《中考课件初中数学总复习资料》专题24 矩形（解析版）.docx

专题24 矩形问题1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2矩形的性质（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线平分且相等。3矩形判定定理（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。4矩形的面积：S=ab（a、b分别表示矩形的长、宽）【例题1】（2020湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边ABa，BCb，DAOx，则点C到x轴的距离等于（）Aacosx+bsinxBacosx+bcosxCasinx+bcosxDasinx+bsinx【答案】A【解析】作CEy轴于E，由矩形的性质得出CDABa，ADBCb，ADC90°，证出CDEDAOx，由三角函数定义得出ODbsinx，DEacosx，进而得出答案作CEy轴于E，如图：四边形ABCD是矩形，CDABa，ADBCb，ADC90°，CDE+ADO90°，AOD90°，DAO+ADO90°，CDEDAOx，sinDAO=ODAD，cosCDE=DECD，ODAD×sinDAObsinx，DED×cosCDEacosx，OEDE+ODacosx+bsinx，点C到x轴的距离等于acosx+bsinx.【对点练习】（2019贵州省铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A360°B540°C630°D720°【答案】C【解答】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°【例题2】（2020菏泽）如图，矩形ABCD中，AB5，AD12，点P在对角线BD上，且BPBA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为 【答案】317【解析】根据矩形的性质可得BD13，再根据BPBA可得DQDP8，所以得CQ3，在RtBCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长矩形ABCD中，AB5，AD12，BADBCD90°，BD=AB2+AD2=13，BPBA5，PDBDBP8，BABP，BAPBPADPQ，ABCD，BAPDQP，DPQDQP，DQDP8，CQDQCDDQAB853，在RtBCQ中，根据勾股定理，得BQ=BC2+CQ2=153=317【对点练习】（2019内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD8，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为点E，且AE平分BAC，则AB的长为 【答案】【解答】四边形ABCD是矩形AOCOBODO，AE平分BAOBAEEAO，且AEAE，AEBAEO，ABEAOE（ASA）AOAB，且AOOBAOABBODO，BD2AB，AD2+AB2BD2，64+AB24AB2，AB【例题3】（2020聊城）如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若ADAF，求证：四边形ABFC是矩形【答案】见解析。【解析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定ABEFCE，从而得到ABCF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BCAF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，BAECFE，ABEFCE，E为BC的中点，EBEC，ABEFCE（AAS），ABCFABCF，四边形ABFC是平行四边形，BCAF，四边形ABFC是矩形【对点练习】（2019湖北省鄂州市）如图，矩形ABCD中，AB8，AD6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DEDF时，求EF的长【答案】见解析。【解析】根据矩形的性质得到ABCD，由平行线的性质得到DFOBEO，根据全等三角形的性质得到DFBE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；推出四边形BEDF是菱形，得到DEBE，EFBD，OEOF，设AEx，则DEBE8x根据勾股定理即可得到结论（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，DFOBEO，又因为DOFBOE，ODOB，DOFBOE（ASA），DFBE，又因为DFBE，四边形BEDF是平行四边形；（2）解：DEDF，四边形BEDF是平行四边形四边形BEDF是菱形，DEBE，EFBD，OEOF，设AEx，则DEBE8x在RtADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2DE2x2+62（8x）2，解之得：x，DE8，在RtABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2BD2BD，OD BD5，在RtDOE中，根据勾股定理，有DE2 OD2OE2，OE，EF2OE一、选择题1（2020怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A4B6C8D10【答案】C【解析】根据矩形的性质得到OAOBOCOD，推出SADOSBCOSCDOSABO2，即可求出矩形ABCD的面积四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，ACBD，且OAOBOCOD，SADOSBCOSCDOSABO2，矩形ABCD的面积为4SABO8，2（2020达州）如图，BOD45°，BODO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F下列4个判断：OE平分BOD；OFBD；DF=2AF；若点G是线段OF的中点，则AEG为等腰直角三角形正确判断的个数是（）A4B3C2D1【答案】A【解析】由矩形得EBEDEA，BAD为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断的正误；证明AOFABD，便可判断的正误；连接BF，由线段的垂直平分线得BFDF，由前面的三角形全等得AFAB，进而便可判断的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得AGOG，进而求得AGE45°，由矩形性质得EDEA，进而得EAD22.5°，再得EAG90°，便可判断的正误四边形ABCD是矩形，EBED，BODO，OE平分BOD，故正确；四边形ABCD是矩形，OADBAD90°，ABD+ADB90°，OBOD，BEDE，OEBD，BOE+OBE90°，BOEBDA，BOD45°，OAD90°，ADO45°，AOAD，AOFABD（ASA），OFBD，故正确；AOFABD，AFAB，连接BF，如图1，BF=2AF，BEDE，OEBD，DFBF，DF=2AF，故正确；根据题意作出图形，如图2，G是OF的中点，OAF90°，AGOG，AOGOAG，AOD45°，OE平分AOD，AOGOAG22.5°，FAG67.5°，ADBAOF22.5°，四边形ABCD是矩形，EAED，EADEDA22.5°，EAG90°，AGEAOG+OAG45°，AEG45°，AEAG，AEG为等腰直角三角形，故正确；故选：A3.