《中考课件初中数学总复习资料》专题44 构建方程的思想（解析版）.docx

专题44 构建方程的思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决方程思想在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活 1.利用勾股定理建立一元二次方程。2.利用三角形三边关系可建立不等式。3.利用圆的内接四边形内角和等于360°建立一元一次方程。4.利用绝对值、根式建立方程组。5.其它许多情况建立的方程、函数关系式等。【例题1】（2020内江）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF已知AB3，BC4，则EF的长为（）A3B5C5136D13【答案】C【解析】求出BD5，AEEM，ABME90°，证明EDMBDA，由相似三角形的性质得出EDBD=EMAB，设DEx，则AEEM4x，得出x5=4-x3，解得x=52，同理DNFDCB，得出DFBD=NFBC，设DFy，则CFNF3y，则y5=3-y4，解得y=53由勾股定理即可求出EF的长解：四边形ABCD是矩形，ABCD3，ADBC4，ACEDF90°，BD=AB2+AD2=32+42=5，将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，AEEM，ABME90°，EMD90°，EDMADB，EDMBDA，EDBD=EMAB，设DEx，则AEEM4x，x5=4-x3，解得x=52，DE=52，同理DNFDCB，DFBD=NFBC，设DFy，则CFNF3y，y5=3-y4，解得y=53DF=53EF=DE2+DF2=(52)2+(53)2=5136【对点练习】若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A6 B12 C16 D18【答案】B【解析】根据多边形的内角和，可得答案设多边形为n边形，由题意，得（n2）180°=150n，解得n=12【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，利用内角和公式是解题关键【例题2】（2020天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作EAF45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG若DF3，则BE的长为【答案】2【解析】根据旋转的性质可知，ADFABG，然后即可得到DFBG，DAFBAG，然后根据题目中的条件，可以得到EAGEAF，再根据DF3，AB6和勾股定理，可以得到DE的长，本题得以解决解：由题意可得，ADFABG，DFBG，DAFBAG，DAB90°，EAF45°，DAF+EAB45°，BAG+EAB45°，EAFEAG，在EAG和EAF中，AG=AFEAG=EAFAE=AE，EAGEAF（SAS），GEFE，设BEx，则GEBG+BE3+x，CE6x，EF3+x，CD6，DF3，CF3，C90°，（6x）2+32（3+x）2，解得，x2，即CE2【对点练习】如图，在圆内接四边形ABCD中，若A，B，C的度数之比为4：3：5，则D的度数是 °【答案】120【解析】A，B，C的度数之比为4：3：5，设A=4x，则B=3x，C=5x四边形ABCD是圆内接四边形，A+C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，B=3x=60°，D=180°60°=120°【例题3】（2020常德）如图，已知抛物线yax2过点A（3，94）（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2MAMB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标【答案】见解析。【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可（3）如图2中，设P（t，14t2），根据PDCD构建方程求出t即可解决问题【解析】（1）把点A（3，94）代入yax2，得到94=9a，a=14，抛物线的解析式为y=14x2（2）设直线l的解析式为ykx+b，则有94=-3k+b0=32k+b，解得k=-12b=34，直线l的解析式为y=-12x+34，令x0，得到y=34，C（0，34），由y=14x2y=-12x+34，解得x=1y=14或x=-3y=94，B（1，14），如图1中，过点A作AA1x轴于A1，过B作BB1x轴于B1，则BB1OCAA1，BMMC=MB1MO=32-132=13，MCMA=MOMA1=3232-(-3)=13，BMMC=MCMA，即MC2MAMB（3）如图2中，设P（t，14t2）OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，PDOC，PDOC，D（t，-12t+34），|14t2（-12t+34）|=34，整理得：t2+2t60或t2+2t0，解得t1-7或1+7或2或0（舍弃），P（1-7，2+72）或（1+7，2-72）或（2，1）【对点练习】（2019江苏徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？【答案】见解析。【解析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（302x）cm，宽为（202x）cm，高为xcm，依题意，得：2×（302x）+（202x）x200，整理，得：2x225x+500，解得：x1，x210当x10时，202x0，不合题意，舍去答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2一、选择题1（2020绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm则投影三角板的对应边长为（）A20cmB10cmC8cmD3.2cm【答案】A【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解【解析】设投影三角尺的对应边长为xcm，三角尺与投影三角尺相似，8：x2：5，解得x202（2019湖北黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB40m，点C是的中点，且CD10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A25mB24mC30mD60m【答案】A【解析】根据题意，可以推出ADBD20，若设半径为r，则ODr10，OBr，结合勾股定理可推出半径r的值OCAB，ADDB20m，在RtAOD中，OA2OD2+AD2，设半径为r得：r2（r10）2+202，解得：r25m，这段弯路的半径为25m【点拨】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度3（2019贵州贵阳）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（）A3B4.5C6D18【答案】C【解析】根据题意列方程即可得到结论数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，9a2a9，解得：a64. （2020桂林模拟）若|3x2y1|+=0，则x，y的值为（）ABCD【答案】D 【解析】根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案由题意可知：解得：故选：D二、填空题5（2020常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将DAE，DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF4，EG6，则DG的长为 