《初中数学总复习资料》专题38 开放探究问题-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列（解析版）.doc

备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟第七篇 专题复习篇 专题38 开放探究题解读考点知识点名师点晴条件开放型来源:学+科+网Z+X+X+K全等与相似利用全等与相似的判定方法添加条件使两个三角形全等或相似来源:Z+xx+k.Com来源:Z。xx。k.Com特殊的四边形条件条件，使四边形是平行四边形、矩形、菱形结论开放型结论探究题结合具体情境，探究问题的结论条件结论开放型条件与结论双开放题目根据具体问题，探究问题的条件与结论思维方法探索题思维与方法开放式探索根据题意，探究问题的解题方法2年中考【2017年题组】一、选择题二、填空题1（2017北京市）写出一个比3大且比4小的无理数： 【答案】答案不唯一如：【解析】考点：1无理数；2开放型2（2017北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB可以看作是OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由OCD得到AOB的过程： 【答案】答案不唯一，如：OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到AOB【解析】考点：1坐标与图形变化旋转；2坐标与图形变化对称；3坐标与图形变化平移；4开放型3（2017天津）若正比例函数y=kx（k是常数，k0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是 （写出一个即可）【答案】：2答案不唯一，只要k0即可【解析】试题分析：若正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，k0，符合要求的k的值是2，故答案为：2答案不唯一，只要k0即可学科网考点：1一次函数图象与系数的关系；2开放型4（2017贵州省黔东南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，ACDF，请你添加一个适当的条件 使得ABCDEF【答案】A=D【解析】试题分析：添加A=D理由如下：FB=CE，BC=EF又ACDF，ACB=DFE，在ABC与DEF中，A=D，ACB=DFE，BC=EF，ABCDEF（AAS）故答案为：A=D考点：1全等三角形的判定；2探究型三、解答题5（2017山东省日照市）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CEAE，垂足为E（1）求证：DCAEAC；（2）只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形请加以证明【答案】（1）证明见解析；（2）AD=BC（答案不唯一）【解析】（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：AB=DC，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，CEAE，E=90°，由（1）得：DCAEAC，D=E=90°，四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）考点：1矩形的判定；2全等三角形的判定与性质；3开放型6（2017浙江省湖州市）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：（a0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：（a0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F（1）若a=，m=1，求抛物线L1，L2的解析式；（2）若a=1，AFBF，求m的值；（3）是否存在这样的实数a（a0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线L1解析式为，抛物线L2解析式为；（2）m=；（3）存在，例如：a=，（答案不唯一）【解析】（3）开放性答案，代入法即可解题；试题解析：（1）将A、C点带入中，可得：，解得：，抛物线L1解析式为；同理可得：，解得：，抛物线L2解析式为；（2）如图，过点D作DGx轴于点G，过点E作EHx轴于点H，由题意得：，解得：，抛物线L1解析式为 ；点D坐标为（，），DG=，AG=；同理可得：抛物线L2解析式为；EH=，BH=，AFBF，DGx轴，EHx轴，AFB=AGD=EHB=90°，DAG+ADG=90°，DAG+EBH=90°，ADG=EBH，在ADG和EBH中，ADG=EBH，AGD=EHB=90°，ADGEBH，化简得： ，解得：m=；（3）存在，例如：a=，（答案不唯一）；当a=时，代入A，C可以求得：抛物线L1解析式为；同理可得：抛物线L2解析式为；点D坐标为（，），点E坐标为（，）；直线AF斜率为，直线BF斜率为；若要AFBF，则直线AF，BF斜率乘积为1，即×=1，化简得：，无解；同理可求得亦无解学科！网考点：1二次函数综合题；2探究型；3开放型；4分类讨论；5存在型；6压轴题7（2017内蒙古包头市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y=x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC求n的值；连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，AGF与CGD是否全等？