九年级数学下册《二次函数的应用（1）面积问题》分项练习真题【解析版】.pdf

1【解析版】专题 2.6 二次函数的应用(1)面积问题姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷满分 100 分,试题共 24 题,其中选择 10 道、填空 8 道、解答 6 道答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 1010 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,共共 3030 分分)在每小题所给出的四个选项中在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的要求的 1(2019 春西湖区校级月考)有一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外边用长为 20m的篱笆围成已知墙长为 15m,若平行于墙的一边长不小于 8m,则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为()A48m2,37.5m2B50m2,32m2C50m2,37.5m2D48m2,32m2【分析】设平行于墙的一边长为xm,苗圃园面积为Sm2,则根据长方形的面积公式写出面积的表达式,将其写成二次函数的顶点式,根据二次函数的性质及问题的实际意义,得出答案即可【解析】设平行于墙的一边长为xm,苗圃园面积为Sm2,则Sx(20 x)(x220 x)(x10)2+50(8x15)0S有最大值,x108 时,S最大50墙长为 15m当x15 时,S最小2S最小15(2015)37.5这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为 50m2,37.5m2故选:C2(2019宝安区二模)如图,小明想用长为 12 米的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是()平方米A16B18C20D24【分析】设AB为x米,则BC122x,即可求面积【解析】设ABx,则BC122x得矩形ABCD的面积:Sx(122x)2x2+122(x3)2+18即矩形ABCD的最大面积为 18 平方米故选:B3(2019桥西区校级模拟)如图,在ABC中,B90,AB6cm,BC12cm,动点P从点A开始沿边AB向B以 1cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以 2cm/s的速度移动(不与点C重合)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么经过()秒,四边形APQC的面积最小A1B2C3D4【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积三角形ABC的面积三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值【解析】设P、Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Scm2,则有:SSABCSPBQ3126(6t)2tt26t+36(t3)2+27当t3s时,S取得最小值故选:C4(2018 秋大观区校级月考)用长度为 8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,那么这个窗户的最大透光面积为()m2ABC2D4【分析】设宽为xm,则长为m,可得面积Sxx2+4x,即可求解【解析】设宽为xm,则长为m,可得面积Sxx2+4x,当x时,S有最大值,最大值为故选:B5(2019保定三模)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留 1m宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27m,则能建成的饲养室面积最大为()4A75m2BC48m2D【分析】设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为 27+33x303x,表示出总面积Sx(303x)3x2+30 x3(x5)2+75 即可求得面积的最值【解析】设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为 27+33x303x,则总面积Sx(303x)3x2+30 x3(x5)2+75,故饲养室的最大面积为 75 平方米,故选:A6(2018 秋柯桥区期末)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设ABm若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是 15m和 6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S的最大值为()A193B194C195D196【分析】根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式,由树与墙CD,AD的距离分别是 15m和 6m求出m的取值范围,再结合二次函数的性质可得答案【解析】ABm米,BC(28m)米则SABBCm(28m)m2+28m即Sm2+28m(0m28)由题意可知,解得 6m13在 6m13 内,S随m的增大而增大,当m13 时,S最大值195,5即花园面积的最大值为 195m2故选:C7(2007 秋吴中区期末)如图,在矩形ABCD中,ABa,BCb,a3b,AEAHCFCG,则四边形EFGH的面积的最大值是()ABCD【分析】先根据题意列出二次函数关系式,再根据求二次函数最值的方法求解即可【解析】设AEAHCFCGx,则BEDGax,BFDHbx,设四边形EFGH的面积为y,依题意,得yabx2(ax)(bx),即:y2x2+(a+b)x,20,抛物线开口向下,x时,有最大值,0 