专题58解直角三角形及其应用（1）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期全国通用）（解析版）.doc

专题57解直角三角形及其应用（1）（全国一年）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1（2020·湖南长沙?中考真题）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）A米B米C21米D42米【答案】A【解析】【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.故选：A【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形2（2020·四川宜宾?中考真题）如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（ ） ABCD【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据圆周角的性质得到ACBC，得到cosB=,代入即可求出AB，故可求出的周长【详解】，BC=AB是的直径，ACBC，cosB=即解得AB=的周长为故选A【点睛】此题主要考查圆内线段的求解，解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用3（2020·广东广州?中考真题）如图，中，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）A相离B相切C相交D无法确定【答案】B【解析】【分析】根据中， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系【详解】解：中， ，cosA=，AC=4BC=当时，与的位置关系是：相切故选：B【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键4（2020·吉林长春?中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点通过测量可得、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小下列关系式正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；【详解】由题可知，ABD是直角三角形，,选项B、C、D都是错误的，故答案选A【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键5（2020·黑龙江穆棱?朝鲜族学校中考真题）如图，在ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）ABCD2【答案】B【解析】【分析】过A点作AHBC于H点，先由sinB及AB=3算出AH的长，再由tanC算出CH的长，最后在RtACH中由勾股定理即可算出AC的长【详解】解：过A点作AHBC于H点，如下图所示：由，且可知，由，且可知，在中，由勾股定理有：故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解6（2020·黑龙江穆棱?朝鲜族学校中考真题）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）A或BCD或【答案】D【解析】【分析】如图所示，过点A作AEx轴于点E，根据题意易得AOB为等边三角形，在旋转过程中，点A有两次落在x轴上，当点A落在x轴正半轴时，点C落在点C位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A落在x轴负半轴时，点C落在点C位置，易证此时C与点A重合，即可求解【详解】解：如图所示，过点A作AEx轴于点E，则，OA=，AOE=60°，四边形ABCD是菱形，AOB是等边三角形，当A落在x轴正半轴时，点C落在点C位置，此时旋转角为60°，BOC=60°，COF=30°，COF=60°-30°=30°，OC=OA=4，OF=，CF=，C（），当A落在x轴负半轴时，点C落在点C位置，AOC=AOC+BOC=120°，AOC=120°，GOC=30°又OA=OC，此时C点A重合，C C，综上，点C的对应点的坐标为或，故答案为：D【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A的运动情况，分情况讨论7（2020·广东深圳?中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ） A200tan70°米B米C200sin70°米D 米【答案】B【解析】【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及PQT的度数，进而得到PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长【详解】解：在RtPQT中，QPT=90°，PQT=90°-70°=20°，PTQ=70°，即河宽米，故选：B【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键8（2020·湖北荆州?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（ ） ABCD【答案】B【解析】【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，再根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标【详解】解：如图，过A点作轴于D点， 的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为，为的中点，则点的坐标为：，故选：【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识9（2020·山东威海?中考真题）如图，矩形的四个顶点分别在直线，上若直线且间距相等，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据ABG90°，AB4，可以得到BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到BAG，从而可以得到tan的值【详解】解：作CFl4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得GEBF，CEEF，CEGCFB，BC3，GB，l3l4，GAB，四边形ABCD是矩形，AB4，ABG90°，tanBAG=，tan的值为，故选：A【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答10（2020·重庆中考真题）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=12.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°0.68，cos43°0.73，tan43°0.93）A23米B24米C24.5米D25米【答案】D【解析】【分析】如图，作EFCD于F，EGBC于G解直角三角形DEF得EF=30米，DF=72米，得EG=150米，解直角三角形AFG得AG=139.5米，求出AB即可【详解】解：作EFCD于F，EGBC于G在RtDEF中，设EF=x米，i=12.4DF=2.4x米，DE= 米=75，x=30米，DF=2.4x=72米，GE=FC=DF+CD=72+78=150米，CG=EF=30米，在RtAEG中，米米故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作EFCD于F，EGBC于G，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形11（2020·内蒙古赤峰?