（2019广东广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE3，AF5，则AC的长为（）A4B4C10D8【答案】A 【解析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OAOC，AECE，证明AOFCOE得出AFCE5，得出AECE5，BCBE+CE8，由勾股定理求出AB4，再由勾股定理求出AC即可连接AE，如图：EF是AC的垂直平分线，OAOC，AECE，四边形ABCD是矩形，B90°，ADBC，OAFOCE，在AOF和COE中，AOFCOE（ASA），AFCE5，AECE5，BCBE+CE3+58，AB4，AC4；故选：A4（2019山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4CD【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45°，DEC90°DP2P190°DP1P245°P2P1B90°，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BC2BP12PB的最小值是25.（2019湖北荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在MON的边OM，ON上，若OAOC，要求只用无刻度的直尺作MON的平分线小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分MON有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，等腰三角形的“三线合一”小明的作法依据是（）ABCD【答案】C【解析】四边形ABCD为矩形，AECE，而OAOC，OE为AOC的平分线二、填空题6（2020绍兴）将两条邻边长分别为2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 （填序号）2， 1， 2-1， 32， 3【答案】【解析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是2，1，2-1，32，不可以是37（2020泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N已知AB4，BC6，则MN的长为 【解析】43【分析】延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQBC，ABCW，根据相似三角形的判定得出QMFCMB，BNEWND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案【解析】延长CE、DA交于Q，如图1，四边形ABCD是矩形，BC6，BAD90°，ADBC6，ADBC，F为AD中点，AFDF3，在RtBAF中，由勾股定理得：BF=AB2+AF2=42+32=5，ADBC，QECB，E为AB的中点，AB4，AEBE2，在QAE和CBE中QEA=BECQ=ECBAE=BE QAECBE（AAS），AQBC6，即QF6+39，ADBC，QMFCMB，FMBM=QFBC=96，BF5，BM2，FM3，延长BF和CD，交于W，如图2，同理ABDM4，CW8，BFFM5，ABCD，BNEWND，BNNF=BEDW，BN5-BN+5=24，解得：BN=103，MNBNBM=103-2=438（2020黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB2，BC=2，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQBC于点Q，则PQ【解析】43【分析】根据矩形的性质得到ABCD，ABCD，ADBC，BAD90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，ADBC，BAD90°，E为CD的中点，DE=12CD=12AB，ABPEDP，ABDE=PBPD，21=PBPD，PBBD=23，PQBC，PQCD，BPQDBC，PQCD=BPBD=23，CD2，PQ=439.（2019湖南娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）【答案】ABC=90°或 AC=BD【解析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；故添加条件：ABC=90°或 AC=BD 故答案为：ABC=90°或 AC=BD10.（2019黑龙江省龙东地区）如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且SPAB SPCD，则PCPD的最小值是_【答案】.【解析】结合已知条件，根据SPAB SPCD可判断出点P在平行于AB，与AB的距离为2、与CD的距离为4的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.过点P作直线lAB，作点D关于直线l的对称点D1，连接CD1，矩形ABCD中，AB4，BC6，CD=4,DD1=8,在RtCDD1中，由勾股定理得CD1=，PCPD的最小值是. 11.（2019贵州省安顺市） 如图，在RtABC中，BAC90°，AB3，AC4，点D为斜边BC上的一个动点，过D分别作DMAB于点M，作DNAC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 .BDMNCA【答案】【解析】连接AD，即可证明四边形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MNAD，再由三角形的面积关系求出AD的最小值，即可得出结果连接AD，如图所示：BDMNCADMAB，DNAC，AMDAND90°，又BAC90°，四边形AMDN是矩形；MNAD，BAC90°，AB3，AC4，BC5，当ADBC时，AD最短，此时ABC的面积BCADABAC，AD的最小值，线段MN的最小值为。12.