《中考课件初中数学总复习资料》专题37 二次函数问题（解析版）.docx

专题37 二次函数问题1.二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。2.二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的图像与性质yxO（1）对称轴：（2）顶点坐标：（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。3.二次函数的解析式三种形式（1）一般式 y=ax2 +bx+c(a0).已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。（3）交点式 .已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。4根据图像判断a,b,c的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。（2）b 对称轴与a 左同右异。（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）5二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a0）的根。抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。6函数平移规律：左加右减、上加下减.【例题1】（2020贵州黔西南）如图，抛物线yax2bx4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x，连接AC，AD，BC若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）A. 点B坐标为(5，4)B. ABADC. aD. OCOD16【答案】D【解析】由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知ACO=ACB，再结合平行线的性质可判断BAC=ACB，从而可知AB=AD；过点B作BEx轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OCOD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可解：因为抛物线yax2bx4交y轴于点A，所以A（0，4）因为对称轴为直线x，ABx轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意如答图，过点B作BEx轴于点E，则BE4，AB5因为ABx轴，所以BACACO因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以ACOACB，所以BACACB，所以BCAB5在RtBCE中，由勾股定理得EC3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x，所以D（3，0）在RtADO中，OA4，OD3，所以AD5，所以ABAD，选项B正确，不符合题意设yax2bx4a(x3)(x8)，将A（0，4）代入得4a(03)(08)，解得a，选项C正确，不符合题意因为OC8，OD3，所以OCOD24，选项D错误，符合题意，因此本题选D【点拨】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键【对点练习】（2020湖北天门模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a=0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正确的有（ ）A3个 B2个 C1个 D0个【答案】A【点拨】根据图象可得：a0，c0，对称轴：。它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），对称轴是x=1，。b+2a=0。故命题错误。a0，b0。又c0，abc0。故命题正确。b+2a=0，a2b+4c=a+2b4b+4c=4b+4c。ab+c=0，4a4b+4c=0。4b+4c=4a。a0，a2b+4c=4b+4c=4a0。故命题正确。根据图示知，当x=4时，y0，16a+4b+c0。由知，b=2a，8a+c0。故命题正确。正确的命题为：三个。故选A。【点拨】二次函数图象与系数的关系。【例题2】（2020无锡）二次函数yax23ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 【答案】（32，9）或（32，6）【分析】把点A（6，0）代入yax23ax+3得，036a18a+3，得到y=-16x2+12x+3，求得B（0，3），抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，设点M的坐标为：（32，m），当ABM90°，过B作BD对称轴于D，当MAB90°，根据三角函数的定义即可得到结论【解析】把点A（6，0）代入yax23ax+3得，036a18a+3，解得：a=-16，y=-16x2+12x+3，B（0，3），抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，设点M的坐标为：（32，m），当ABM90°，过B作BD对称轴于D，则123，tan2tan1=63=2，DMBD=2，DM3，M（32，6），当MAB90°，tan3=M'NAN=tan1=63=2，MN9，M（32，9），综上所述，点M的坐标为（32，9）或（32，6）【对点练习】已知抛物线y=ax23x+c（a0）经过点（2，4），则4a+c1= 【答案】-3【解析】二次函数图象上点的坐标特征将点（2，4）代入y=ax23x+c（a0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c1的值把点（2，4）代入y=ax23x+c，得4a+6+c=4，4a+c=2，4a+c1=3，故答案为3【例题3】（2020河南）如图，抛物线yx2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OAOB，点G为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围【答案】见解析。【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，即可求解【解析】（1）抛物线yx2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，点B（0，c），OAOBc，点A（c，0），0c2+2c+c，c3或0（舍去），抛物线解析式为：yx2+2x+3，yx2+2x+3（x1）2+4，顶点G为（1，4）；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，对称轴为直线x1，点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点M的横坐标为2或4，点N的横坐标为6，点M坐标为（2，5）或（4，5），点N坐标（6，21），点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，21yQ4【对点练习】如图，抛物线y=x2bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析。