请说明理由；（3）直线y=m（m0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点 M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）若四边形OM'NH的面积为求点H到OM'的距离d的值【答案】（1）；（2）n=2；AGF与CGD全等；（3）【解析】（2）过点E作EE'x轴于E'，则EE'OC，根据平行线分线段成比例定理，可得BE'=4OE'，设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，根据OB=2，可得x的值，再根据直线BC的解析式即可得到E的坐标，把E的坐标代入直线y=x+n，可得n的值；根据F（2，0），A（1，0），可得AF=1，再根据点D的坐标为（1，3），点C的坐标为（0，3），可得CDx轴，CD=1，再根据AFG=CDG，FAG=DCG，即可判定AGFCGD；（3）根据轴对称的性质得出OH=1=M'N，进而判定四边形OM'NH是平行四边形，再根据四边形OM'NH的面积，求得OP的长，再根据点M的坐标得到PM'的长，RtOPM'中，运用勾股定理可得OM'的值，最后根据OM'×d=，即可得到d的值试题解析：（1）抛物线与x轴交于A（1，0），B（2，0）两点，解得：，该抛物线的解析式；（2）如图，过点E作EE'x轴于E'，则EE'OC，BE=4EC，BE'=4OE'，设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，B（2，0），OB=2，即x+4x=2，x=，抛物线与y轴交于点C，C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b'，B（2，0），C（0，3），解得：，直线BC的解析式为，当x=时，y=，E（，），把E的坐标代入直线y=x+n，可得+n=，解得n=2；AGF与CGD全等理由如下：直线EF的解析式为y=x2，当y=0时，x=2，F（2，0），OF=2，A（1，0），OA=1，AF=21=1，由，解得：或，点D在第四象限，点D的坐标为（1，3），点C的坐标为（0，3），CDx轴，CD=1，AFG=CDG，FAG=DCG，AGFCGD；（3）抛物线的对称轴为x= =，直线y=m（m0）与该抛物线的交点为M，N，点M、N关于直线x=对称，设N（t，m），则M（1t，m），点 M关于y轴的对称点为点M'，M'（t1，m），点M'在直线y=m上，M'Nx轴，M'N=t（t1）=1，H（1，0），OH=1=M'N，四边形OM'NH是平行四边形，设直线y=m与y轴交于点P，四边形OM'NH的面积为，OH×OP=1×m=，即m=，OP=，当=时，解得x1=，x2=，点M的坐标为（，），M'（，），即PM'=，RtOPM'中，OM'=，四边形OM'NH的面积为，OM'×d=，d=考点：1二次函数综合题；2探究型；3压轴题学科#网8（2017内蒙古赤峰市）OPA和OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点（1）当AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将OQB绕点O逆时针方向旋转，当AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明（3）仍将OQB绕点O旋转，当AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使ABG为等边三角形如图3，求AOB的度数【答案】（1）EP=EQ；（2）成立；（3）150°【解析】试题解析：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，APO和BQO是等腰直角三角形，APO=BQO=90°，AOP=BOQ=45°，AOB=90°，AOP+AOB+BOQ=180°，点P，O，Q在同一条直线上，APO=BQO=90°，APBQ，PAE=FBE，点E是AB中点，AE=BE，AEP=BEF，APEBFE，PE=EF，点E是RtPQF的斜边PF的中点，EP=EQ；（2）成立，证明：点C，E分别是OA，AB的中点，CEOB，CE=OB，DOC=ECA，点D是RtOQB斜边中点，DQ=OB，CE=DQ，同理：PC=DE，DOC=BDE，ECA=BDE，PCE=EDQ，EPCQED，EP=EQ；（3）如图2，连接GO，点D，C分别是OB，OA的中点，APO与QBO都是等腰直角三角形，CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，GB=GO=GA，GBO=GOB，GOA=GAO，设GOB=x，GOA=y，x+x+y+y+60°=360°，x+y=150°，AOB=150°考点：1几何变换综合题；2变式探究；3探究型；4压轴题9（2017吉林省长春市）【再现】如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DEBC，且DE=BC（不需要证明）【探究】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是： （只添加一个条件）（2）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为 