《中考课件初中数学总复习资料》第10讲 垂直问题专题-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点一线三垂直如图1：若，且，则如图2：若，且，则 图1 图2射影定理如图3/4：中，则有如下结论成立：（1） 三条直角边看成竹竿，最长斜边AB看成地面；（2） 三竹竿的平方等于各自的两个地面影子之积；（3） 巧记：每条竹竿平方等于地面上的点出发的两条线段之积.AC2=AD·ABCD2=DA·DBCB2=BD·BA 图3 图4构造“一线三直角”（1）如图1/2/3：过的直角顶点，作一条直线，再分别过点A,C向其作垂线，垂足分别为点D、E，则截有结论成立： 图1 图2 图3（2）在平面直角坐标系中，常常化斜为直，作“横平竖直辅助线”构造三角形相似，如图4，当见到ABCD时，若过A、B、C、D四个顶点作“水平线”与“竖直线”，则有图4（3）除上述“三垂直相似”外，如图5，当见到矩形ABCD中，EFHG这种“十字架垂直”时，分别过E、H作“水平线”与“竖直线”，则有，若正方形，则相似变为全等.图5【例题1】将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是_.【解析】如图：过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点F，过点A作ANBF于点N，过点C作CMx轴于点M，EAO+AOE90°，AOE+MOC90°，EAOCOM，又AEOCMO，AEOCOM，BAN+OAN90°，EAO+OAN90°，BANEAOCOM，在ABN和OCM中，ABNOCM（AAS），BNCM，点A（1，2），点B的纵坐标是，BN，CM，MO3，点C的坐标是：（3，）【例题2】如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y上，第二象限的点B在反比例函数y上，且OAOB，A30°，则k的值为【解析】过A作ANx轴于N，过B作BMx轴于M第一象限内的点A在反比例函数y的图象上，设A（x，）（x0），ONAN1A30°，tanA，OAOB，BMOANOAOB90°，MBO+BOM90°，MOB+AON90°，MBOAON，MBONOA，BMON，OMAN又第二象限的点B在反比例函数y上，kOMBMON×AN故答案为【例题3】如图，RtABC中，C90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC，OC，则另一直角边BC的长为【解析】过点O作OMCA，交CA的延长线于点M，作ONBC于点N四边形ABCD是正方形，OAOB，AOB90°，MONAOB90°，AOMBON，在AOM和BON中，OMAONB，OMON，MANBO点在ACB的平分线上，OCM为等腰直角三角形法2：过点D作CB延长线的垂线，垂足为F，连接OF，构造一线三直角计算。OC，CMON1MACMAC1，BCCN+NB1+故答案为：【例题4】在平面直角坐标系中，点A（1,3）B（2，-1），在一次函数的图像上是否存在点P，使得APB=90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】两种解法，答案为或【例题5】如图，RtABC中，ACB90°，AC6cm，BC8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ与ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQCP，求t的值【解析】根据勾股定理得：BA；（1）分两种情况讨论：当BPQBAC时，BP5t，QC4t，AB10，BC8，解得，t1，当BPQBCA时，解得，t；t1或时，BPQBCA；（2）过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB5t，PM3t，MC84t，NAC+NCA90°，PCM+NCA90°，NACPCM，ACQPMC，ACQCMP，解得t1. 