中考真题）如图，RtABC中，ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把RtABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）A15B18C20D22【答案】A【解析】【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABCA的面积为平行四边形ABBA和直角三角形ACB面积之和，分别求出平行四边形ABBA和直角三角形ACB的面积，即可得出答案【详解】解：在ACB中，ACB=90°，AB=5，AC=3，由勾股定理可得：，ACB是由ACB平移得来，AC=AC=3，BC=BC=4，又BB=3，AC= 3，故选：A【点睛】本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高12（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，在四边形中，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（ ）A4BC2D【答案】A【解析】【分析】分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又B=60°，所以EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在RtBMH中，BH=BC=AD=，MBH=B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为BCE的内切圆半径的长【详解】解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，EB=EC，B=60°，EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，M在直线PQ上，连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，BH=BC=AD= ，MBH=B=30°，在RtBMH中,MH=BH×tan30°=×=4的内切圆半径是4故选：A【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理，等边三角形的判定，等边三角形内切圆半径的求法，解直角三角形，解题关键在于理解题意，运用正确的方法求三角形内切圆半径13（2020·辽宁大连?中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据题意可得OAB为直角三角形，AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长【详解】解：由已知得，AOB=90°60°=30°，OA=200m则AB=OA=100m故选：A【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键14（2020·西藏中考真题）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，ODAC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E若AB8，CAB30°，则图中阴影部分的面积为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据垂径定理得到，ADCD，解直角三角形得到ODOA2，ADOA2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：ODAC，ADO90°，ADCD，CAB30°，OA4，ODOA2，ADOA2，图中阴影部分的面积S扇形AOESADO×22，故选：D【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，求不规则图形的面积，得出ODOA2，ADOA2是解题关键15（2020·重庆中考真题）如图，在ABC中，AC=，ABC=45°，BAC=15°，将ACB沿直线AC翻折至ABC所在的平面内，得ACD过点A作AE，使DAE=DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）AB3CD4【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理、翻折及等腰三角形判定，依次易得ACB=120°，ACE=120°，CAE=30°，AC=EC，再进一步证明ABCEBC，得到BE=BA延长BC交AE于F，由CE=CA，BE=BA，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知BC是线段AE的垂直平分线，即AFC=90°，在RtAFC中解直角三角形得AF=，在RtAFB中，ABC=45°，解直角三角形得AB=AF=，进而得到BE的长.【详解】解：在ABC中，ABC=45°，BAC=15°，ACB=120°，将ACB沿直线AC翻折，得ACD，ACE=ACB=120°，DAE=DAC=BAC=15°，即CAE=30°，在ACE中，CEA=180°-ACE-CAE=30°，AC=EC，又ECB=360°-ACE-ACB=120°，在EBC和ABC中，EBCABC，BE=BA.如下图，延长BC交AE于F，CE=CA，BE=BA，BC是线段AE的垂直平分线，即AFC=90°，在RtAFC中，CAF=30°，AC=，AF=AC·cosCAF=.在RtAFB中，ABC=45°，AB=AF=，BE=AB=.故选：C.【点睛】本题考查三角形内角和定理、翻折、等腰三角形判定、解直角三角形及全等三角形等，准确判断出直线BC是线段AE的垂直平分线是解题的关键.二、解答题16（2020·江苏扬州?中考真题）如图，内接于，点E在直径CD的延长线上，且（1）试判断AE与的位置关系，并说明理由；（2）若，求阴影部分的面积【答案】（1）AE与O相切，理由见详解；（2）【解析】【分析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出E=ACE=OCA=OAC=30°，EAC=120°，进而得出EAO=90°，即可得出答案；（2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积【详解】（1）AE与O相切，理由如下：连接AO，B=60°，AOC=120°，AO=CO，AE=AC，E=ACE，OCA=OAC=30°，E=ACE=OCA=OAC=30°，EAC=120°，EAO=90°，AE是O的切线；（2）连接AD，则，DAC=90°，CD为O的直径，在RtACD中，AC=6，OCA=30°，AOD=60°，【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题17（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为，求CD的高度结果保留根号【答案】CD的高度是米【解析】【分析】作于点F，设米，在直角中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角中表示出CE的长，然后根据即可列方程求得x的值，进而求得CD的长【详解】如图，作于点F，设米，在中，则，在直角中，米，在直角中，则米，即，解得：，则米，答：CD的高度是米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度是解题的关键.18（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，求证：DC为的切线；线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，求CF的长【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据圆周角定理得：，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：，可得结论；先根据三角函数计算，证明，得，设，利用勾股定理列方程可得x的值，证明，列比例式可得CF的长【详解】（1）如图，连接OC，为的直径，即，为的切线；中，设，中，舍或，设，【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.19（2020·辽宁大连?