【解析】（1）由题意得，解得b=4，c=3，抛物线的解析式为y=x24x+3；（2）点A与点C关于x=2对称，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x24x+3与y轴的交点为（0，3），设直线BC的解析式为：y=kx+b，解得，k=1，b=3，直线BC的解析式为：y=x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）点P的交点坐标为：（2，1）【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键一、选择题1（2020鄂州）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C下列结论：abc0，2a+b0，4a2b+c0，3a+c0，其中正确的结论个数为（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系【解析】由抛物线的开口向上知a0，对称轴位于y轴的右侧，b0抛物线与y轴交于负半轴，c0，abc0；故错误；对称轴为x=-b2a1，得2ab，即2a+b0，故错误；如图，当x2时，y0，4a2b+c0，故正确；当x1时，y0，0ab+ca+2a+c3a+c，即3a+c0故正确综上所述，有2个结论正确2（2020株洲）二次函数yax2+bx+c，若ab0，ab20，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1x2，x1+x20，则（）Ay1y2By1y2Cy1y2Dy1、y2的大小无法确定【答案】B【分析】首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小【解析】ab20，b20，a0又ab0，b0，x1x2，x1+x20，x2x1，x10点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数yax2+bx+c的图象上，y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c=ax12-bx1+cy1y22bx10y1y23（2020襄阳）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：ac0；3a+c0；4acb20；当x1时，y随x的增大而减小其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可【解析】抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，a0，c0，ac0，结论正确；抛物线对称轴为直线x1，-b2a=1，b2a，抛物线经过点（1，0），ab+c0，a+2a+c0，即3a+c0，结论正确；抛物线与x轴由两个交点，b24ac0，即4acb20，结论正确；抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而减小，结论错误；4（2020广东）把函数y（x1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（）Ayx2+2By（x1）2+1Cy（x2）2+2Dy（x1）23【答案】C【分析】先求出y（x1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可【解析】二次函数y（x1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），所得的图象解析式为y（x2）2+25（2020菏泽）一次函数yacx+b与二次函数yax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A B C D【答案】B【分析】先由二二次函数yax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数yacx+b的图象相比较看是否一致【解析】A.由抛物线可知，a0，b0，c0，则ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误；B.由抛物线可知，a0，b0，c0，则ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项正确；C.由抛物线可知，a0，b0，c0，则ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误；D.由抛物线可知，a0，b0，c0，则ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误6（2020天津）已知抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0，c1）经过点（2，0），其对称轴是直线x=12有下列结论：abc0；关于x的方程ax2+bx+ca有两个不等的实数根；a-12其中，正确结论的个数是（）A0B1C2D3【答案】C【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴-b2a=12，ba，判断a，b与0的关系，得到abc0，即可判断；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断；根据抛物线yax2+bx+c经过点（2，0）以及ba，得到4a2a+c0，即可判断【解析】抛物线的对称轴为直线x=12，而点（2，0）关于直线x=12的对称点的坐标为（1，0），c1，抛物线开口向下，a0，抛物线对称轴为直线x=12，-b2a=12，ba0，abc0，故错误；抛物线开口向下，与x轴有两个交点，顶点在x轴的上方，a0，抛物线与直线ya有两个交点，关于x的方程ax2+bx+ca有两个不等的实数根；故正确；抛物线yax2+bx+c经过点（2，0），4a+2b+c0，ba，4a2a+c0，即2a+c0，2ac，c1，2a1，a-12，故正确，7（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线yx2（m1）x+m（m1）沿y轴向下平移3个单位则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可【解析】yx2（m1）x+m（x-m-12）2+m-(m-1)24，该抛物线顶点坐标是（m-12，m-(m-1)24），将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（m-12，m-(m-1)24-3），m1，m10，m-120，m-(m-1)24-3=4m-(m2-2m+1)-124=-(m-3)2-44=-(m-3)24-10，点（m-12，m-(m-1)24-3）在第四象限；8.（2019哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（ ）A BC D【答案】B【解析】将抛物线y2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y2（x2）2+3，故选B9.（2019年陕西省）已知抛物线，当时，且当时， y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】根据“当时，”，得到一个关于m不等式，在根据抛物线，可知抛物线开口向上，再在根据“当时， y的值随x值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，从而列出第二个关于m的不等式，两个不等式联立，即可解得答案因为抛物线，所以抛物线开口向上因为当时，所以 ，因为当时， y的值随x值的增大而减小，所以可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，所以，联立不等式，解得10.