《中考课件初中数学总复习资料》专题6 最短路径—将军饮马问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题六：最短路径将军饮马问题探究专题导例如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE1，DF2，若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为 【分析】作F点关于BD的对称点F，连接EF交BD于点P，则PFPF，由两点之间线段最短可知当E、P、F在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF的。方法剖析直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型（1）“两定一动型”-两个定点+一个动点问题：在直线/上找一点P，使得PAPB的值最小解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时PAPB的最小值即为线段BA的长度（2）如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，PAPB最小？解析：思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型(3)两点之间线段最短的应用一般股以下类型，构建“对称模型”实现转化导例答案：解：作F点关于BD的对称点F，则PFPF，连接EF交BD于点PEP+FPEP+FP由两点之间线段最短可知：当E、P、F在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FPEP+FPEF四边形ABCD为菱形，周长为12，ABBCCDDA3，ABCD，AF2，AE1，DFAE1，四边形AEFD是平行四边形，EFAD3EP+FP的最小值为3故答案为：3典例剖析类型一：一线两定点形成的最短路径型例1.如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一动点，则PAPC的最小值为【分析】：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PAPC的值最小，类型二：一定点与两直线上的动点形成的路径最短型例2.如图，AOB30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP6，当PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，PMN的周长最小，此时COD是等边三角形，求得三角形PMN和COD的面积，根据四边形PMON的面积为：（ SCOD+SPMN）求得即可类型三：“两定点两定直线”型例3.如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，E，F分别为边AB，AD的中点，点M，N分别为BC，CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值【方法剖析】问题作法图形原理在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PQMN的周长最小分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q和P，连接QP，与两直线交点即为M，N两点之间，线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PQPQ的长。类型四：“两定点一定直线”型例4如图，在等边三角形ABC中，AB6，ADBC，E是线段AC上的一点，M是线段AD上的一点，AE2，求EMMC的最小值【方法剖析】问题作法图形原理在直线l上求一点P，使PAPB的值最小连接AB，与直线l的交点即为点P两点之间，线段最短，PAPB的最小值为AB在直线l上求一点P，使PAPB的值最小作B关于直线l的对称点B，连接AB，与直线l的交点即为P(也可作点A关于直线l的对称点)两点之间，线段最短，PAPB的最小值为AB专题突破1.在菱形ABCD中，对角线AC6，BD8，点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点，PEPF的最小值是2.如图，矩形中，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_3.如图，在五边形ABCDE中，BAE120°，BE90°，ABBC1，AEDE2，在BC、DE上分别找一点M、N(1)当AMN的周长最小时，AMNANM；(2)求AMN的周长最小值4如图所示，正方形ABCD的面积为16，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 5如图，在锐角三角形ABC中，AB2，ABC60°，ABC的平分线交AC于D，M、N分别是BD、AB上的动点，则AM+MN的最小值是6.如图，在RtABO中，OBA90°，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A （2，2）B（，）C（，）D（3，3）7.如图2，在矩形ABCD中，AB4，AD6，AE4，AF2，是否在边BC，CD上分别存在点G，H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由8. 如图，在四边形ABCD中，B=C=90°，ABCD，AD=AB+CD利用尺规作ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法（2）在（1）的条件下：证明AEDE；若CD2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。9.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1，0)，B（4，0），C（0，3）(1)求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC的周长的最小值；若不存在，请说明理由。