中考真题）四边形内接于是的直径，（1）如图1，求证；（2）过点D作的切线，交延长线于点P（如图2），求的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接证明结合从而可得结论；（2）由为的直径，得 利用锐角三角函数求解，连接 交于，证明四边形为矩形，从而可得答案【详解】证明：（1）如图，连接 （2）如图，连接 交于，为的直径， 为的切线， 四边形为矩形， 【点睛】本题考查了圆的基本性质，考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键20（2020·辽宁朝阳?中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析【解析】【分析】法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由ADCDAC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解【详解】方法1：解：作于D依题意得， 在中， ，设，则，在中，（或者由勾股定理得） 在中， ， 第一组用时：；第二组用时：，第二组先到达目的地，答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地 方法2：解：于点D，依题意得：，在中， ，设，则，由勾股定理得：， ，在中， 第一组用时：；第二组用时：，第二组先到达目的地答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题21（2020·辽宁铁岭?中考真题）在等腰和等腰中，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接（1）如图1，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由（3）若，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长【答案】（1）；（2）成立，证明详见解析；（3）或【解析】【分析】（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半作答，得出DOEO，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出，从而得出DOEO，问题得解；（2）方法1:延长EB交AD于F，先证明 ,然后证明,最后证 问题得以证明；方法2:延长EO到M，使得OMOE，先证是等腰三角形，然后证OAMOBE，再证MADDCE,最后证明MDE为等腰三角形问题得解（3）分BC在AC左侧时和BC在AC右侧两种情况，画出对应图形，求得，根据含30°角的直角三角形边之间的关系和勾股定理即可求得DE,再结合（2）可证ODOE，OD=OE，根据等腰直角三角形三边关系可求得OD【详解】（1）理由：，与是直角三角形，是AB的中点， ， ， ， ， ，在中， ， 故，ODOE（2）成立 证法一：延长交于点，连接和是等腰三角形，四边形是矩形是的中点在中，是中点，则 证法二：延长到点，使得，连接是的中点和是等腰三角形， （3）如下图，当BC在AC左侧时，ACB=60°，过E作EHDC，与它的延长线交于H，连接DE，ADC和BEC为等腰直角三角形，,，在中，,在中,由（2）中的证法2可证得ODOE，OD=OE，为等腰直角三角形，在中，；如下图，当BC在AC右侧时，ACB=60°，过E作EHDC，与它交于H，连接DE，ADC和BEC为等腰直角三角形，,，在中，,在中,综上所述或【点睛】本题是一道几何综合题，考查了图形的旋转变换，直角三角形的性质，三角形全等判定与与性质，矩形的判定与性质及勾股定理，三角函数等知识，属于中考压轴题22（2020·辽宁铁岭?中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面（点在同一平面内） （1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度（结果精确到1米）（参考数据）【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米【解析】【分析】（1）在RtACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度（2）在RtBCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可【详解】解：（1）垂直于桥面在中，（米）答：大桥主架在桥面以上的高度为米 （2）在中，（米）答：大桥主架在水面以上的高度约为50米【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提23（2020·江苏泰州?中考真题）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到，参考数据：，）【答案】两次观测期间龙舟前进了18米【解析】【分析】设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出BDO=50°，ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在RtBOD中，解直角三角形求得OD的长度，在RtAOC中，解直角三角形求出DC的长度即可【详解】解：设BA与CD的延长线交于点O，根据题意易得：BDO=50°，ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在RtBOD中，解得：，在RtAOC中，答：两次观测期间龙舟前进了18米【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法24（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，交于点，且（1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的半径【答案】（1）见详解；（2）的半径为【解析】【分析】（1）由AB为直径，则ADB=90°，由等边对等角，三角形的外角性质，得到，然后得到，即可得到结论成立；（2）由，DF=2，则求出BD=6，然后利用勾股定理，求出AB的长度，即可得到半径【详解】解：（1）为直径，ADB=90°，BE平分CBD，ABC=90°，BC是的切线；（2），BDF=90°，BD=6，设，则AD=，在RtABD中，由勾股定理得，解得：，的半径为【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，等边对等角，三角形的外角性质，以及等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题25（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，小岛和都在码头的正北方向上，它们之间距离为，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头的正西方向处时，测得，渔船速度为，经过，渔船行驶到了处，测得，求渔船在处时距离码头有多远？