如图，抛物线y与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）令x0得；y2，C（0，2）令y0得：0，解得：x11，x24A（1，0），B（4，0）（2）点C与点D关于x轴对称，D（0，2）设直线BD的解析式为ykx2将（4，0）代入得：4k20，k直线BD的解析式为yx2（3）如图1所示：QMDC，当QMCD时，四边形CQMD是平行四边形设点Q的坐标为（m，m2+m+2），则M（m，m2），m2+m+2（m2）4，解得：m2，m0（不合题意，舍去），当m2时，四边形CQMD是平行四边形；（4）存在，设点Q的坐标为（m，m2+m+2），BDQ是以BD为直角边的直角三角形，当QBD90°时，由勾股定理得：BQ2+BD2DQ2，即（m4）2+（m2+m+2）2+20m2+（m2+m+2+2）2，解得：m3，m4（不合题意，舍去），Q（3，2）；当QDB90°时，由勾股定理得：BQ2BD2+DQ2，即（m4）2+（m2+m+2）220+m2+（m2+m+2+2）2，解得：m8，m1，Q（8，18），（1，0），综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，18），（1，0）2. 如图1，对称轴为直线x的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）由对称性得：A（1，0），设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x2），把C（0，4）代入：42a，a2，y2（x+1）（x2），抛物线的解析式为：y2x2+2x+4；（2）如图1，设点P（m，2m2+2m+4），过P作PDx轴，垂足为D，SS梯形+SPDBm（2m2+2m+4+4）+（2m2+2m+4）（2m），S2m2+4m+42（m1）2+6，20，S有最大值，则S大6；（3）存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形，理由是：分以下两种情况：当BQM90°时，如图2：CMQ90°，只能CMMQ设直线BC的解析式为：ykx+b（k0），把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，直线BC的解析式为：y2x+4，设M（m，2m+4），则MQ2m+4，OQm，BQ2m，在RtOBC中，BC2，MQOC，BMQBCO，即，BM（2m）2m，CMBCBM2（2m）m，CMMQ，2m+4m，m48Q（48，0）解法一：当QMB90°时，如图3，由得：QMCMm，BM2m，QMBCOB，m，QB，OQ2，Q（，0）解法二：当QMB90°时，如图4，过M作MFOB于F，由得：QMCMm，设Q（n，0），则QFmn，MF2m+4，MQFBCO，Q（，0）综上所述，Q点坐标为（48，0）或（，0）3. 如图，在RtABC中，ACB90°，ACBC，ABC45°，点D为BC的中点，CEAD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF求证：ADCBDF【解析】证明：作BGCB，交CF的延长线于点G，如图所示：CBG90°，CFAD，CAD+ADCBCG+ADC90°，CADBCG，在ACD和CBG中，ACDCBG（ASA），CDBG，CDACGB，CDBD，BGBD，ABC45°，FBDGBFCBG，在BFG和BFD中，BFGBFD（SAS），FGBFDB，ADCBDF4. 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴上，点B（b，0）是x轴上一动点，且4b0，ABC是以AB为直角边，B为直角顶点的等腰直角三角形（1）求点C的坐标（用含b的式子表示）；（2）以x轴为对称轴，作点C的对称点C，连接BC、AC，请把图形补充完整，并求出ABC的面积（用含b的式子表示）；（3）点B在运动过程中，OAC的度数是否发生变化，若变化请说明理由；若不变化，请直接写出OAC的度数 【解析】（1）如图，过点C作CEx轴，垂足为E，ABC是等腰直角三角形，ABBC，ABC90°，ABE+CBE90°，CBE+BCE90°，ABEBCE，且ABBC，AOBBEC90°，ABOBCE（AAS）BOCE，AOBE，点A（0，4），点B（b，0），且4b0，BEOA4，BOECb，OE4+b点C坐标（4+b，b）（2）根据题意画出图形，如下图，点C与点C'关于x轴对称，点C'（4+b，b），C'Cx轴，SABC'SABO+S梯形AOEC'SBEC'×（b）×4+×（4b）（4+b）×4×（b），SABC'8b2，（3）点B在运动过程中，OAC的度数不发生变化，理由如下：如图，过点A作AFEC'，垂足为F，AFEC'，EC'BE，AOOE，四边形AOEF是矩形，AOEF4，OEAF4+b，C'FEFEC'4（b）4+b，AFC'F，且AFE90°，FAC'45°，且OAF90°，OAC'45°5. 如图，ACB为等腰直角三角形，A（1，0），C（1，3），ACBC，求B点坐标 【解析】如图，过点C作直线lx轴，作AEl于E，BFl于FACB是等腰直角三角形，ACBC，AECACBBFC90°，ACE+EAC90°，ACE+BCF90°，EACBCF，AECCFB，AECF3，BFEC2，B（4，1）6. 