《初中数学总复习资料》中考数学专题复习全攻略：第三节 等腰、等边及直角三角形.doc

第三节 等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（1）性质等边对等角：两腰相等，底角相等，即ABAC BC；三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合; 对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边：即若BC，则ABC是等腰三角形.注意：1.实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1）、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。 2）、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。3）、用“垂直平分线”构造等腰三角形； 4）、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。2.当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 变式练习1：如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.3.三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 变式练习2：如右图，已知ADBC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.变式练习3：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为()A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17【解析】A当等腰三角形的腰为3，底为7时，337不能构成三角形；当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为37717，故这个等腰三角形的周长是17.变式练习4：如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应3，3，作腰长为4的等腰ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 _变式练习5： 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( C )A12 B16 C20 D16或202.等边三角形（1）性质边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即ABBCAC，BACBC60°；对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定定义：三边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.任一内角 为60°的等腰三角形是等边三角形.即若ABAC，且B60°，则ABC是等边三角形.变式练习1：ABC中，B=60°，AB=AC，BC=3，则ABC的周长为9.变式练习2： 在等边ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD2，过点D作DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，求EF的长解：ABC是等边三角形，BACB60°，DEAB，EDCB60°，EDC是等边三角形，DEDC2，在RtDEF，DEF90°，DE2，DF2DE4，EF2.变式练习3： 如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，点E在BC的延长线上，且CE1，E30°，则BC_2_.知识点二 ：角平分线和垂直平分线1.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等即若1 2，PAOA，PBOB，则PAPB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的 两端点距离相等即若OP垂直且平分AB，则PAPB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 变式练习：如图，ABC中，C=90°，A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.知识点三：直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即AB90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若B30°则ACAB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半即若CD是中线，则CDAB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方即 a2b2c2 .2.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若C90°，则ABC是Rt；注意：（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论. （3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形即若ADBDCD，则 ABC是Rt(3) 勾股定理的逆定理：若a2b2 c2， 则ABC是Rt.3.直角三角形相似判定定理1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。2).直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似：射影定理4.证明垂直的方法： （1）证邻补角相等； （2）证明已知直角三角形全等；（3）利用等腰三角形三线合一的性质； （4）勾股定理及其逆定理；变式练习1： 在ABC中，AB15，BC14，AC13，求ABC的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程 解：如图，在ABC中，AB15，BC14，AC13，设BDx，则CD14x，由勾股定理得：AD2AB2BD2152x2，AD2AC2CD2132(14x)2，故152x2132(14x)2，解得：x9.AD12. SABCBC·AD×14×1284.变式练习2：如图，AB6，O是AB的中点，直线l经过点O，1120°，P是直线l上一点，当APB为直角三角形时，_AP_3或3_变式练习3：如图，在RtABC中，E是斜边AB的中点，若AB10，则CE_5_变式练习4：如图，ABC中，C90°，A30°，AB12，则BC( A )A6 B6 C6 D12,