《初中数学总复习资料》2018年中考数学一轮复习20讲（专题知识归纳＋2017年真题解析）：第15讲三角形 知识归纳＋真题解析（2017年真题）.doc

【知识归纳】一、三角形 1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做 。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 （简称 ）。2三角形的中位线三角形的中位线平行于 ，并且等于 3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边4、三角形的内角和定理及推论1三角形内角和：三角形三内角之和等于 2三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角；(2)三角形的一个外角 与它不相邻的两内角之和1三角形的分类：(1)按边分：三角形分为 和等腰三角形；等腰三角形又分为 及 .(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为： 和 .答案部分【知识归纳答案】一、三角形 1、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线。（2）三角形的中线。（3）三角形的高线（简称三角形的高）。2三角形的中位线：三角形的第三边，并且等于第三边长的一半3.三角形的三边关系定理及推论：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边4、三角形的内角和定理及推论1 180°2三角形外角的性质：(1)大于；(2)等于1三角形的分类：(1)按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形；等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：锐角三角形和钝角三角形.真题解析一选择题（共9小题）1三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A中线B角平分线C高D中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答【解答】解：三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分故选A2如图，ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则DBE与ADC的面积比为（）A3：5B4：5C9：10D15：16【考点】K3：三角形的面积【分析】根据三角形面积求法进而得出SBDC：SADC=3：2，SBDE：SDCE=3：2，即可得出答案【解答】解：AD：DB=CE：EB=2：3，SBDC：SADC=3：2，SBDE：SDCE=3：2，设SBDC=3x，则SADC=2x，SBED=1.8x，SDCE=1.2x，故DBE与ADC的面积比为：1.8x：2x=9：10故选：CZxxk3如图，已知在RtABC中，C=90°，AC=BC，AB=6，点P是RtABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A1BCD2【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，P是RtABC的重心，CD是ABC的中线，PD=CD，C=90°，CD=AB=3，AC=BC，CD是ABC的中线，CDAB，PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A4三角形的重心是（）A三角形三条边上中线的交点B三角形三条边上高线的交点C三角形三条边垂直平分线的交点D三角形三条内角平行线的交点【考点】K5：三角形的重心【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A5如图，直角ABC中，B=30°，点O是ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EFAB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（）ABCD【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质【分析】根据三角形的重心性质可得OC=CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM=CE，进一步得到OM=CE，即OM=AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=AE，MF=EF，依此得到MF=AE，从而得到的值【解答】解：点O是ABC的重心，OC=CE，ABC是直角三角形，CE=BE=AE，B=30°，FAE=B=30°，BAC=60°，FAE=CAF=30°，ACE是等边三角形，CM=CE，OM=CECE=CE，即OM=AE，BE=AE，EF=AE，EFAB，AFE=60°，FEM=30°，MF=EF，MF=AE，=故选：D6长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A4B5C6D9【考点】K6：三角形三边关系【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的【解答】解：由三角形三边关系定理得72x7+2，即5x9因此，本题的第三边应满足5x9，把各项代入不等式符合的即为答案4，5，9都不符合不等式5x9，只有6符合不等式，故选：C7已知a，b，c是ABC的三条边长，化简|a+bc|cab|的结果为（）A2a+2b2cB2a+2bC2cD0【考点】K6：三角形三边关系【分析】先根据三角形的三边关系判断出abc与cb+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可【解答】解：a、b、c为ABC的三条边长，a+bc0，cab0，原式=a+bc+（cab）=0故选D8若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A6B7C11D12【考点】K6：三角形三边关系【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案【解答】解：设第三边的长为x，三角形两边的长分别是2和4，42x2+4，即2x6则三角形的周长：8C12，C选项11符合题意，故选C9如图，在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DEBC若A=62°，AED=54°，则B的大小为（）A54°B62°C64°D74°【考点】K7：三角形内角和定理；JA：平行线的性质【分析】根据平行线的性质得到C=AED=54°，根据三角形的内角和即可得到结论【解答】解：DEBC，C=AED=54°，A=62°，B=180°AC=64°，故选C二填空题（共5小题）10在ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BDCE，垂足为O若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为4cm【考点】K5：三角形的重心；KQ：勾股定理【