《中考课件初中数学总复习资料》题型09 几何类比、拓展、探究题（原卷版）.docx

备战2020年中考数学十大题型专练卷题型09 几何类比、拓展、探究题一、解答题1如图1，（）绕点顺时针旋转得，射线交射线于点（1）与的关系是 ；（2）如图2，当旋转角为60°时，点，点与线段的中点恰好在同一直线上，延长至点，使，连接与的关系是 ，请说明理由；如图3，连接，若，求线段的长度2（问题）如图1，在中，过点作直线平行于，点在直线上移动，角的一边始终经过点，另一边与交于点，研究和的数量关系（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点移动到使点与点重合时，通过推理就可以得到，请写出证明过程；（数学思考）（2）如图3，若点是上的任意一点（不含端点），受（1）的启发，这个小组过点作交于点，就可以证明，请完成证明过程；（拓展引申）（3）如图4，在（1）的条件下，是边上任意一点（不含端点），是射线上一点，且，连接与交于点，这个数学兴趣小组经过多次取点反复进行实验，发现点在某一位置时的值最大若，请你直接写出的最大值3小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展   (1)温故：如图 1，在ABC中，ADBC 于点D，正方形PQMN 的边QM在BC上，顶点P ，N 分别在AB， AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形 PQMN的边长  (2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操作：如图 2，任意画ABC，在AB上任取一点P，画正方形 PQMN ，使Q,M在BC边上， N在ABC 内，连结B N 并延长交AC 于点N，画NMBC于点M，NPNM 交AB于点P，PQBC 于点Q，得到四边形 PQMN小波把线段BN 称为“波利亚线” (3)推理：证明图2 中的四边形  PQMN 是正方形 (4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N 上截取NE=NM ，连结EQ ，EM(如图 3)当tanNBM=  时，猜想QEM的度数，并尝试证明请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题4问题提出：如图，图是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图是一张 a× b 的方格纸（a× b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a× b个边长为 1 的小正方形，其中 a2 ， b2，且 a，b 为正整数） 把图放置在图中，使它恰好盖住图中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：把图放置在 2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，对于 2×2的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法探究二：把图放置在 3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在 3×2的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图放置在 3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 ×48种不同的放置方法探究三：把图放置在 a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图， 在 a ×2 的方格纸中，共可以找到_个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图放置在 a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_种不同的放置方法 探究四：把图放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在 a ×3 的方格纸中，共可以找到_个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_种不同的放置方法问题解决：把图放置在 a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）问题拓展：如图，图是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图是一个长、宽、高分别为 a，b ，c （a2 ， b2 ， c2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为 1 的小立方体在图的不同位置共可以找到_个图这样的几何体5在中，于点,（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：;6如图，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，（1）试证明，并求的值（2）如图，将如图中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由7定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形理解：如图1，点在上，的平分线交于点，连接求证：四边形是等补四边形；探究：如图2，在等补四边形中连接是否平分请说明理由运用：如图3，在等补四边形中，其外角的平分线交的延长线于点求的长8已知ABC内接于，的平分线交于点D，连接DB，DC（1）如图，当时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式： ；（2）如图，当时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图，若BC=5，BD=4，求 的值9如图，在中，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点（1）如图所示，若，求证：；（2）如图所示，若，如图所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明10将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE探究SABC与SADC的比是否为定值（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，SABC：SADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由（图）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，SABC：SADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由（图）（3）两块三角板中，BAE+CAD180°，ABa，AEb，ACm，ADn（a，b，m，n为常数），SABC：SADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由（图）11如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形(1)概念理解：如图2，在四边形中，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，试证明：；(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、已知，求的长12（1）数学理解：如图，ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图，在任意直角ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若ABBE+AF，求ADB的度数；（3）联系拓广：如图，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系13如图，正方形的边长为2，为的中点，是延长线上的一点，连接交于点，（1）求的值；（2）如图1，连接，在线段上取一点，使，连接，求证：；（3）如图2，过点作于点，在线段上取一点，使，连接，将绕点旋转，使点旋转后的对应点落在边上请判断点旋转后的对应点是否落在线段上，并说明理由14在中，是上一点，连接（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点.如图2，若，求证：如图3，若是的中点，直接写出的值（用含的式子表示）15如图1，是正方形边上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线交于点和点.线段和的数量关系是 ；写出线段和之间的数量关系.当四边形为菱形，点是菱形边所在直线上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线交于点和点.如图2，点在线段上时，请探究线段和之间的数量关系，写出结论并给出证明；如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点；若 ,直接写出线段的长度. 16教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容例2 如图，在中，分别是边的中点，相交于点，求证：，证明：连结请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程结论应用：在中，对角线交于点，为边的中点，、交于点（1）如图，若为正方形，且，则的长为 （2）如图，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为 17如图1，在矩形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为（1）若如图2，当点B落在AC上时，显然PCB是直角三角形，求此时t的值是否存在异于图2的时刻，使得PCB是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由（2）当P点不与C点重合时，若直线PB与直线CD相交于点M，且当t3时存在某一时刻有结论PAM=45°成立，试探究：对于t3的任意时刻，结论PAM=45°是否总是成立？请说明理由.18在等腰三角形中，作交AB于点M，交AC于点N（1）在图1中，求证：；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F，求证：；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作交CM的延长线于点E，作交NB的延长线于点F，求证： 19问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F求AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将APN沿着AN翻折，点P落在点P'处若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F分别过点A、F作AGMN，FHMN，垂足分别为G、H若AG，请直接写出FH的长20箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”模型应用:（1）直接应用：如图2， 如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则 如图4，分别为的2019等分线它们的交点从上到下依次为已知，则 度（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，O是四边形ABCD内一点，且求证：四边形OBCD是菱形21如图1，在RtABC中，B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.（1）问题发现 当时， ； 当时， （2）拓展探究试判断：当0°360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.22操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.(1)如图1，求证：BEBF；(2)特例感知：如图2，若DE5，CF2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若DEa，CFb.如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)23如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ；（2）如图2，在RtABC中，ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求ABC的面积；（3）如图3，在钝角ABC中，A=60°，点D在AB边上，ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）. 24（1）（探究发现）如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）则之间满足的数量关系是 （2）（类比应用）如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由（3）（拓展延伸）如图3，平分，且，点是上一点，求的长25根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）两个大小不同的正方形相似（ 命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，ABCA1B1C1，BCDB1C1D1，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似 （3）如图2，四边形ABCD中，ABCD，AC与BD相交于点O，过点O作EFAB分别交AD，BC于点E，F记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值26在中，已知是边的中点，是的重心，过点的直线分别交、于点、.（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当和不平行，且点、分别在线段、上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点在的延长线上或点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 27如图，在等腰中，点D,E分别在边AB,BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90º得到EF（1）如图1，若，点E与点C重合，AF与DC相交于点O求证：（2）已知点G为AF的中点如图2，若，求DG的长若，是否存在点E，使得是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由28(1)方法选择如图，四边形是的内接四边形，连接，求证：.小颖认为可用截长法证明：在上截取，连接小军认为可用补短法证明：延长至点，使得请你选择一种方法证明(2)类比探究（探究1）如图，四边形是的内接四边形，连接，是的直径，试用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论（探究2）如图，四边形是的内接四边形，连接，若是的直径，则线段，之间的等量关系式是_(3)拓展猜想如图，四边形是的内接四边形，连接，若是的直径，则线段，之间的等量关系式是_29（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，求证：；推断：的值为 ；（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探究与CP之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长30在，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP（1）观察猜想如图1，当时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 （2）类比探究如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由（3）解决问题当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值