（结果精确到）（参考数据：，）【答案】14.2 km.【解析】【分析】根据题意，可求出km,km，则可得km,在中利用三角函数可得，所以km,然后在中，根据三角函数列出关于的方程，解方程即可得出答案.【详解】解：依题可得，km,设km，则km,在中，km,km,在中，解得：即渔船在处时距离码头约14.2km.【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用，根据题目所给的已知条件，先找出要用到的直角三角形，然后再逐一去分析，需要设未知数的一般求谁设谁，或者选择计算量较小的线段设为未知数，注意题目要求的精确度.26（2020·内蒙古呼伦贝尔?中考真题）两地间有一段笔直的高速铁路，长度为某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响分别从两地处测得点的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响请通过计算说明理由【答案】会受到影响，理由见解析【解析】【分析】首先过C作CDAB与D，由题意得AD = CD·tan，BD = CD·tan，继而可得CD·tan + CD·tan = AB，则可求得CD的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区【详解】解：如图，过C作CDAB于D，ACD=，BCD=，tanACD=tan=，tanBCD=tan=，AD = CD·tan，BD = CD·tan，由AD+ BD= AB，得CD·tan+CD·tan=AB=100，则30，高速公路会受到地震影响【点睛】此题考查了三角函数的实际应用，此题难度适中注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键27（2020·内蒙古赤峰?中考真题）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为_米（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】由题意可得CAD=30°，BAD=60°，然后分别解RtADC 和RtADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果【详解】解：由题意，得CAD=30°，BAD=60°，则在RtADC中，米，在RtADB中，米，米故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识是解题关键28（2020·内蒙古赤峰?中考真题）如图，巳知二次函数y =ax2+bx +c(a0)的图象与x轴交于A(1 ，0) ，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点.（1）直接写出二次函数的解析式 ；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QE / y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点.是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与BOC相似?如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为，（2）点Q（2，-1），（3）存在，满足条件的点M有8个，M（，）【解析】【分析】（1）求出点C坐标，将A、B、C坐标代入抛物线，即可求解（2）设出直线BC平移后的函数，令直线与抛物线函数相等，等于零，求出Q坐标即可（3）利用OBCEMN，得到两种情况MEN=OCB，MEN=OBC；利用，得到M的横坐标的方程，解方程即可【详解】（1）由题意知：直线经过B，C两点将x=0代入直线，解得y=2C（0，2）由题意知：A(1 ，0) ，B(4，0)，C（0，2）代入抛物线，可得解得 ， ，抛物线解析式为（2）由题意知：设直线BC平移后的函数为直线BC平移后与抛物线有唯一公共点Q，化简得即直线BC平移后的函数为令解得，点Q（2，-1）（3）如图所示，过点M作MPEN，设M点坐标为（m，n）由题意知：OBCEMN分两种情况讨论：第一种，MEN=OCB在RtOBC中，OC=2，OB=4又点Q（2，-1），QEAB点E（2，0）代入抛物线可得化简如图所示，有4个交点第二种，MEN=OBC在RtOBC中，OC=2，OB=4又点Q（2，-1），QEAB点E（2，0）代入抛物线可得化简如图所示，有4个交点综上所述，有8个交点由上述可知M只要满足下列任意一个函数即可；令（m>4），解得，（舍）M（，）【点睛】本题主要考查了一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题，正确掌握一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题的解法是解题的关键29（2020·江苏镇江?中考真题）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC10m小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）（参考数据：1.41，1.73）【答案】19.8m【解析】【分析】延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在RtBNF中，设BNNHx，则根据tanBFN就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长【详解】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N， BHN45°，BAMH，则BNNH，设BNNHx， HF6，BFN30°，且tanBFN，tan30°，解得x8.22，根据题意可知：DMMHMN+NH， MNAC10，则DM10+8.2218.22， CDDM+MCDM+EF18.22+1.619.8219.8（m）答：建筑物CD的高度约为19.8m【点睛】本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念，根据题意构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键30（2020·云南中考真题）如图，为O的直径，为O上一点，垂足为，平分（1）求证：是O的切线；（2）若，求的长【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接OC，根据角平分线及等腰三角形的性质得到OCD=90°，即可求解；（2）连接BC，在RtADC中，利用cos1=CAB=，求出AC=5，再根据在RtABC中，cosCAB=，即可求出AB的长【详解】（1）证明：连接OC，ADC=90°1+4=90°AC平分DAB1=2又AO=OC，2=31=34+3=90°即OCD=90°故OCCD，OC是半径是O的切线；（2）连接BC，AB是直径，ACB=90°AC平分DAB，1=2在RtADC中，cos1=CAB=又AD=4AC=5在RtABC中，cosCAB=AB=【点睛】此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理及三角函数的定义31（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测