《初中数学总复习资料》2018年中考数学一轮复习20讲（专题知识归纳＋2017年真题解析）：第16讲圆 知识归纳＋真题解析（2017年真题）.doc

【知识归纳】1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .6. 半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 .7.圆内接四边形的对角 【知识归纳答案】1. 圆上各点到圆心的距离都等于半径.2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心 对称图形，圆心 是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧 ；平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 .4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 .5. 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半 .6. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角 ，90°的圆周角所对的弦是直径 .7.圆内接四边形的对角互补真题解析一选择题（共9小题）1如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD，垂足为E，连接CO，AD，BAD=20°，则下列说法中正确的是（）AAD=2OBBCE=EOCOCE=40°DBOC=2BAD【考点】M2：垂径定理【分析】先根据垂径定理得到=，CE=DE，再利用圆周角定理得到BOC=40°，则根据互余可计算出OCE的度数，于是可对各选项进行判断【解答】解：ABCD，=，CE=DE，BOC=2BAD=40°，OCE=90°40°=50°故选D2如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）AB2C6D8【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理【分析】根据垂径定理，可得答案【解答】解：连接OC，由题意，得OE=OBAE=41=3，CE=ED=，CD=2CE=2，故选：B3如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A2米B2.5米C2.4米D2.1米【考点】M3：垂径定理的应用【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可【解答】解：连接OF，交AC于点E，BD是O的切线，OFBD，四边形ABDC是矩形，ADBD，OEAC，EF=AB，设圆O的半径为R，在RtAOE中，AE=0.75米，OE=RAB=R0.25，AE2+OE2=OA2，0.752+（R0.25）2=R2，解得R=1.251.25×2=2.5（米）答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米故选：B学科 网4小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）AAB，AC边上的中线的交点BAB，AC边上的垂直平分线的交点CAB，AC边上的高所在直线的交点DBAC与ABC的角平分线的交点【考点】M3：垂径定理的应用【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是ABC的外接圆，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，所求的圆形玻璃是ABC的外接圆，这块玻璃镜的圆心是ABC三边垂直平分线的交点，故选B5如图，O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交O于点E，连接BE，CE若AB=8，CD=2，则BCE的面积为（）A12B15C16D18【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再设OA=r，则OC=r2，在RtAOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论【解答】解：O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，AC=BC=AB=4设OA=r，则OC=r2，在RtAOC中，AC2+OC2=OA2，即42+（r2）2=r2，解得r=5，AE=10，BE=6，BCE的面积=BCBE=×4×6=12故选A学 科网6如图，A，B，C，D是O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点若BDC=40°，则AMB的度数不可能是（）A45°B60°C75°D85°【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系【分析】根据圆周角定理求得AOB的度数，则AOB的度数一定不小于AMB的度数，据此即可判断【解答】解：B是的中点，AOB=2BDC=80°，又M是OD上一点，AMBAOB=80°则不符合条件的只有85°故选D7如图，已知O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若BCD=120°，AB=AD=2，则O的半径长为（）ABCD【考点】M6：圆内接四边形的性质【分析】连接BD，作OEAD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出BAD的度数，再由AD=AB可得出ABD是等边三角形，则DE=AD，ODE=ADB=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：连接BD，作OEAD，连接OD，O为四边形ABCD的外接圆，BCD=120°，BAD=60°AD=AB=2，ABD是等边三角形DE=AD=1，ODE=ADB=30°，OD=故选D8以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=x+b与O相交，则b的取值范围是（）A0b2B2C22D2b2【考点】MB：直线与圆的位置关系；F7：一次函数图象与系数的关系【分析】求出直线y=x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间【解答】解：当直线y=x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图在y=x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），则OA=OB，即OAB是等腰直角三角形连接圆心O和切点C则OC=2则OB=OC=2即b=2；同理，当直线y=x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=2则若直线y=x+b与O相交，则b的取值范围是2b2故选D9如图，AB是O的直径，BT是O的切线，若ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（）A2BC1D +【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算【分析】设AT交O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到ADB=90°，则可判断ADB、BDC都是等腰直角三角形，所以AD=BD=CD=AB=，然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=SBTD【解答】解：BT是O的切线；设AT交O于D，连结BD，AB是O的直径，ADB=90°，而ATB=45°，ADB、BDT都是等腰直角三角形，AD=BD=TD=AB=，弓形AD的面积等于弓形BD的面积，阴影部分的面积=SBTD=××=1故选C二填空题（共5小题）10如图，在O中，弦AB=8cm，OCAB，垂足为C，OC=3cm，则O的半径为5cm【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论【解答】解：连接OA，OCAB，AB=8，AC=4，OC=3，OA=5故答案为：511在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为1和，则BAC的度数为15°或105°【考点】M2：垂径定理；T7：解直角三角形【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论【解答】解：分别作ODAB，OEAC，垂足分别是D、EOEAC，ODAB，AE=AC=，AD=AB=，sinAOE=，sinAOD=，AOE=45°，AOD=30°，BAO=60°，CAO=90°45°=45°，BAC=45°+60°=105°，或BAC=60°45°=15°BAC=15°或105°故答案是：15°或105°12如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的O， =90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为（32+48）cm2【考点】M3：垂径定理的应用；MO：扇形面积的计算【分析】连接OA、OB，根据三角形的面积公式求出SAOB，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可【解答】解：连接OA、OB，=90°，AOB=90°，SAOB=×8×8=32，扇形ACB（阴影部分）=48，则弓形ACB胶皮面积为（32+48）cm2，故答案为：（32+48）cm213如图，四边形ABCD是菱形，O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE若D=78°，则EAC=27°【考点】M5：圆周角定理；L8：菱形的性质【分析】根据菱形的性质得到ACB=DCB=51°，根据圆内接四边形的性质得到AEB=D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是菱形，D=78°，ACB=DCB=51°，四边形AECD是圆内接四边形，AEB=D=78°，EAC=AEBACE=27°，故答案为：2714如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是ABC的外心，则点C的坐标为（7，4）或（6，5）或（1，4）【考点】MA：三角形的外接圆与外心；D5：坐标与图形性质【分析】由勾股定理求出PA=PB=，由点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是ABC的外心，得出PC=PA=PB=，即可得出点C的坐标【解答】解：点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）PA=PB=，点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是ABC的外心，PC=PA=PB=，则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）；故答案为：（7，4）或（6，5）或（1，4）学 科网三解答题（共9小题）15如图，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若BAC=90°，BD=4，求ABC外接圆的半径【考点】MA：三角形的外接圆与外心【分析】（1）由角平分线得出ABE=CBE，BAE=CAD，得出，由圆周角定理得出DBC=CAD，证出DBC=BAE，再由三角形的外角性质得出DBE=DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，BDC=90°，由勾股定理求出BC=4，即可得出ABC外接圆的半径【解答】（1）证明：AD平分BAC，BE平分ABC，ABE=CBE，BAE=CAD，DBC=CAD，DBC=BAE，DBE=CBE+DBC，DEB=ABE+BAE，DBE=DEB，DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，CD=BD=4，BAC=90°，BC是直径，BDC=90°，BC=4，ABC外接圆的半径=×4=216如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是ABP的外接圆O的直径（1）求证：APE是等腰直角三角形；（2）若O的直径为2，求PC2+PB2的值【考点】MA：三角形的外接圆与外心；KW：等腰直角三角形【分析】（1）只要证明AEP=ABP=45°，PAB=90°即可解决问题；（2）作PMAC于M，PNAB于N，则四边形PMAN是矩形，可得PM=AN，由PCM，PNB都是等腰直角三角形，推出PC=PM，PB=PN，可得PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4；【解答】（1）证明：AB=AC，BAC=90°，C=ABC=45°，AEP=ABP=45°，PE是直径，PAB=90°，APE=AEP=45°，AP=AE，PAE是等腰直角三角形（2）作PMAC于M，PNAB于N，则四边形PMAN是矩形，PM=AN，PCM，PNB都是等腰直角三角形，PC=PM，PB=PN，PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4（也可以证明ACPABE，PBE是直角三角形）17如图，ABC内接于O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分BAC；（2）若BC=6，sinBAC=，求AC和CD的长【考点】MA：三角形的外接圆与外心；T7：解直角三角形【分析】（1）延长AO交BC于H，连接BO，证明A、O在线段BC的垂直平分线上，得出AOBC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；（2）延长CD交O于E，连接BE，则CE是O的直径，由圆周角定理得出EBC=90°，E=BAC，得出sinE=sinBAC，求出CE=BC=10，由勾股定理求出BE=8，证出BEOA，得出，求出OD=，得出CD，而BEOA，由三角形中位线定理得出OH=BE=4，CH=BC=3，在RtACH中，由勾股定理求出AC的长即可【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：AB=AC，OB=OC，A、O在线段BC的垂直平分线上，AOBC，又AB=AC，AO平分BAC；（2）解：延长CD交O于E，连接BE，如图2所示：则CE是O的直径，EBC=90°，BCBE，E=BAC，sinE=sinBAC，=，CE=BC=10，BE=8，OA=OE=CE=5，AHBC，BEOA，即=，解得：OD=，CD=5+=，BEOA，即BEOH，OC=OE，OH是CEB的中位线，OH=BE=4，CH=BC=3，AH=5+4=9，在RtACH中，AC=318如图，在ABC中，C=90°，BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留）【考点】MB：直线与圆的位置关系；MO：扇形面积的计算【分析】（1）连接OD，证明ODAC，即可证得ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积【解答】解：（1）BC与O相切证明：连接ODAD是BAC的平分线，BAD=CAD又OD=OA，OAD=ODACAD=ODAODACODB=C=90°，即ODBC又BC过半径OD的外端点D，BC与O相切学 