在正方形ABCD中，点H，E，F分别在边AB，BC，CD上，AEHF于点G（1）如图1，求证：AEHF；（2）如图2，延长FH，交CB的延长线于M，连接AC，交HF于N若MBBE，EC2BE，求的值；（3）如图3，若AB2，BHDF，将线段HF绕点F顺时针旋转90°至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为（直接写出结果）【解析】（1）证明：如图1中，作HMCD于M四边形ABC都是正方形，BCCMH90°，ABBC，四边形BCMH是矩形，HMBCAB，AEHF，AGHAHM90°，BAE+AHG90°，AHG+FHM90°，BAEFHM，BHMF90°，ABEHMF（ASA），AEHF（2）解：如图2中，EC2BE，不妨设BEBMa，EC2a，则ABBCCD3a，CM4a，tanBAE，ABEMGE90°，BAE+AEB90°，M+AEB90°，MBAE，tan，BHa，CFa，AHABBH3aaa，CFAH，ANHCNF，2（3）解：如图3中，延长BA到N，使得ANAD，作MJAN于J，交CD的延长线于K，作FQAB于Q，则四边形BCFQ，四边形ADKJ都是矩形，FQHFKM（AAS）QKKM，DFAQBH，KJADAB，JMAQ+BH2AQ，FKFQJQADAN，AQJN，JM2JN，tanN2，点M的运动轨迹是射线NM，N是的定值，作APMN于P，根据垂线段最短可知：当AM与AP重合时，AM的值最小，tanN2，设NPx，AP2x，在RtAPN中，则有22x2+4x2，解得x（负根已经舍弃），PA2x，AM的最小值为7. （2019武汉模拟）（1）如图1，已知DBBC，ACBC，垂足分别为点B，C，AECD于点F，求证：；（2）在ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且AECD于F点如图2，若ACB90°，tanB，且AE2CD，求的值；如图3，若ACB90°，tanB2，且AE2CD求的值【解析】（1）证明：DBBC，ACBC，BACE90°，AECD，A+ACD90°，ACD+DCB90°，ADCB，AECCDB，；（2）解：如图2，过点D作DHBC于H，由（1）知，AECCDH，2，在RtBDE中，tanB，设BH3a，则DH5a，EC2DH10a，设HEb，则CHCE+HE10a+b，AC2CH20a+2b，在RtABC中，tanB，整理，得，b5a，CH15a，DHBC，ACBC，DHBACB90°，DHAC，5；如图3，过点D作DMBC于M，过点A作ANBC于N，则ANECMD90°，AECD，FCE+FEC90°EAN+FEC90°，FCEEAN，AENCDM，2，在RtABN中，tanB2，CMBN，BMCN，设BMCNx，则DM2x，在RtDBM中，BDx，2，EN2DM4x，CEEN+CN5x，8. 已知在平面直角坐标中，点A（m，n）在第一象限内，ABOA且ABOA，反比例函数y的图象经过点A，（1）当点B的坐标为（4，0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；（2）当点B在反比例函数y的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n的代数式表示点B的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求的值【解析】（1）过A作ACOB，交x轴于点C，OAAB，OAB90°，AOB为等腰直角三角形，ACOCBCOB2，A（2，2），将x2，y2代入反比例解析式得：2，即k4，则反比例解析式为y；（2）过A作AEx轴，过B作BDAE，OAB90°，OAE+BAD90°，AOE+OAE90°，BADAOE，在AOE和BAD中，AOEBAD（AAS），AEBDn，OEADm，DEAEADnm，OE+BDm+n，则B（m+n，nm）；（3）由A与B都在反比例图象上，得到mn（m+n）（nm），整理得：n2m2mn，即（）2+10，这里a1，b1，c1，1+45，A（m，n）在第一象限，m0，n0，则9. 