专题六：最短路径将军饮马问题探究例1解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PAPC的值最小，DPPA，PAPCPDPCCD，B(3，)，AB，OA3，tanAOB，AOB30°，OB2AB2，由三角形面积公式得：×OA×AB×OB×AM，AM，AD2×3，AMB90°，B60°，BAM30°，BAO90°，OAM60°，DNOA，NDA30°，ANAD，由勾股定理得：DN，C(，0)，CN31，在RtDNC中，由勾股定理得：DC，即PAPC的最小值是例2.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，PMCM，OPOC，COAPOA；点P关于OB的对称点为D，PNDN，OPOD，DOBPOB，OCODOP6，CODCOA+POA+POB+DOB2POA+2POB2AOB60°，COD是等边三角形，CDOCOD6POCPOD，OPCD，OQ6×3，PQ63设MQx，则PMCM3x，（3x）2x2（63）2，解得x69，MN2MQ1218，SPMNMN×PQ，SMONMN×OQ，S四边形PMONSMON+SPMNMN×PQ+MN×OQMN×OP×（1218）×63654故答案为3654例3.解：如答图，作点E关于BC的对称点E，作点F关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M，交CD于N，连接EM，FN，则EMEM，FNFN，EFEMMNFNEFEMMNFNEFEF，此时，四边形EFNM周长的最小值为EFEF的长AB6，AD8，E，F分别为边AB，AD的中点，AE639，AF8412，在RtAEF中，EF15，在RtAEF中，EF5，四边形EFNM周长的最小值为EFEF51520.例4.解：ABC是等边三角形，点C关于AD的对称点是点B，如答图，连接BE，交线段AD于点M，则MEMC最小，即为BE的长过点B作BHAC于点H，则EHAHAE321，BH3.在RtBHE中，BE2.专题突破1.解：四边形ABCD是菱形，对角线AC6，BD8，AB5，作E关于AC的对称点E，作EFBC于F交AC于P，连接PE，则EF即为PEPF的最小值，×AC×BDAD×EF，EF，PEPF的最小值为.2.为矩形，又点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，连接，交与点，此时的值最小，且故答案为：3.解：作A关于BC和ED的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交ED于N，则AA即为AMN的周长最小值作EA延长线的垂线，垂足为H，BAE120°，AAAAAA60°，AAAAAM，AAAEAN，CAN120°AAAAAA60°，也就是说AMNANM180°60°120°.过点A作EA延长线的垂线，垂足为H，ABBC1，AEDE2，AA2BA2，AA2AE4，则RtAHA中，EAB120°，HAA60°，AHHA，AAH30°，AHAA1，AH，AH145，AA2，4解：连结BP四边形ABCD为正方形，面积为16，正方形的边长为4ABE为等边三角形，BEAB4四边形ABCD为正方形，ABP与ADP关于AC对称BPDPPE+PDPE+BP由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值BE4故答案为：45.解：作AEBC于E，交BD于M，作MNAB于N，BD是ABC的平分线，MNME，AM+MNAM+MEAE，根据垂线段最短可知AE就是AM+MN的最小值，AB2，ABC60°，AEsinABCABsin60°×2×2，AM+MN的最小值为，故答案为6.在RtABO中，OBA90°，A（4，4），ABOB4，AOB45°，点D为OB的中点，BC3，ODBD2，D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），直线OA 的解析式为yx，设直线EC的解析式为ykx+b，解得：，直线EC的解析式为yx+2，来源:学科网解得，P（，），故选：C7.存在理由如下：如答图2，作E关于CD的对称点E，作F关于BC的对称点F，连接EF，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，则FGFG，EHEH，则此时四边形EFGH的周长最小由题意，得BFBFAF2，DEDE2，A90°，AF6，AE8，EF10，EF2，四边形EFGH周长的最小值为EFFGGHHEEFEF210.8.（1）如图，ADC的平分线DE如图所示（2）解法一：在DA上截取DG=CD，连接GE，由（1）知GDE=CDE又DE=DE，GDECDEDGE=C=90°，DEC=DEC在AGE和ABE中，AGE=ABE=90°，AD=AG+DG=AB+CD，DG=CD，AG=AB又AE=AE，RtAEGRtAEBAEG=AEBDEG+AEG=DEC+AEB=90°，即AED=90°，故AEDE解法二：延长DE交AB的延长线于FCDAF，CDE=FCDE=ADE，ADF=FAD=AFAD=AB+CD=AB+BF，CD=BFDEC=BEF，DECFEBDE=EFAD=AF，AEDE作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KHAB于H，DGAB于G连接MKAD=AF，DE=EF，AE平分DAF，则AEKAEBAK=AB=4在RtADG中，DG=AD2-AG242，KHDG，KHDG=AKADKH42=46KH=823MB=MK，MB+MN=KM+MN当K，M，N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长BM+MN的最小值为8239.（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-4)，依题意，代入点C（0，3），得a·(0-1)×(0-4)=3，a=34.抛物线的解析式为y=34(x-1)(x-4)= 34x2-154x+3.(2)存在，理由如下：抛物线的对称为直线x52，连接BC交直线x52于点P，如图，则PA=PB, PA+PC=PC+PB=BC.此时PC+PA最短，四边形PAOC的周长最小.在RtBOC中，OB=4，OC3, BC=5. 四边形PAOC周长的最小值为3+1+59