【答案】【探究】平行四边形；【应用】（1）添加AC=BD；（2）【解析】（2）先判断出SBCD=4SCFG，同理：SABD=4SAEH，进而得出S四边形EFGH=，再判断出OM=ON，进而得出S阴影=S四边形EFGH即可试题解析：【探究】平行四边形理由：如图1，连接AC，E是AB的中点，F是BC的中点，EFAC，EF=AC，同理HGAC，HG=AC，综上可得：EFHG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形【应用】（1）添加AC=BD理由：连接AC，BD，同（1）知，EF=AC，同【探究】的方法得，FG=BD，AC=BD，EF=FG，四边形EFGH是平行四边形，EFGH是菱形；故答案为：AC=BD；（2）如图2，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，F，G是BC，CD的中点，FGBD，FG=BD，CFGCBD，SBCD=4SCFG，同理：SABD=4SAEH，四边形ABCD面积为5，SBCD+SABD=5，SCFG+SAEH=，同理：SDHG+SBEF=，S四边形EFGH=S四边形ABCD（SCFG+SAEH+SDHG+SBEF）=5=，设AC与FG，EH相交于M，N，EF与BD相交于P，FGBD，FG=BD，CM=OM=OC，同理：AN=ON=OA，OA=OC，OM=ON，易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，S阴影=S四边形EFGH=故答案为： 考点：1四边形综合题；2阅读型；3探究型；4压轴题10（2017四川省乐山市）如图，以AB边为直径的O经过点P，C是O上一点，连结PC交AB于点E，且ACP=60°，PA=PD（1）试判断PD与O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CECP的值【答案】（1）PD是O的切线；（2）8【解析】试题解析：（1）如图，PD是O的切线证明如下：连结OP，ACP=60°，AOP=120°，OA=OP，OAP=OPA=30°，PA=PD，PAO=D=30°，OPD=90°，PD是O的切线（2）连结BC，AB是O的直径，ACB=90°，又C为弧AB的中点，CAB=ABC=APC=45°，AB=4，AC=Absin45°=C=C，CAB=APC，CAECPA，CPCE=CA2=（）2=8考点：1相似三角形的判定与性质；2圆心角、弧、弦的关系；3直线与圆的位置关系；4探究型11（2017四川省乐山市）在四边形ABCD中，B+D=180°，对角线AC平分BAD（1）如图1，若DAB=120°，且B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由（2）如图2，若将（1）中的条件“B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由（3）如图3，若DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由【答案】（1）AC=AD+AB；（2）成立；（3）AD+AB=AC【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立以C为顶点，AC为一边作ACE=60°，ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明DACBEC即可解决问题；（3）结论：AD+AB=AC过点C作CEAC交AB的延长线于点E，只要证明ACE是等腰直角三角形，DACBEC即可解决问题；试题解析：（1）AC=AD+AB理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，D+B=180°，B=90°，D=90°，DAB=120°，AC平分DAB，DAC=BAC=60°，B=90°，AB=AC，同理AD=AC，AC=AD+AB（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作ACE=60°，ACE的另一边交AB延长线于点E，如图2，BAC=60°，AEC为等边三角形，AC=AE=CE，D+B=180°，DAB=120°，DCB=60°，DCA=BCE，D+ABC=180°，ABC+EBC=180°，D=CBE，CA=CB，DACBEC，AD=BE，AC=AD+AB（3）结论：AD+AB=AC理由如下：过点C作CEAC交AB的延长线于点E，如图3，D+B=180°，DAB=90°，DCB=90°，ACE=90°，DCA=BCE，又AC平分DAB，CAB=45°，E=45°，AC=CE又D+B=180°，D=CBE，CDACBE，AD=BE，AD+AB=AE在RtACE中，CAB=45°，AE= =AC，AD+AB=AC考点：1四边形综合题；2探究型；3和差倍分；4变式探究；5压轴题12（2017四川省内江市）如图，在O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE（1）求证：AC2=AEAB；（2）过点B作O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设O半径为4，点N为OC中点，点Q在O上，求线段PQ的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）PB=PE；（3）【解析】试题解析：（1）如图1，连接BC，CD为O的直径，ABCD，A=ABC，EC=AE，A=ACE，ABC=ACE，A=A，AECACB，