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，由勾股定理得，DE=2，BD和CE分别是边AC、AB上的中线，BC=2DE=4，O是ABC的重心，AH是中线，又BDCE，OH=BC=2，O是ABC的重心，AO=2OH=4，故答案为：411在ABC中，A：B：C=2：3：4，则A的度数为40°【考点】K7：三角形内角和定理【分析】直接用一个未知数表示出A，B，C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案【解答】解：A：B：C=2：3：4，设A=2x，B=3x，C=4x，A+B+C=180°，2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，A的度数为：40°故答案为：40°12如图，BCEF，ACDF，添加一个条件AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可），使得ABCDEF学科网【考点】KB：全等三角形的判定【分析】本题要判定ABCDEF，易证A=EDF，ABC=E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题【解答】解：BCEF，ABC=E，ACDF，A=EDF，在ABC和DEF中，ABCDEF，同理，BC=EF或AC=DF也可证ABCDEF故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）13如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：ABC=ADC；AC与BD相互平分；AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；四边形ABCD的面积S=ACBD正确的是（填写所有正确结论的序号） 学 科 网【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质【分析】证明ABCADC，可作判断；由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；根据面积和求四边形的面积即可【解答】解：在ABC和ADC中，ABCADC（SSS），ABC=ADC，故结论正确；ABCADC，BAC=DAC，AB=AD，OB=OD，ACBD，而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，故结论不正确；由可知：AC平分四边形ABCD的BAD、BCD，而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；故结论不正确；ACBD，四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=BDAO+BDCO=BD（AO+CO）=ACBD故结论正确；所以正确的有：；故答案为：14如图，AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=44或4x4【考点】KI：等腰三角形的判定【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；如图2，构建腰长为4的等腰直角OMC，和半径为4的M，发现M在点D的位置时，满足条件；如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可【解答】解：分三种情况：如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当M与OB相切时，设切点为C，M与OA交于D，MCOB，AOB=45°，MCO是等腰直角三角形，MC=OC=4，OM=4，当M与D重合时，即x=OMDM=44时，同理可知：点P恰好有三个；如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现M1与直线OB有一个交点；当4x4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=44或4故答案为：x=0或x=44或4三解答题（共9小题）15如图，点E，F在AB上，AD=BC，A=B，AE=BF求证：ADFBCE【考点】KB：全等三角形的判定【分析】根据全等三角形的判定即可求证：ADFBCE【解答】解：AE=BF，AE+EF=BF+EF，AF=BE，在ADF与BCE中，ADFBCE（SAS）16如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，B=C求证：A=D【考点】KD：全等三角形的判定与性质【分析】可通过证ABFDCE，来得出A=D的结论【解答】证明：BE=FC，BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又AB=DC，B=C，ABFDCE；（SAS）A=D17如图，已知ABDE，AB=DE，BE=CF，求证：ACDF【考点】KD：全等三角形的判定与性质【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明ABCDEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题【解答】证明：ABCD，ABC=DEF，又BE=CF，BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在ABC和DEF中ABCDEF（SAS），ACB=DFE，ACDF学 科 网18已知：ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证ACEBCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，AC=BC，DC=EC，ACB+ACD=DCE+ACD，BCD=ACE，在ACE与BCD中，ACEBCD（SAS），AE=BD，（2）AC=DC，AC=CD=EC=CB，ACBDCE（SAS）；由（1）可知：AEC=BDC，EAC=DBCDOM=90°，AEC=CAE=CBD，EMCBCN（ASA），CM=CN，DM=AN，AONDOM（AAS），DE=AB，AO=DO，AOBDOE（HL）19如图，ABC中，ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AFBD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=AB=4，根据勾股定理得到CE=3，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到CAB=45°，由于AFB=ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到CFB=CAB=45°，求得DFC=AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）ACB=90°，AC=BC，AC=BC=AB=4，BE=5，CE=3，AE=43=1；（2）ACB=90°，AC=BC，CAB=45°，AFBD，AFB=ACB=90°，A，F，C，B四点共圆，CFB=CAB=45°，DFC=AFC=135°，在ACF与DCF中，ACFDCF，CD=AC，AC=BC，AC=BC20在等腰直角ABC中，ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QHAP于点H，交AB于点M（1）若PAC=，求AMQ的大小（用含的式子表示）（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出BAC=B=45°，PAB=45°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作MEQB，由AAS证明APCQME，得出PC=ME，MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论【解答】解：（1）AMQ=45°+；理由如下：PAC=，ACB是等腰直角三角形，BAC=B=45°，PAB=45°，QHAP，AHM=90°，AMQ=180°AHMPAB=45°+；（2）PQ=MB；理由如下：连接AQ，作MEQB，如图所示：ACQP，CQ=CP，QAC=PAC=，QAM=45°+=AMQ，AP=AQ=QM，在APC和QME中，APCQME（AAS），PC=ME，MEB是等腰直角三角形，PQ=MB，PQ=MB21如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F（1）判断ABE与ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质【分析】（1）证得ABEACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论【解答】解：（1）ABE=ACD；在ABE和ACD中，ABEACD，ABE=ACD；（2）AB=AC，ABC=ACB，由（1）可知ABE=ACD，FBC=FCB，FB=FC，AB=AC，点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC22如图，直角ABC中，A为直角，AB=6，AC=8点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：APR，BPQ，CQR的面积相等；（2）求PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0t2）表示运动时间，是否存在t，使PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由【考点】KY：三角形综合题【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2t），AR=4（2t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出SPQR=18（t1）2+6，即可得出结论；（3）先判断出DQR=EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可【解答】解：（1）如图，在RtABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sinB=，sinC=，过点Q作QEAB于E，在RtBQE中，BQ=5t，sinB=，QE=4t，过点Q作QDAC于D，在RtCDQ中，CQ=BCBQ=105t，QD=CQsinC=（105t）=3（2t），由运动知，AP=3t，CR=4t，BP=ABAP=63t=3（2t），AR=ACCR=84t=4（2t），SAPR=APAR=×3t×4（2t）=6t（2t），SBPQ=BPQE=×3（2t）×4t=6t（2t），SCQR=CRQD=×4t×3（2t）=6t（2t），SAPR=SBPQ=SCQR，APR，BPQ，CQR的面积相等；（2）由（1）知，SAPR=SBPQ=SCQR=6t（2t），AB=6，AC=8，SPQR=SABC（SAPR+SBPQ+SCQR）=×6×83×6t（2t）=2418（2tt2）=18（t1）2+6，0t2，当t=1时，SPQR最小=6；（3）存在，由（1）知，QE=4t，QD=3（2t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2t），BP=ABAP=63t=3（2t），AR=ACCR=84t=4（2t），过点Q作QDAC于D，作QEAB于E，A=90°，四边形APQD是矩形，AE=DQ=3（2t），AD=QE=4t，DR=|ADAR|=|4t4（2t）|=|4（2t2）|，PE=|APAE|=|3t3（2t）|=|3（2t2）|DQE=90°，PQR=90°，DQR=EQP，tanDQR=tanEQP，在RtDQR中，tanDQR=，在RtEQP中，tanEQP=，16t=9（2t），t=23如图1，在ABC中，设A、B、C的对边分别为a，b，c，过点A作ADBC，垂足为D，会有sinC=，则SABC=BC×AD=×BC×ACsinC=absinC，即SABC=absinC同理SABC=bcsinASABC=acsinB通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图2，在ABC中，若A、B、C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在DEF中，F=60°，D、E的对边分别是3和8求SDEF和DE2解：SDEF=EF×DFsinF=6；DE2=EF2+DF22EF×DFcosF=49（2）如图4，在ABC中，已知ACBC，C=60°，ABC'、BCA'、ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设ABC、ABC'、BCA'、ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4【考点】KY：三角形综合题【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论【解答】解：（1）在DEF中，F=60°，D、E的对边分别是3和8，EF=3，DF=8，SDEF=EF×DFsinF=×3×8×sin60°=6，DE2=EF2+DF22EF×DFcosF=32+822×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，ACB=60°，AB2=AC2+BC22ACBCcos60°=AC2+BC2ACBC，两边同时乘以sin60°得， AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°ACBCsin60°，ABC'，BCA'，ACB'是等边三角形，S1=ACBCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，S2=S4+S3S1，S1+S2=S3+S4，方法2、令A，B，C的对边分别为a，b，c，S1=absinC=absin60°=abABC'，BCA'，ACB'是等边三角形，S2=ccsin60°=c2，S3=aasin60°=a2，S4=bbsin60°=b2，S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），c2=a2+b22abcosC=a2+b22abcos60°，a2+b2=c2+ab，S1+S2=S3+S4