（2019广西梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是ABCD【答案】A【解析】关于的一元二次方程的解为，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，二次函数与轴交点坐标为，如图：当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；又，；，故选：A二、填空题11（2020南京）下列关于二次函数y（xm）2+m2+1（m为常数）的结论：该函数的图象与函数yx2的图象形状相同；该函数的图象一定经过点（0，1）；当x0时，y随x的增大而减小；该函数的图象的顶点在函数yx2+1的图象上其中所有正确结论的序号是 【答案】【分析】利用二次函数的性质一一判断即可【解析】二次函数y（xm）2+m+1（m为常数）与函数yx2的二次项系数相同，该函数的图象与函数yx2的图象形状相同，故结论正确；在函数y（xm）2+m2+1中，令x0，则ym2+m2+11，该函数的图象一定经过点（0，1），故结论正确；y（xm）2+m2+1，抛物线开口向下，对称轴为直线xm，当xm时，y随x的增大而减小，故结论错误；抛物线开口向下，当xm时，函数y有最大值m2+1，该函数的图象的顶点在函数yx2+1的图象上故结论正确.12（2020连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y0.2x2+1.5x2，则最佳加工时间为 min【答案】3.75【分析】根据二次函数的性质可得【解析】根据题意：y0.2x2+1.5x2，当x=-1.52×(-0.2)=3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min13（2020泰安）已知二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的y与x的部分对应值如下表：x54202y60646下列结论：a0；当x2时，函数最小值为6；若点（8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1y2；方程ax2+bx+c5有两个不相等的实数根其中，正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填上）【答案】【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可【解析】将（4，0）（0，4）（2，6）代入yax2+bx+c得，16a-4b+c=0c=-44a+2b+c=6，解得，a=1b=3c=-4，抛物线的关系式为yx2+3x4，a10，因此正确；对称轴为x=-32，即当x=-32时，函数的值最小，因此不正确；把（8，y1）（8，y2）代入关系式得，y16424436，y264+24484，因此正确；方程ax2+bx+c5，也就是x2+3x45，即方x2+3x+10，由b24ac9450可得x2+3x+10有两个不相等的实数根，因此正确；正确的结论有：14（2020哈尔滨）抛物线y3（x1）2+8的顶点坐标为 【答案】（1，8）【分析】已知抛物线顶点式ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k）【解析】抛物线y3（x1）2+8是顶点式，顶点坐标是（1，8）15（2020无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： 【答案】yx2（答案不唯一）【分析】根据形如yax2的二次函数的性质直接写出即可【解析】图象的对称轴是y轴，函数表达式yx2（答案不唯一），故答案为：yx2（答案不唯一）16（2020上海）如果将抛物线yx2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 【答案】yx2+3【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解【解析】抛物线yx2向上平移3个单位得到yx2+317（2020黔东南州）抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x1，则当y0时，x的取值范围是 【答案】3x1【分析】根据物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y0时，x的取值范围【解析】物线yax2+bx+c（a0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x1，抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y0时，x的取值范围是3x118（2020灌南县一模）二次函数yx22x+3的图象的顶点坐标为 【答案】（1，4）【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可【解析】yx22x+3（x2+2x+11）+3（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4）19.（2019黑龙江哈尔滨）二次函数的最大值是 【答案】8【解析】a10，y有最大值，当x6时，y有最大值8故答案为820.（2019江苏镇江）已知抛物线yax24ax4a1（a0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2a1的最小值是 【答案】【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB的长不大于4，求出a的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a2a1的最小值yax24ax4a1a(x2)21，该抛物线的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x2抛物线过点A(m，3)，B(n，3)两点，当y3时，a(x2)213，(x2)2，当a0时，x2±A(2，3)，B(2，3)AB2线段AB的长不大于4，24aa2a1(a)2，当a，(a2a1)min(a)221.（2019内蒙古赤峰）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；ab+c0；一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；当x1或x3时，y0上述结论中正确的是 （填上所有正确结论的序号）【答案】【解析】由图可知，对称轴x1，与x轴的一个交点为（3，0），b2a，与x轴另一个交点（1，0），a0，b0；错误；当x1时，y0，ab+c0；正确；一元二次方程ax2+bx+c+10可以看作函数yax2+bx+c与y1的交点，由图象可知函数yax2+bx+c与y1有两个不同的交点，一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；正确；由图象可知，y0时，x1或x3正确；故答案为三、解答题22（2020陕西）如图，抛物线yx2+bx+c经过点（3，12）和（2，3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点要使以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标【答案】见解析。【分析】（1）将点（3，12）和（2，3）代入抛物线表达式，即可求解；（2）由题意得：PDDE3时，以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可【解析】（1）将点（3，12）和（2，3）代入抛物线表达式得12=9+3b+c-3=4-2b+c，解得b=2c=-3，故抛物线的表达式为：yx2+2x3；（2）抛物线的对称轴为x1，令y0，则x3或1，令x0，则y3，故点A、B的坐标分别为（3，0）、（1，0）；点C（0，3），故OAOC3，PDEAOC90°，当PDDE3时，以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等，设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m（1）3，解得：m2，故n22+2×255，故点P（2，5），故点E（1，2）或（1，8）；当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（4，5），此时点E坐标同上，综上，点P的坐标为（2，5）或（4，5）；点E的坐标为（1，2）或（1，8）23（2020凉山州）如图，二次函数yax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQx轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标【答案】见解析。