（2019湖北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB4，BC8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM下列结论：CQCD；四边形CMPN是菱形；P，A重合时，MN2；PQM的面积S的取值范围是3S5其中正确的是 （把正确结论的序号都填上）【答案】【解析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CNNP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；假设CQCD，得RtCMQCMD，进而得DCMQCMBCP30°，这个不一定成立，判断错误；点P与点A重合时，设BNx，表示出ANNC8x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值便可如图1，PMCN，PMNMNC，MNCPNM，PMNPNM，PMPN，NCNP，PMCN，MPCN，四边形CNPM是平行四边形，CNNP，四边形CNPM是菱形，故正确；CPMN，BCPMCP，MQCD90°，CPCP，若CQCD，则RtCMQCMD，DCMQCMBCP30°，这个不一定成立，故错误；点P与点A重合时，如图2，设BNx，则ANNC8x，在RtABN中，AB2+BN2AN2，即42+x2（8x）2，解得x3，CN835，AC，MN2QN2故正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S，4S5，故错误故答案为：13.（2019·贵州贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作DFE30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是 【答案】【解析】E的运动路径是EE'的长；AB4，DCA30°，BC，当F与A点重合时，在RtADE'中，AD，DAE'30°，ADE'60°，DE'，CDE'30°，当F与C重合时，EDC60°，EDE'90°，DEE'30°，在RtDEE'中，EE'.14（2019山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD2将A向内翻折，点A落在BC上，记为A，折痕为DE若将B沿EA向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B，则AB【答案】【解析】利用矩形的性质，证明ADEA'DEA'DC30°，CA'B'D90°，推出DB'A'DCA'，CDB'D，设ABDCx，在RtADE中，通过勾股定理可求出AB的长度四边形ABCD为矩形，ADCCB90°，ABDC，由翻折知，AEDA'ED，A'BEA'B'E，A'B'EBA'B'D90°，AEDA'ED，A'EBA'EB'，BEB'E，AEDA'EDA'EB×180°60°，ADE90°AED30°，A'DE90°A'EB30°，ADEA'DEA'DC30°，又CA'B'D90°，DA'DA'，DB'A'DCA'（AAS），DCDB'，在RtAED中，ADE30°，AD2，AE，设ABDCx，则BEB'ExAE2+AD2DE2，（）2+22（x+x）2，解得，x1（负值舍去），x215.（2019北京市）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形MNPQ是矩形；存在无数个四边形MNPQ是菱形；至少存在一个四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是_【答案】【解析】如图，O为矩形ABCD对角线的交点， 图中任过点O的两条线段PM，QN，则四边形MNPQ是平行四边形；显然有无数个.本结论正确.图中任过点O的两条相等的线段PM，QN，则四边形MNPQ是矩形；显然有无数个.本结论正确.图中任过点O的两条垂直的线段PM，QN，则四边形MNPQ是菱形；显然有无数个.本结论正确.图中过点O的两条相等且垂直的线段PM，QN，则四边形MNPQ是正方形；显然有一个.本结论错误.故填： .三、解答题16（2020苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DFAE，垂足为F（1）求证：ABEDFA；（2）若AB6，BC4，求DF的长【解析】见解析。【分析】（1）由矩形性质得ADBC，进而由平行线的性质得AEBDAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF【解析】（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，B90°，DAFAEB，DFAE，AFDB90°，ADFEAB，ABEDFA；（2）E是BC的中点，BC4，BE2，AB6，AE=AB2+BE2=62+22=210，四边形ABCD是矩形，ADBC4，ABEDFA，ABDF=AEAD，DF=ABADAE=6×4210=651017（2020贵阳）如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CFBE（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）连接ED，若AED90°，AB4，BE2，求四边形AEFD的面积【解析】见解析。【分析】（1）先根据矩形的性质得到ADBC，ADBC，然后证明ADEF可判断四边形AEFD是平行四边形；（2）连接DE，如图，先利用勾股定理计算出AE25，再证明ABEDEA，利用相似比求出AD，然后根据平行四边形的面积公式计算【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，BECF，BE+ECEC+EF，即BCEF，ADEF，四边形AEFD是平行四边形；（2）解：连接DE，如图，四边形ABCD是矩形，B90°，在RtABE中，AE=42+22=25，ADBC，AEBEAD，BAED90°，ABEDEA，AE：ADBE：AE，AD=25×252=10，四边形AEFD的面积AB×AD2×102018（2020遂宁）如图，在ABC中，ABAC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF（1）求证：BDEFAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形【答案】见解析。【解析】（1）根据平行线的性质得到AFEDBE，根据线段中点的定义得到AEDE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AFBD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到ADC90°，于是得到结论证明：（1）AFBC，AFEDBE，E是线段AD的中点，AEDE，AEFDEB，BDEFAE（AAS）；（2）BDEFAE，AFBD，D是线段BC的中点，BDCD，AFCD，AFCD，四边形ADCF是平行四边形，ABAC，ADBC，ADC90°，四边形ADCF为矩形19（2019湖南怀化）已知：如图，在ABCD中，AEBC，CFAD，E，F分别为垂足（1）求证：ABECDF；（2）求证：四边形AECF是矩形【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BD，ABCD，ADBC，AEBC，CFAD，AEBAECCFDAFC90°，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）；（2）证明：ADBC，EAFAEB90°，EAFAECAFC90°，四边形AECF是矩形