；综上所述：MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；（3）存在点M和点N，使MON无自相似点，M（，3），N（，0）；理由如下：M（，3），N（，0），OM=ON，MON=60°，MON是等边三角形，点P在ABC的内部，PBCA，PCBABC，存在点M和点N，使MON无自相似点考点：1反比例函数综合题；2阅读型；3新定义；4存在型；5分类讨论；6压轴题13（2017江苏省扬州市）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差如图1，在ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2BO2的值，可记为ABAC=AO2BO2（1）在图1中，若BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则ABAC= ，OCOA= ；（2）如图2，在ABC中，AB=AC=4，BAC=120°，求ABAC、BABC的值；（3）如图3，在ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=AO已知ABAC=14，BNBA=10，求ABC的面积【答案】（1）0，7；（2）8，24；（3）【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理求出BC=10，再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5，最后利用新定义即可得出结论；再用等腰三角形的性质求出CD=3，再利用勾股定理求出OD，最后用新定义即可得出结论；（2）先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2，OB=，再用新定义即可得出结论；先构造直角三角形求出BE，AE，再用勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；（3）先构造直角三角形，表述出OA，BD2，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论试题解析：BAC=90°，AB=8，AC=6，BC=10，点O是BC的中点，OA=OB=OC=BC=5，ABAC=AO2BO2=2525=0，如图1，取AC的中点D，连接OD，CD=AC=3，OA=OC=5，ODAC，在RtCOD中，OD=4，OCOA=OD2CD2=169=7，故答案为：0，7；（2）如图2，取BC的中点D，连接AO，AB=AC，AOBC，在ABC中，AB=AC，BAC=120°，ABC=30°，在RtAOB中，AB=4，ABC=30°，AO=2，OB=，ABAC=AO2BO2=412=8，取AC的中点D，连接BD，AD=CD=AC=2，过点B作BEAC交CA的延长线于E，在RtABE中，BAE=180°BAC=60°，ABE=30°，AB=4，AE=2，BE=，DE=AD+AE=4，在RtBED中，根据勾股定理得，BD= =，BABC=BD2CD2=24；（3）如图3，设ON=x，OB=OC=y，BC=2y，OA=3x，ABAC=14，OA2OB2=14，9x2y2=14，取AN的中点D，连接BD，AD=DB=AN=×OA=ON=x，OD=ON+DN=2x，在RtBOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，BNBA=10，BD2DN2=10，y2+4x2x2=10，3x2+y2=10联立得：或（舍），BC=4，OA=，SABC=BC×AO=考点：1三角形综合题；2阅读型；3新定义；4压轴题14（2017山东省烟台市）【操作发现】（1）如图1，ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=30°，连接AF，EF求EAF的度数；DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，ABC为等腰直角三角形，ACB=90°，先将三角板的90°角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：求EAF的度数；线段AE，ED，DB之间的数量关系【答案】（1）120°；DE=EF；（2）90°；AE2+DB2=DE2【解析】证出DCE=FCE，由SAS证明DCEFCE，得出DE=EF；在RtAEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论试题解析：（1）ABC是等边三角形，AC=BC，BAC=B=60°，DCF=60°，ACF=BCD，在ACF和BCD中，AC=BC，ACF=BCD，CF=CD，ACFBCD（SAS），CAF=B=60°，EAF=BAC+CAF=120°；DE=EF；理由如下：DCF=60°，DCE=30°，FCE=60°30°=30°，DCE=FCE，在DCE和FCE中，CD=CF，DCE=FCE，CE=CE，DCEFCE（SAS），DE=EF；（2）ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，AC=BC，BAC=B=45°，DCF=90°，ACF=BCD，在ACF和BCD中，AC=BC，ACF=BCD，CF=CD，ACFBCD（SAS），CAF=B=45°，AF=DB，EAF=BAC+CAF=90°；AE2+DB2=DE2，理由如下：DCF=90°，DCE=45°，FCE=90°45°=45°，DCE=FCE，在DCE和FCE中，CD=CF，DCE=FCE，CE=CE，DCEFCE（SAS），DE=EF，在RtAEF中，AE2+AF2=EF2，又AF=DB，AE2+DB2=DE2考点：1几何变换综合题；2探究型；3变式探究；4和差倍分；5操作型；6阅读型；7压轴题15（2017山东省青岛市）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用探究一：求不等式|x1|2的解集（1）探究|x1|的几何意义如图，在以O为原点的数轴上，设点A对应的数是x1，有绝对值的定义可知，点A与点O的距离为|x1|，可记为AO=|x1|将线段AO向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1因为AB=AO，所以AB=|x1|，因此，|x1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB（2）求方程|x1|=2的解因为数轴上3和1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，1（3）求不等式|x1|2的解集因为|x1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围请在图的数轴上表示|x1|2的解集，并写出这个解集探究二：探究的几何意义（1）探究的几何意义如图，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MPx轴于P，作MQy轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在RtOPM中，PM=OQ=|y|，则MO=，因此， 的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO（2）探究的几何意义如图，在直角坐标系中，设点A的坐标为（x1，y5），由探究二（1）可知，AO=，将线段AO先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB=AO，所以AB=，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB（3）探究的几何意义请仿照探究二（2）的方法，在图中画出图形，并写出探究过程（4）的几何意义可以理解为： 拓展应用：（1）+的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，1）的距离和点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和（2）+的最小值为 （直接写出结果）【答案】探究一：（3）1x3；探究二：（3）的几何意义是：点A（x，y）与B（3，4）之间的距离；（4）的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；拓展应用：（1）F（1，5）；（2）5【解析】（4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；拓展研究（1）根据探究二（4）可知点F的坐标；（2）根据三角形的三边关系即可求出答案试题解析：探究一：（3）如图所示，|x1|2的解集是1x3；探究二：（3）的几何意义是：点A（x，y）与B（3，4）之间的距离，过点B作BDx轴于D，过点A作ACBD于点C，AC=|x+3|，BC=|y4|，由勾股定理可知：AB2=AC2+BC2，AB=；（4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；拓展研究：（1）由探究二（4）可知表示点（x，y）与（1，5）之间的距离，故F（1，5）；（2）由（1）可知：+表示点A（x，y）与点E（2，1）的距离和点A（x，y）与点F（1，5）的距离之和，当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成AEF，由三角形三边关系可知：EFAF+AE，当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，的最小值为EF的距离，EF=5故答案为：探究二（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离；拓展研究（1）（1，5）；（2）5考点：1几何变换综合题；2阅读型；3压轴题16（2017江苏省淮安市）【操作发现】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上（1）请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B，点C的对应点为C，连接BB；（2）在（1）所画图形中，ABB= 