【分析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y=-3x+b，而OB中点的坐标为（34，34），将该点坐标代入CD表达式，即可求解；（3）过点P作y轴额平行线交CD于点H，PH=-3x+3-（233x2-233x）=-233x2-33x+3，即可求解【解析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得c=0a+b+c=032=94a+32b+c，解得a=-233b=-233c=0，故抛物线的表达式为：y=233x2-233x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y=-3x+b，而OB中点的坐标为（34，34），将该点坐标代入CD表达式并解得：b=3，故直线CD的表达式为：y=-3x+3；（3）设点P（x，233x2-233x），则点Q（x，-3x+3），则PQ=-3x+3-（233x2-233x）=-233x2-33x+3，-2330，故PQ有最大值，此时点P的坐标为（-14，27316）24（2020黑龙江）如图，已知二次函数yx2+（a+1）xa与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知BAC的面积是6（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使SABPSABC若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由【答案】见解析。【分析】（1）由yx2+（a+1）xa，令y0，即x2+（a+1）xa0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a3；（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标【解析】（1）yx2+（a+1）xa，令x0，则ya，C（0，a），令y0，即x2+（a+1）xa0解得x1a，x21由图象知：a0A（a，0），B（1，0）SABC612（1a）（a）6解得：a3，（a4舍去）；（2）a3，C（0，3），SABPSABCP点的纵坐标为±3，把y3代入yx22x+3得x22x+33，解得x0或x2，把y3代入yx22x+3得x22x+33，解得x1+7或x1-7，P点的坐标为（2，3）或（1+7，3）或（1-7，3）25（2020衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数yx2+px+q的图象过点（1，0），（2，0）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当2x1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y（2m）x+2m的图象与二次函数yx2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a3b，求m的取值范围【答案】见解析。【分析】（1）由二次函数的图象经过（1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x2，函数有最大值4；当x=12是函数有最小值-94，进而求得它们的差；（3）由题意得x2x2（2m）x+2m，整理得x2+（m3）x+m40，因为a2b，ab，（m3）24×（m4）（m5）20，把x3代入（2m）x+2mx2x2，解得m-12【解析】（1）由二次函数yx2+px+q的图象经过（1，0）和（2，0）两点，1-p+q=04+2p+q=0，解得p=-1q=-2，此二次函数的表达式yx2x2；（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1+22=12，在2x1范围内，当x2，函数有最大值为：y4+224；当x=12是函数有最小值：y=14-12-2=-94，的最大值与最小值的差为：4（-94）=254；（3）y（2m）x+2m与二次函数yx2x2图象交点的横坐标为a和b，x2x2（2m）x+2m，整理得x2+（m3）x+m40a3bab（m3）24×（m4）（m5）20m5a3b当x3时，（2m）x+2mx2x2，把x3代入（2m）x+2mx2x2，解得m-12m的取值范围为m-1226（2020甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数ykx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润【答案】见解析。【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）由销售该商品每周的利润w销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解【解析】（1）由题意可得：30=50k+b10=70k+b，k=-1b=80，答：k1，b80；（2）w（x40）y（x40）（x+80）（x60）2+400，当x60时，w有最大值为400元，答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元27（2020安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线yx+m经过点A，抛物线yax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点（1）判断点B是否在直线yx+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线yax2+bx+1，使其顶点仍在直线yx+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值【答案】见解析。【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线yx+m上；（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；（3）设平移后的抛物线为yx+px+q，其顶点坐标为（p2，p24+q），根据题意得出p24+q=p2+1，由抛物线yx+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=p24-p2-1=-14（p1）2+54，从而得出q的最大值【解析】（1）点B是在直线yx+m上，理由如下：直线yx+m经过点A（1，2），21+m，解得m1，直线为yx+1，把x2代入yx+1得y3，点B（2，3）在直线yx+m上；（2）直线yx+1与抛物线yax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，抛物线只能经过A、C两点，把A（1，2），C（2，1）代入yax2+bx+1得a+b+1=24a+2b+1=1，解得a1，b2；（3）由（2）知，抛物线为yx2+2x+1，设平移后的抛物线为yx+px+q，其顶点坐标为（p2，p24+q），顶点仍在直线yx+1上，p24+q=p2+1，q=p24-p2-1，抛物线yx+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，q=p24-p2-1=-14（p1）2+54，当p1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为5428（2020上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）抛物线yax2+bx（a0）经过点A（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线yax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线yax2+bx的顶点D位于AOB内，求a的取值范围【答案】见解析。【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；（2）设点C（m，-12m+5），则BC=52|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，25a），即可得出结论【解析】（1）针对于直线y=-12x+5，令x0，y5，B（0，5），令y0，则-12x+50，x