xa,函数有最大值为(a+b)2故选:B8如图,ABC是直角三角形,A90,AB8cm,AC6cm,点P从点A出发,沿AB方向以 2cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以 1cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达终点,则另一个动点也停止运动,则三角形APQ的最大面积是()6A8cm2B16cm2C24cm2D32cm2【分析】设经过ts运动停止,列出面积与t之间的函数关系式【解析】根据题意沿AB方向以 2cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以 1cm/s的速度向点C运动,AP2t,AQt,SAPQt2,0t4,三角形APQ的最大面积是 16故选:B9(2019江夏区模拟)如图,在ABC中,ABAC,BC6,E为AC边上的点且AE2EC,点D在BC边上且满足BDDE,设BDy,SABCx,则y与x的函数关系式为()Ayx2Byx2Cyx2+2Dyx2+2【分析】过A作AHBC,过E作EPBC,则AHEP,由此得出关于x和y的方程,即可得出关系式【解析】过A作AHBC,过E作EPBC,则AHEP,7HC3,PC1,BP5,PEAH,BDDEy,在 RtEDP中,y2(5y)2+PE2,x6AH23AH,y2(5y)2,yx2,故选:A10(2018天心区校级一模)如图 1 所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P以1cm/秒的速度沿折线BEEDDC运动到点C时停止,点Q以 2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止设P、Q同时出发t秒时,BPQ的面积为ycm2已知y与t的函数关系图象如图 2(其中曲线OG为抛物线的一部分,其余各部分均为线段),则下列结论:BEBC;当t6 秒时,ABEPQB;点P运动了 18 秒;当t秒时,ABEQBP;其中正确的是()ABCD【分析】正确根据图中的信息,求出BE、AD的值即可判断8正确根据SAS即可判断错误求出BE+DE+CD的值,可知点P运动了 22 秒错误当t秒时,点P在线段DE上,点Q与点C重合,此时PQB90,由此即可判断【解析】观察图象可知,ADBC5210,BE11010,ED414,AE1046,BEBC,故正确,如图 1 中,当t6 秒时,点P在BE上,点Q静止于点C处,在ABE与PQB中,ABEPQB(SAS),故正确,在 RtABE中,AB8,BE+DE+DC10+4+822,点P运动了 22 秒,故错误,当t秒时,点P在线段DE上,点Q与点C重合,此时PQB90,ABE与QBP不相似,故错误正确,故选:A二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 8 8 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,共共 2424 分分)请把答案直接填写在横线上请把答案直接填写在横线上11(2019 秋宿豫区期末)若把一根长 200cm的铁丝分成两部分,分别围成两个正方形,则这两个正方形的面积的和最小值为1250cm2【分析】先将铁丝分成xcm和(200 x)cm两部分,再列出二次函数,求其最小值【解析】如图,设将铁丝分成xcm和(200 x)cm两部分,列方程得:9y()2+()2(x100)2+1250,由于0,故其最小值为 1250cm2,故答案为:1250cm212(2018长安区一模)如图,在等腰直角ABC中,C90,AB10,点F是AB的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且始终保持DFEF,则CDE面积的最大值为【分析】连接CF,根据全等三角形的判定定理可判定ADFCEF,设ADx,CDE的面积为y,则CEx,C90,列出y关于x的二次函数,利用最值点即可得到答案【解析】如图所示,连接CF,等腰直角ABC中,C90,AB10,点F是AB的中点,CFAF,AFCE,ACBC105,又DFC+CFE90,AFD+CFD90,AFDCFE,ADFCEF(ASA),设ADx(0 x5),CDE的面积为y,则CEx,CD5x,C90,10yx(5x),即CDE面积的最大值为,故答案为:13(2018沈阳)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开已知篱笆的总长为 900m(篱笆的厚度忽略不计),当AB150m时,矩形土地ABCD的面积最大【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积;即可解答本题【解析】设ABxm,则BC(9003x),由题意可得,SABBCx(9003x)(x2300 x)(x150)2+33750当x150 时,S取得最大值,此时,S33750,AB150m,故答案为:15014(2019 秋台州期中)在某市治理违建的过程中,某小区拆除了自建房,改建绿地如图,自建房占地是边长为 8m的正方形ABCD,改建的绿地的是矩形AEFG,其中点E在AB上,点G在AD的延长线上,且DG2BE那么当BE2m时,绿地AEFG的面积最大【分析】设BExm,则DG2BE2xm,绿地AEFG的面积为ym2,根据题意得y关于x的二次函数,然后写成顶点式,利用二次函数的性质可得答案11【解析】设BExm,则DG2BE2xm,绿地AEFG的面积为ym2,根据题意得:yAEAG(8x)(8+2x)2x2+8x+642(x2)2+72二次项系数为2,当x2 时,y有最大值 72故答案为:215(2019 春西湖区校级月考)用 12m长的木材做窗框(如图所示),要使透过窗户的光线最多,窗框的长为3m,此时最大面积为6m2【分析】设窗框的长为xm,根据木材的总长度是 