AC2=AEAB；（2）PB=PE，理由是：如图2，连接OB，PB为O的切线，OBPB，OBP=90°，PBN+OBN=90°，OBN+COB=90°，PBN=COB，PEB=A+ACE=2A，COB=2A，PEB=COB，PEB=PBN，PB=PE；（3）如图3，N为OC的中点，ON=OC=OB，RtOBN中，OBN=30°，COB=60°，OC=OB，OCB为等边三角形，Q为O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，Q为OP与O的交点时，PQ最小，A=COB=30°，PEB=2A=60°，ABP=90°30°=60°，PBE是等边三角形，RtOBN中，BN=，AB=2BN=，设AE=x，则CE=x，EN=x，RtCNE中，x=，BE=PB=，RtOPB中，OP= = =，PQ=4=则线段PQ的最小值是考点：1圆的综合题；2最值问题；3探究型；4压轴题13（2017四川省南充市）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB（1）求证：EFAG；（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EFAG是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当，求PAB周长的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）成立；（3）【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AD=AB，EAF=ABG=90°，证出，得出AEFBAG，由相似三角形的性质得出AEF=BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出AOE=90°即可；（2）证明AEFBAG，得出AEF=BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；（3）过O作MNAB，交AD于M，BC于N，则MNAD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG，则EGAB，EG=AB=4，证明AOFGOE，得出 =，证出 =，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案试题解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形，AD=AB，EAF=ABG=90°，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB， =， =，AEFBAG，AEF=BAG，BAG+EAO=90°，AEF+EAO=90°，AOE=90°，EFAG；（2）解：成立；理由如下：根据题意得： =， =，=，又EAF=ABG，AEFBAG，AEF=BAG，BAG+EAO=90°，AEF+EAO=90°，AOE=90°，EFAG；（3）解：过O作MNAB，交AD于M，BC于N，如图所示：则MNAD，MN=AB=4，P是正方形ABCD内一点，当SPAB=SOAB，点P在线段MN上，当P为MN的中点时，PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG、PA、PB，则EGAB，EG=AB=4，AOFGOE，=，MNAB， =，AM=AE=×2=，由勾股定理得：PA= =，PAB周长的最小值=2PA+AB=考点：1四边形综合题；2探究型；3动点型；4最值问题14（2017四川省成都市）问题背景：如图1，等腰ABC中，AB=AC，BAC=120°，做ADBC于点D，则D为BC的中点，BAD=BAC=60°，于是；迁移应用：如图2，ABC和ADE都是等腰三角形，BAC=ADE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD求证：ADBAEC；请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，ABC=120°，在ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF证明CEF是等边三角形；若AE=5，CE=2，求BF的长 【答案】迁移应用：证明见解析；CD=AD+BD；拓展延伸：证明见解析；【解析】拓展延伸：如图3中，作BHAE于H，连接BE由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出ADC=AEC=120°，推出FEC=60°，推出EFC是等边三角形；由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在RtBHF中，由BHF=30°，可得 =cos30°，由此即可解决问题试题解析：迁移应用：证明：如图BAC=ADE=120°，DAB=CAE，在DAE和EAC中，DA=EA，DAB=EAC，AB=AC，DABEAC；解：结论：CD=AD+BD理由：如图21中，作AHCD于HDABEAC，BD=CE，在RtADH中，DH=ADcos30°=AD，AD=AE，AHDE，DH=HE，CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD拓展延伸：证明：如图3中，作BHAE于H，连接BE四边形ABCD是菱形，ABC=120°，ABD，BDC是等边三角形，BA=BD=BC，E、C关于BM对称，BC=BE=BD=BA，FE=FC，A、D、E、C四点共圆，ADC=AEC=120°，FEC=60°，EFC是等边三角形，解：AE=5，EC=EF=2，AH=HE=2.5，FH=4.5，在RtBHF中，BHF=30°，=cos30°，BF=考点：1三角形综合题；2全等三角形的判定与性质；3探究型；4变式探究；5和差倍分；6压轴题15（2017四川省成都市）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由【答案】（1）；（2）2m；（3）m=6或m=3【解析】试题分析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m，4），设抛物线C的解析式为，由，消去y得到，由题意，抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMPN能成为正方形作PEx轴于E，MHx轴于H由题意易知P（2，2），当PFM是等腰直角三角形时，四边形PMPN是正方形，推出PF=FM，PFM=90°，易证PFEFMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2m，可得M（m+2，m2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M（m2，2m），利用待定系数法即可解决问题试题解析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，抛物线C的函数表达式为（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m，4），设抛物线C的解析式为，由，消去y得到 ，由题意，抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2m，满足条件的m的取值范围为2m（3）结论：四边形PMPN能成为正方形理由：1情形1，如图，作PEx轴于E，MHx轴于H由题意易知P（2，2），当PFM是等腰直角三角形时，四边形PMPN是正方形，PF=FM，PFM=90°，易证PFEFMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2m，M（m+2，m2），点M在上，解得m=3或3（舍弃），m=3时，四边形PMPN是正方形情形2，如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M（m2，2m），把M（m2，2m）代入中，解得m=6或0（舍弃），m=6时，四边形PMPN是正方形综上所述：m=6或m=3时，四边形PMPN是正方形考点：1二次函数综合题；2旋转的性质；3探究型；4分类讨论；5压轴题16（2017四川省自贡市）探究函数的图象与性质（1）函数的自变量x的取值范围是 ；（2）下列四个函数图象中函数的图象大致是 ；（3）对于函数，求当x0时，y的取值范围请将下列的求解过程补充完整解：x0= =+ 0，y 拓展运用（4）若函数，则y的取值范围 【答案】（1）x0；（2）C；（3）4，4；（4）y1【解析】（3）解：x0，= =+40，y4（4）= =0，y1故答案为：x0，C，4，4，y1考点：1反比例函数的性质；2一次函数的性质；3二次函数的性质；4阅读型；5探究型；6综合题17（2017四川省自贡市）如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（1，0），点B（0，）（1）求BAO的度数；（2）如图1，将AOB绕点O顺时针得AOB，当A恰好落在AB边上时，设ABO的面积为S1，BAO的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？（3）若将AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断【答案】（1）60°；（2）S1=S2；（3）S1=S2不发生变化【解析】试题分析：（1）先求出OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论；（2）根据等边三角形的性质可得AO=AA'，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AO=AB，然后求出AO=OA'，再根据等边三角形的性质求出点O到AB的距离等于点A'到AO的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（3）根据旋转的性质可得BO=OB'，AA'=OA'，再求出AON=A'OM，然后利用“角角边”证明AON和A'OM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=A'M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明试题解析：（1）A（1，0），B（0，），OA=1，OB=，在RtAOB中，tanBAO=，BAO=60°；（2）BAO=60°，AOB=90°，ABO=30°，CA'=AC=AB，OA'=AA'=AO，根据等边三角形的性质可得，AOA'的边AO、AA'上的高相等，BA'O的面积和AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）S1=S2不发生变化；理由：如图，过点'作A'MOB过点A作ANOB'交B'O的延长线于N，A'B'O是由ABO绕点O旋转得到，BO=OB'，AO=OA'，AON+BON=90°，A'OM+BON=180°90°=90°，AON=A'OM，在AON和A'OM中，AON=AOM，OM