【问题解决】如图，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在ABC内，且APC=90°，BPC=120°，求APC的面积小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到APB，连接PP，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到APC，连接PP，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程（一种方法即可）【灵活运用】如图，在四边形ABCD中，AEBC，垂足为E，BAE=ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）【答案】【操作发现】（1）作图见解析；（2）45°；【问题解决】；【灵活运用】【解析】试题分析：【操作发现】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可；（2）只要证明ABB是等腰直角三角形即可；【问题解决】如图，将APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到APC，只要证明PPC=90°，利用勾股定理即可解决问题；【灵活运用】如图中，由AEBC，BE=EC，推出AB=AC，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACG，连接DG则BD=CG，只要证明GDC=90°，可得CG=，由此即可解决问题；试题解析：【操作发现】（1）如图所示，ABC即为所求；（2）连接BB，将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，AB=AB，BAB=90°，ABB=45°，故答案为：45°；【问题解决】如图，将APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到APC，APP是等边三角形，APC=APB=360°90°120°=150°，PP=AP，APP=APP=60°，PPC=90°，PPC=30°，PP=PC，即AP=PC，APC=90°，AP2+PC2=AC2，即（PC）2+PC2=72，PC=，AP=，SAPC=APPC=；【灵活运用】如图中，AEBC，BE=EC，AB=AC，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACG，连接DG则BD=CG，BAD=CAG，BAC=DAG，AB=AC，AD=AG，ABC=ACB=ADG=AGD，ABCADG，AD=kAB，DG=kBC=4k，BAE+ABC=90°，BAE=ADC，ADG+ADC=90°，GDC=90°，CG=，BD=CG=考点：1相似形综合题；2阅读型；3操作型；4压轴题17（2017江苏省盐城市）【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，B=60°，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】如图，在ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 （用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积【答案】【探索发现】；【拓展应用】；【灵活应用】720；【实际应用】1944【解析】试题分析：【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由 =可得；【拓展应用】：由APNABC知，可得PN=aPQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQPN，据此可得；【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证AEFHED、CDGHDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EHBC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得试题解析：【探索发现】EF、ED为ABC中位线，EDAB，EFBC，EF=BC，ED=AB，又B=90°，四边形FEDB是矩形，则 =，故答案为：；【拓展应用】PNBC，APNABC，即，PN=aPQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQPN=x（ax）= =，当PQ=时，S矩形PQMN最大值为，故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，EH=20、DH=16，AE=EH、CD=DH，在AEF和HED中，FAE=DHE，AE=AH，AEF=HED，AEFHED（ASA），AF=DH=16，同理CDGHDE，CG=HE=20，BI=（AB+AF）=24，BI=2432，中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KLBC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BGBF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EHBC于点H，tanB=tanC=，B=C，EB=EC，BC=108cm，且EHBC，BH=CH=BC=54cm，tanB=，EH=BH=×54=72cm，在RtBHE中，BE=90cm，AB=50cm，AE=40cm，BE的中点Q在线段AB上，CD=60cm，ED=30cm，CE的中点P在线段CD上，中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BCEH=1944cm2答：该矩形的面积为1944cm2考点：1四边形综合题；2阅读型；3探究型；4最值问题；5压轴题18（2017河南省）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值【答案】（1）B（0，2），；（2）M的坐标为（，0）或（，0）；或1或【解析】用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值试题解析：（1）与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，0=2+c，解得c=2，B（0，2），抛物线经过点A，B，解得：，抛物线解析式为；（2）由（1）可知直线解析式为，M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，P（m，），N（m，），PM=，PA=3m，PN=（）=，BPN和APM相似，且BPN=APM，BNP=AMP=90°或NBP=AMP=90°，分两种情况：当BNP=90°时，则有BNMN，点N的纵坐标为2，=2，解得m=0（舍去）或m=，M（，0）；当NBP=90°时，则有，A（3，0），B（0，2），P（m，），BP=，AP= =（3m），解得m=0（舍去）或m=，M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）；由可知M（m，0），P（m，），N（m，），M，P，N三点为“共谐点”，有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（）=，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；当M为线段PN的中点时，则有+（）=0，解得m=3（舍去）或m=1；当N为线段PM的中点时，则有=2（），解得m=3（舍去）或m=；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或1或考点：1二次函数综合题；2新定义；3阅读型；4动点型；5分类讨论；6压轴题19（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根比如对于方程，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 （a0，0）的实数根，请你直接写出一对