12m表示出宽,然后根据窗框的面积列式整理,再根据二次函数的最值问题解答【解析】设窗框的长为xm,则窗框的宽为(122x),所以,窗框的面积(122x)x(x3)2+6,a0,当x3 时,窗框的面积最大,透过窗户的光线最多,此时最大面积为 6m2故答案为:3,616(2019商南县二模)如图,菱形ABCD的边长为 8,BAD60,点E是AD上一动点(不与A、D重合),点F是CD上一动点,且AE+CF8,则DEF面积的最大值为412【分析】首先过点F作FGAD交AD的延长线于点G,由菱形ABCD的边长为 8,BAD60,即可求得ADCD8,FDG60,然后设AEx,即可得SDEFDEFG(x4)2+4,然后根据二次函数的性质,即可求得答案【解析】过点F作FGAD交AD的延长线于点G,菱形ABCD边长为 8,BAD60,ADCD8,ADC180BAD120,FDG180ADB60,设AEx,AE+CF8,CF8x;DEADAE8x,DFCDCF8(8x)x,在 RtDFG中,FGDFsinGDFx,SDEFDEFG(8x)xx2+2x(x28x)(x4)2+4,当x4 时,DEF面积的最大,最大值为 4故答案为:417(2019兴庆区校级三模)已知如图,矩形ABCD的周长为 18,其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点,若ABx,四边形EFGH的面积为y,则y与x之间的函数关系式为yx2x【分析】根据矩形的周长表示出边BC,再根据EFGH的面积等于矩形ABCD的面积的一半列式整理即可得13解;【解析】矩形ABCD的周长为 18,ABx,BC18x9x,E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点,yx(9x)x2x,故答案为:yx2x;18(2019温州模拟)为了节省材料,某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边,用总长为 80m的篱笆围成了如图所示的三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是300m2【分析】根据三个矩形面积相等,得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的 2 倍,可得出AE2BE,设BEa,则有AE2a,表示出a与 2a,进而表示出y与x的关系式,并求出x的范围即可;再利用二次函数的性质求出面积S的最大值即可【解析】如图,三块矩形区域的面积相等,矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的 2 倍,AE2BE,设BCx,BEFCa,则AEHGDF2a,DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC80,即 8a+2x80,ax+10,3ax+30,14矩形区域ABCD的面积S(x+30)xx2+30 x,ax+100,x40,则Sx2+30 x(0 x40);Sx2+30 x(x20)2+300(0 x40),且二次项系数为0,当x20 时,S有最大值,最大值为 300m2故答案为:300三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 6 小题小题,共共 4646 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(2020河池三模)如图,在足够大的空地上有一段长为 100m的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中ADMN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了 100m的木栏(1)若AD20m,所围成的矩形菜园的面积为 450m2,求所利用的旧墙AD的长(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值【分析】(1)根据题意,可以列出相应的一元二次方程,然后即可得到所利用的旧墙AD的长,注意AD20;(2)根据题意,可以得到面积S与AD的函数关系,然后利用二次函数的性质,即可得到矩形菜园ABCD面积的最大值【解析】(1)设ABxm,则BC(1002x)mx(1002x)450解得,x15,x245,当x5 时,1002x9020,不合题意,舍去当x45 时,1002x10,答:AD的长为 10m;(2)设ADam,面积为Sm2,15Sa(a50)2+1250,当a50 时,S取得最大值,此时S1250,答:矩形菜园ABCD面积的最大值是 1250m220(2020宁波模拟)如图,是 400 米跑道示意图,中间的足球场ABCD是矩形,两边是半圆,直道AB的长是多少?你一定知道是 100 米!可你也许不知道,这不仅仅为了比赛的需要,还有另外一个原因,等你做完本题就明白了设ABx米(1)请用含x的代数式表示BC(2)设矩形ABCD的面积为S求出S关于x的函数表达式当直道AB为多少米时,矩形ABCD的面积最大?【分析】(1)由半圆的长度两种计算方法,列出方程可求解;(2)由矩形的面积公式可求解;由二次函数的性质可求解【解析】(1)由题意可得:BC,BC;(2)四边形ABCD是矩形,Sx(x100)2;当x100 时,S最大,当AB100 米时,S最大21(2019 秋花都区期末)如图,将边长为 40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形,剩余部分折成一个无盖的盒子(纸板的厚度忽略不计)16(1)若该无盖盒子的底面积为 900cm2,求剪掉的正方形的边长;(2)求折成的无盖盒子的侧面积的最大值【分析】(1)设剪掉的正方形的边长为x cm,则AB(402x)cm,根据盒子的底面积为 484cm2,列方程解出即可;(2)设剪掉的正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为y