《初中数学总复习资料》2018年中考数学复习难题突破专题十讲：2018年中考数学复习难题突破专题三：新定义新概念问题.doc

难题突破专题三新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移类型1新法则、新运算型例题：（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1=，则（2*3）*2=2【考点】1G：有理数的混合运算【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2=2，故答案为：2同步训练：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，ABC=90°，若AB=CD=1，ABCD，求对角线BD的长若ACBD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；只要证明ABDCBD，即可解决问题；（2）若EFBC，则AEEF，BFEF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）AB=AC=1，ABCD，S四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，四边形ABCD是菱形，ABC=90°，四边形ABCD是正方形，BD=AC=（2）如图1中，连接AC、BDAB=BC，ACBD，ABD=CBD，BD=BD，ABDCBD，AD=CD（2）若EFBC，则AEEF，BFEF，四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，AE=AB=5当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，BF=AB=5，DEBF，DE：BF=PD：PB=1：2，DE=2.5，AE=92.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5 解题方法点析 此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键类型2新定义几何概念型例题：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y3=0的距离解：由直线4x+3y3=0知，A=4，B=3，C=3，点P0（0，0）到直线4x+3y3=0的距离为d=根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=x+的距离为4；问题2：已知：C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，C与直线y=x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出SABP的最大值和最小值【考点】FI：一次函数综合题【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y5=0的距离d=4，故答案为4（2）C与直线y=x+b相切，C的半径为1，C（2，1）到直线3x+4yb=0的距离d=1，=1，解得b=5或15（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d=3，C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，SABP的最大值=×2×4=4，SABP的最小值=×2×2=2同步训练：（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=axa为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线y=x2x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=x+，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；（2）过A作ADy轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AKx轴于点K，可证EFHACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标【解答】解：（1）抛物线y=x2x+2，其梦想直线的解析式为y=x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，A（2，2），B（1，0），故答案为：y=x+；（2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作ADy轴于点D，在y=x2x+2中，令y=0可求得x=3或x=1，C（3，0），且A（2，2），AC=，由翻折的性质可知AN=AC=，AMN为梦想三角形，N点在y轴上，且AD=2，在RtAND中，由勾股定理可得DN=3，OD=2，ON=23或ON=2+3，N点坐标为（0，23）或（0，2+3）；（3）当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AKx轴于点K，则有ACEF且AC=EF，ACK=EFH，在ACK和EFH中ACKEFH（AAS），FH=CK=1，HE=AK=2，抛物线对称轴为x=1，F点的横坐标为0或2，点F在直线AB上，当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，E到y轴的距离为EHOF=2=，即E点纵坐标为，E（1，）；当F点的横坐标为2时，则F与A重合，不合题意，舍去；当AC为平行四边形的对角线时，C（3，0），且A（2，2），线段AC的中点坐标为（2.5，），设E（1，t），F（x，y），则x1=2×（2.5），y+t=2，x=4，y=2t，代入直线AB解析式可得2t=×（4）+，解得t=，E（1，），F（4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（1，）、F（0，）或E（1，）、F（4，） 解题方法点析 解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的类型3新内容理解把握例题：（2017湖南岳阳）已知点A在函数y1=（x0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k0）上若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A有1对或2对B只有1对C只有2对D有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，）关于原点的对称点B（a，）一定位于直线y2上，即方程ka2（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a1）（ka1）=0，据此可得答案【解答】解：设A（a，），由题意知，点A关于原点的对称点B（a，），）在直线y2=kx+1+k上，则=ak+1+k，整理，得：ka2（k+1）a+1=0 ，即（a1）（ka1）=0，a1=0或ka1=0，则a=1或ka1=0，若k=0，则a=1，此时方程只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k0，则a=，此时方程有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键同步训练：（2017湖南株洲）如图示，若ABC内一点P满足PAC=PBA=PCB，则点P为ABC的布洛卡点三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（ALCrelle 17801855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 18451922）重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形DEF中，EDF=90°，若点Q为DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A5B4CD【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形【分析】由DQFFQE，推出=，由此求出EQ、FQ即可解决问题【解答】解：如图，在等腰直角三角形DEF中，EDF=90°，DE=DF，1=2=3，1+QEF=3+DFQ=45°，QEF=DFQ，2=3，DQFFQE，=，DQ=1，FQ=，EQ=2，EQ+FQ=2+，故选D专 题 训 练1. （2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=1，那么（1+i）（1i）=2【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算【分析】根据定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：原式=1i2=1（1）=2故答案为：22. （2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：ab=2ab例如：52=2×52=8，（3）4=2×（3）4=10（1）若3x=2011，求x的值；（2）若x35，求x的取值范围【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得【解答】解：（1）根据题意，得：2×3x=2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x35，解得：x43. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算术，其勾股数组公式为：其中mn0，m，n是互质的奇数应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理【分析】由n=1，得到a=（m21），b=m，c=（m2+1），根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论【解答】解：当n=1，a=（m21），b=m，c=（m2+1），直角三角形有一边长为5，、当a=5时，（m21）=5，解得：m=（舍去），、当b=5时，即m=5，代入得，a=12，c=13，、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，m0，m=3，代入得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，44. （2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2x3的方法（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项3=1×3=1×（3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（1）=1 1×（1）+2×3=5 1×（3）+2×1=1 1×1+2×（3）=5（3）发现第个“交叉相乘之和”的结果1×（3）+2×1=1，等于一次项系数1即：（x+1）（2x3）=2x23x+2x3=2x2x3，则2x2x3=（x+1）（2x3）像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法仿照以上方法，分解因式：3x2+5x12=（x+3）（3x4）【考点】57：因式分解十字相乘法等【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x12=（x+3）（3x4）即可【解答】解：3x2+5x12=（x+3）（3x4）故答案为：（x+3）（3x4）5. (2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”理解：（1）如图1，已知A、B是O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在O上存在一点P，使得OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解【解答】解：（1）如图1所示：（2）AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，E是DC的中点，DE=CE=2a，BC：FC=4：1，FC=a，BF=4aa=3a，在RtADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在RtECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在RtABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，AE2+EF2=AF2，AEF是直角三角形，斜边AF上的中线等于AF的一半，AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ=2，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM=，故点P的坐标（，），（，）6. （2017益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（3，5）与（5，3）是一对“互换点”（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，当ab0时，由b=ka可得a=kb，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则q=-2p，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，当ab0时，由b=ka可得a=kb，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数y=kx（k0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c0）则有&mc+d=n&nc+d=m解得&c=-1&d=m+n，直线MN的表达式为y=x+m+n；（3）设点A（p，q），则q=-2p，直线AB经过点P（，），由（2）得12=-12+p+q，p+q=1，p-2p=1，解并检验得：p=2或p=1，q=1或q=2，这一对“互换点”是（2，1）和（1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，&1-b+c=2&4+2b+c=-1解得&b=-2&c=-1，此抛物线的表达式为y=x22x1【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键