A=ON A，AO= AO，AONA'OM（AAS），AN=A'M，BOA'的面积和AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2考点：1几何变换综合题；2旋转的性质；3探究型18（2017德州）有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与（k0）的图象性质小明根据学习函数的经验，对函数与，当k0时的图象性质进行了探究下面是小明的探究过程：（1）如图所示，设函数与图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（k，1），则B点的坐标为 ；（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N求证：PM=PN证明过程如下，设P（m，），直线PA的解析式为y=ax+b（a0）则，解得：直线PA的解析式为 请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明当P点坐标为（1，k）（k1）时，判断PAB的形状，并用k表示出PAB的面积【答案】（1）（k，1）；（2）；k1时，S=，当0k1时，S=【解析】试题分析：（1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标；（2）设P（m，），根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点P作PHx轴于H，由点P的坐标可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同理可得出HN的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM=PN；根据结合PH、MH、NH的长度，可得出PAB为直角三角形，分k1和0k1两种情况，利用分割图形求面积法即可求出PAB的面积试题解析：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，A点的坐标为（k，1），B点的坐标为（k，1）故答案为：（k，1）（2）证明过程如下，设P（m，），直线PA的解析式为y=ax+b（a0）则，解得：，直线PA的解析式为当y=0时，x=mk，M点的坐标为（mk，0）过点P作PHx轴于H，如图1所示，P点坐标为（m，），H点的坐标为（m，0），MH=xHxM=m（mk）=k同理可得：HN=k，MH=HN，PM=PN故答案为：；由可知，在PMN中，PM=PN，PMN为等腰三角形，且MH=HN=k当P点坐标为（1，k）时，PH=k，MH=HN=PH，PMH=MPH=45°，PNH=NPH=45°，MPN=90°，即APB=90°，PAB为直角三角形当k1时，如图1，SPAB=SPMNSOBN+SOAM=MNPHONyB+OM|yA|=×2k×k（k+1）×1+（k1）×1= ；当0k1时，如图2，SPAB=SOBNSPMN+SOAM=ONyBk2+OM|yA|=（k+1）×1k2+（1k）×1=考点：1反比例函数综合题；2探究型；3分类讨论；4压轴题19（2017山东省烟台市）【操作发现】（1）如图1，ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=30°，连接AF，EF求EAF的度数；DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，ABC为等腰直角三角形，ACB=90°，先将三角板的90°角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：求EAF的度数；线段AE，ED，DB之间的数量关系【答案】（1）120°；DE=EF；（2）90°；AE2+DB2=DE2【解析】（2）由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，BAC=B=45°，证出ACF=BCD，由SAS证明ACFBCD，得出CAF=B=45°，AF=DB，求出EAF=BAC+CAF=90°；证出DCE=FCE，由SAS证明DCEFCE，得出DE=EF；在RtAEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论试题解析：（1）ABC是等边三角形，AC=BC，BAC=B=60°，DCF=60°，ACF=BCD，在ACF和BCD中，AC=BC，ACF=BCD，CF=CD，ACFBCD（SAS），CAF=B=60°，EAF=BAC+CAF=120°；DE=EF；理由如下：DCF=60°，DCE=30°，FCE=60°30°=30°，DCE=FCE，在DCE和FCE中，CD=CF，DCE=FCE，CE=CE，DCEFCE（SAS），DE=EF；（2）ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，AC=BC，BAC=B=45°，DCF=90°，ACF=BCD，在ACF和BCD中，AC=BC，ACF=BCD，CF=CD，ACFBCD（SAS），CAF=B=45°，AF=DB，EAF=BAC+CAF=90°；AE2+DB2=DE2，理由如下：DCF=90°，DCE=45°，FCE=90°45°=45°，DCE=FCE，在DCE和FCE中，CD=CF，DCE=FCE，CE=CE，DCEFCE（SAS），DE=EF，在RtAEF中