cm2,侧面积4 个长方形面积;则y8x2+160 x,配方求最值【解析】(1)设剪掉的正方形的边长为x cm,则(402x)2900,即 402x30,解得x135(不合题意,舍去),x25;答:剪掉的正方形边长为 5cm;(2)设剪掉的正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为y cm2,则y与x的函数关系式为y4(402x)x,即y8x2+160 x,y8(x10)2+800,80,y有最大值,当x10 时,y最大800;答:折成的长方体盒子的侧面积有最大值,这个最大值是 800cm222(2020 春道里区期末)某养鸡专业户用篱笆及一面墙(该墙可用最大长度为 36 米)围成一个矩形场地17ABCD来供鸡室外活动,该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆(EF),如图,BE、EF上各留有 1 米宽的门(门不需要篱笆),该养鸡专业户共用篱笆 58 米,设该矩形的一边AB长x米,ADAB,矩形ABCD的面积为s平方米(1)求出S与x的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围;(2)若矩形ABCD的面积为 252 平方米,求AB的长【分析】(1)根据题意可得BC158xx(x1),求出BC的长即可列出S与x函数关系式;(2)利用(1)所得函数解析式,即可求解【解析】(1)由题意得:BC158xx(x1),化简得,BC603x,可得矩形ABCD的面积:Sx(603x)3x2+60 x(8x15);(2)由题意得:S3x2+60 x252,解得:x14 或 6(舍去 6),故AB长为 14 米23(2020无锡)有一块矩形地块ABCD,AB20 米,BC30 米为美观,拟种植不同的花卉,如图所示,将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形,其中梯形的高相等,均为x米现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉;在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉;在矩形EFGH中种植丙种花卉甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为 20 元/米2、60 元/米2、40 元/米2,设三种花卉的种植总成本为y元(1)当x5 时,求种植总成本y;(2)求种植总成本y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过 120 平方米,求三种花卉的最低种植总成本【分析】(1)当x5 时,EF202x10,EH302x20,y2(EH+AD)20 x+2(GH+CD)x60+EFEH40,即可求解;18(2)参考(1),由题意得:y(30+302x)x20+(20+202x)x60+(302x)(202x)40(0 x10);(3)S甲2(EH+AD)2x(302x+30)x2x2+60 x,S乙2x2+40 x,则2x2+60 x(2x2+40 x)120,即可求解【解析】(1)当x5 时,EF202x10,EH302x20,y2(EH+AD)20 x+2(GH+CD)x60+EFEH40(20+30)520+(10+20)560+20104022000;(2)EF(202x)米,EH(302x)米,参考(1),由题意得:y(30+302x)x20+(20+202x)x60+(302x)(202x)40400 x+24000(0 x10);(3)S甲2(EH+AD)x(302x+30)x2x2+60 x,同理S乙2x2+40 x,甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过 120 米2,2x2+60 x(2x2+40 x)120,解得:x6,故 0 x6,而y400 x+24000 随x的增大而减小,故当x6 时,y的最小值为 21600,即三种花卉的最低种植总成本为 21600 元24(2019 秋南岸区期末)空地上有一段长为am的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为 120m(1)已知a30,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了 120m木栏,且围成的矩形菜园而积为 1000m2如图 1,求所利用旧墙AD的长;(2)已知 0a60,且空地足够大,如图 2请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值19【分析】(1)按题意设出ADxm,用x表示AB,再根据面积列出方程解答;(2)根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系【解析】(1)设ADx米,则AB,依题意得,1000,解得x1100,x220,a30,且xa,x100 舍去,利用旧墙AD的长为 20 米;(2)设ADx米,矩形ABCD的面积为S平方米,如果按图 1 案围成矩形菜园,依题意得,S(0 xa),0a60,xa60 时,S随x的增大而增大,当xa时,S最大60a,如按图 2 方案围成矩形菜园,依题意得,S(ax),当a时,即 0a40 时,20则x时,S最大当a,即 40a60 时,S随x的增大而减小,xa时,S最大,综合,当 0a40 时,0,此时,按图 2 方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为平方米,当 40a60 时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等当 0a40 时,围成长和宽均为米的矩形菜园面积最大,最大面积为平方米;当 40a60 时,围成长为a米,宽为米的矩形菜园面积最大,最大面积为(60)平方米