如图，直线ykx与双曲线y交于A、B两点，点C为第三象限内一点（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；（2）当k，且CACB，ACB90°时，求C点的坐标；（3）当ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式【解析】（1）由于点A在反比例函数图象上，所以3，解得a2；（2）连接CO，作ADy轴于D点，作CE垂直y轴于E点，ACB90°，CACB，OCABOA，AOC90°AOD+COE90°，COE+OCE90°，OCEDOA在ADO和OEC中ADOOEC，CEOD，OEAD由k时，yx，点A是直线 ykx与双曲线y的交点，所以，解得x±2，y±3A点坐标为（2，3），CEOD3，EODA2，所以C（3，2）（3）连接CO，作ADy轴于D点，作CEy轴于E点，反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们都关于原点对称，OAOB又ABC为等边三角形，AOCBOC90°，AOD+DAO90°，COE+BOE90°，DOABOEDAOCOEADOOEC，由于ACO30°，tanACO因为C的坐标为（m，n），所以CEm，OEn，ADn，ODm，所以A（n，m），代入y中，得mn1810.（2019扬州一模）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角（1）在RtABC中，ACB90°，若A为智慧角，则B的度数为45°；（2）如图，在ABC中，A45°，B30°，求证：ABC是智慧三角形；（3）如图，ABC是智慧三角形，BC为智慧边，B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y（x0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为当ABC是直角三角形时，求k的值【解析】（1）如图1，在RtABC中，ACB90°，A是智慧角，ABAC，根据根据勾股定理得，BCAC，BA45°，故答案为45°；（2）如图2，过点C作CDAB于点D在RtACD中，A45°，ACDC在RtBCD中，B30°，BC2DCABC是智慧三角形（3）由题意可知ABC90°或BAC90°当ABC90°时，如图3，过点B作BEx轴于点E，过点C作CFEB交EB延长线于点F，过点C作CGx轴于点G，则AEBFABC90°BCF+CBFABE+CBF90°BCFABEBCFABE设AEa，则BFaBE，CF2OGOA+AEGE3+a21+a，CGEF+a，B（3+a，），C（1+a，+a）点B，C在函数y（x0）的图象上，（3+a）（1+a）（+a）k解得：a11，a22（舍去）k当BAC90°时，如图4，过点C作CMx轴于点M，过点B作BNx轴于点N则CMACABANB90°MCA+CAMBAN+CAM90°MCABAN由（1）知B45°ABC是等腰直角三角形ACAB由知MACNBAMACNBA（AAS）AMBN设CMANb，则ON3+bB（3+b，），C（3，b）点B，C在函数y（x0）的图象上，（3+b）（3）bk解得：b9+12k18+15综上所述，k4或18+1511. 如图，已知抛物线yax2+bx+6（a0）与x轴交于点A（3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；（2）点M为坐标平面内一点，若MAMBMC，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E，使4tanABE11tanACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）将A，B的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线y的函数表达式y2x24x+6，当x0时，y6，即C（0，6）；（2）由MAMBMC，得M点在AB的垂直平分线上，M在AC的垂直平分线上，设M（1，x），MAMC，得（1+3）2+x2（x6）2+（10）2，解得x若MAMBMC，点M的坐标为（1，）；（3）过点A作DAAC交y轴于点F，交CB的延长线于点D，如图1，ACO+CAO90°，DAO+CAO90°，ACO+AFO90°DAOACO，CAOAFOAOFCOAAO2OC×OFOA3，OC6OFA（6，0），F（0，）直线AF的解析式为：，B（1，0），（0，6），直线BC的解析式为：y6x+6，解得tanACB4tanABE11tanACBtanABE2过点A作AMx轴，连接BM交抛物线于点EAB4，tanABE2AM8M（3，8），B（1，0），（3，8）直线BM的解析式为：y2x+2，联立BM与抛物线，得，解得x2或x1（舍去）y6E（2，6）当点E在x轴下方时，如图2，过点E作EGAB，连接BE，设点E（m，2m24m+6）tanABE2m4或m1（舍去）可得E（4，10），综上所述：E点坐标为（2，6），（4，10）