科网（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，解得：x=2，即OD=OF=2，OB=2+2=4，RtODB中，OD=OB，B=30°，DOB=60°，S扇形AOB=，则阴影部分的面积为SODBS扇形DOF=×2×2=2故阴影部分的面积为219如图，已知AB是圆O的直径，弦CDAB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cosDFA=，AN=2，求圆O的直径的长度【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形【分析】（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出M+FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出M=C=2OAF，再通过互余利用角的计算即可得出CAN=90°OAF=ANC，由此即可证出CA=CN；（2）连接OC，由圆周角定理结合cosDFA=、AN=2，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度【解答】（1）证明：连接OF，则OAF=OFA，如图所示ME与O相切，OFMECDAB，M+FOH=180°BOF=OAF+OFA=2OAF，FOH+BOF=180°，M=2OAFMEAC，M=C=2OAFCDAB，ANC+OAF=BAC+C=90°，ANC=90°OAF，BAC=90°C=90°2OAF，CAN=OAF+BAC=90°OAF=ANC，CA=CN（2）连接OC，如图2所示cosDFA=，DFA=ACH，=设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，CA=CN，NH=a，AN=a=2，a=2，AH=3a=6，CH=4a=8设圆的半径为r，则OH=r6，在RtOCH中，OC=r，CH=8，OH=r6，OC2=CH2+OH2，r2=82+（r6）2，解得：r=，圆O的直径的长度为2r=20已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的O与边CD相切于点DB点在O上，连接OB（1）求证：DE=OE；（2）若CDAB，求证：四边形ABCD是菱形【考点】MC：切线的性质；L9：菱形的判定【分析】（1）先判断出2+3=90°，再判断出1=2即可得出结论；（2）先判断出ABOCDE得出AB=CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD=AD即可【解答】解：（1）如图，连接OD，CD是O的切线，ODCD，2+3=1+COD=90°，DE=EC，1=2，3=COD，DE=OE；（2）OD=OE，OD=DE=OE，3=COD=DEO=60°，2=1=30°，OA=OB=OE，OE=DE=EC，OA=OB=DE=EC，ABCD，4=1，1=2=4=OBA=30°，ABOCDE，AB=CD，四边形AD是平行四边形，DAE=DOE=30°，1=DAE，CD=AD，ABCD是菱形21如图，已知BF是O的直径，A为O上（异于B、F）一点，O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交O于点E（1）求证： =；（2）若ED、EA的长是一元二次方程x25x+5=0的两根，求BE的长；（3）若MA=6，sinAMF=，求AB的长【考点】MC：切线的性质；AB：根与系数的关系；T7：解直角三角形【分析】（1）连接OA、OE交BC于T想办法证明OEBC即可；（2）由ED、EA的长是一元二次方程x25x+5=0的两根，可得EDEA=5，由BEDAEB，可得=，推出BE2=DEEA=5，即可解决问题；（3）作AHOM于H求出AH、BH即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OA、OE交BC于TAM是切线，OAM=90°，PAD+OAE=90°，PA=PD，PAD=PDA=EDT，OA=OE，OAE=OEA，EDT+OEA=90°，DTE=90°，OEBC，=（2）ED、EA的长是一元二次方程x25x+5=0的两根，EDEA=5，=，BAE=EBD，BED=AEB，BEDAEB，=，BE2=DEEA=5，BE=（3）作AHOM于H在RtAMO中，AM=6，sinM=，设OA=m，OM=3m，9m2m2=72，m=3，OA=3，OM=9，易知OAH=M，tanOAD=，OH=1，AH=2BH=2，AB=222如图，AB是O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与O交于点F，设DAC，CEA的度数分别是，（1）用含的代数式表示，并直接写出的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O，当点O是AC的中点时，求，的值【考点】MC：切线的性质【分析】（1）首先证明DAE=2，在RtADE中，根据两锐角互余，可知2+=90°，（0°45°）；（2）连接OF交AC于O，连接CF只要证明四边形AFCO是菱形，推出AFO是等边三角形即可解决问题；【解答】解：（1）连接OCDE是O的切线，OCDE，ADDE，ADOC，DAC=ACO，OA=OC，OCA=OAC，DAE=2，D=90°，DAE+E=90°，2+=90°（0°45°）（2）连接OF交AC于O，连接CFAO=CO，ACOF，FA=FC，FAC=FCA=CAO，CFOA，AFOC，四边形AFCO是平行四边形，OA=OC，四边形AFCO是菱形，AF=AO=OF，AOF是等边三角形，FAO=2=60°，=30°，2+=90°，=30°，=30°23已知ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，（1）判断ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长 【考点】MI：三角形的内切圆与内心【分析】（1）易证EOF+C=180°，DOE+B=180°和EOF=DOE，即可解题；（2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DFBC，再根据AE长度即可解题【解答】解：（1）ABC为等腰三角形，ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，CFE=CEF=BDO=BEO=90°，四边形内角和为360°，EOF+C=180°，DOE+B=180°，=，EOF=DOE，B=C，AB=AC，ABC为等腰三角形；（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，等腰三角形ABC中，AEBC，E是BC中点，BE=CE，在RtAOF和RtAOD中，RtAOFRtAOD，AF=AD，同理RtCOFRtCOE，CF=CE=2，RtBODRtBOE，BD=BE，AD=AF，BD=CF，DFBC，=，AE=4，AM=4×=