【答案】12【解析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在RtBEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DGDADCx，GF4，EG6，AEEG6，CFGF4，BEx6，BFx4，EF6+410，如图1所示：在RtBEF中，由勾股定理得：BE2+BF2EF2，（x6）2+（x4）2102，x212x+36+x28x+16100，x210x240，（x+2）（x12）0，x12（舍），x212DG126（2020长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQMN，NE平分MNP，交PM于点E，交PQ于点F（1）PFPQ+PEPM= （2）若PN2PMMN，则MQNQ= 【解析】（1）1（2）5-12【分析】（1）证明PENQFN，得PEPN=QFQN，证明NPQPMQ，得PNMP=NQPQ，再×得PEPM=QFPQ，再变形比例式便可求得结果；（2）证明NPQNMP，得PN2NQMN，结合已知条件得PMNQ，再根据三角函数得MQNQ=PMMN，进而得MQ与NQ的方程，再解一元二次方程得答案【解析】（1）MN为O的直径，MPN90°，PQMN，PQNMPN90°，NE平分PNM，MNEPNE，PENQFN，PEQF=PNQN，即PEPN=QFQN，PNQ+NPQPNQ+PMQ90°，NPQPMQ，PQNPQM90°，NPQPMQ，PNMP=NQPQ，×得PEPM=QFPQ，QFPQPF，PEPM=QFPQ=1-PFPQ，PFPQ+PEPM=1，故答案为：1；（2）PNQMNP，NQPNPQ，NPQNMP，PNMN=QNPN，PN2QNMN，PN2PMMN，PMQN，MQNQ=MQPM，tanM=MQPM=PMMN，MQNQ=PMMN，MQNQ=NQMQ+NQ，NQ2MQ2+MQNQ，即1=MQ2NQ2+MQNQ，设MQNQ=x，则x2+x10，解得，x=5-12，或x=-5+120（舍去），MQNQ=5-12，故答案为：5-127（2020湘潭）若yx=37，则x-yx= 【解析】47【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可【解析】由yx=37可设y3k，x7k，k是非零整数，则x-yx=7k-3k7k=4k7k=478（2019宁夏）如图，AB是O的弦，OCAB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB2，则O的半径为 【答案】3【解析】连接OA，设半径为x，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，OC，OCAB，AC，OA2OC2AC2，解得，x39（2020毕节市模拟）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 L【答案】20【解析】设每次倒出液体xL，由题意得：40xx=10，解得：x=60（舍去）或x=20答：每次倒出20升【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程10.（2020衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=kx（x0）的图象恰好经过点F，M若直尺的宽CD3，三角板的斜边FG83，则k 【答案】403【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可【解析】过点M作MNAD，垂足为N，则MNCD3，在RtFMN中，MFN30°，FN=3MN33，ANMB83-33=53，设OAx，则OBx+3，F（x，83），M（x+3，53），83x（x+3）×53，解得，x5，F（5，83），k5×83=403故答案为：40311一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时【答案】【解析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQBC，BAQ=60°，CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可如图所示：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，在直角三角形ABQ中，BAQ=60°，B=90°60°=30°，AQ=AB=40，BQ=AQ=40，在直角三角形AQC中，CAQ=45°，CQ=AQ=40，BC=40+40=3x，解得：x=即该船行驶的速度为海里/时；【点拨】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键12.（2019湖北天门）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 【答案】100【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20x），Sx（20x）x2+20x（x10）2+100，当x10时，S最大值为100故答案为100三、解答题13（2020天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC测得BC221m，ACB45°，ABC58°根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）参考数据：sin58°0.85，cos58°0.53，tan58°1.60【答案】见解析。【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可【解析】如图，过点A作ADBC，垂足为D，ACB45°，ADCD，设ABx，在RtADB中，ADABsin58°0.85x，BDABcos58°0.53x，又BC221，即CD+BD221，0.85x+0.53x221，解得，x160，答：AB的长约为160m14（2020武威）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且MAN45°把ADN绕点A顺时针旋转90°得到ABE（1）求证：AEMANM（2）若BM3，DN2，求正方形ABCD的边长【答案】见解析。【解析】（1）想办法证明MAEMAN45°，根据SAS证明三角形全等即可（2）设CDBCx，则CMx3，CNx2，在RtMCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题（1）证明：ADNABE，DANBAE，DNBE，DAB90°，MAN45°，MAEBAE+BAMDAN+BAM45°，MAEMAN，MAMA，AEMANM（SAS）（2）解：设CDBCx，则CMx3，CNx2，AEMANM，EMMN，BEDN，MNBM+DN5，C90°，MN2CM2+CN2，25（x2）2+（x3）2，解得，x6或1（舍弃），正方形ABCD的边长为615（2020长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F（1）求证：ABFFCE；（2）若AB23，AD4，求EC的长；（3）若AEDE2EC，记BAF，FAE，求tan+tan的值【解析】见解析。【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可（2）设ECx，证明ABFFCE，可得ABCF=BFEC，由此即可解决问题（3）首先证明tan+tan=BFAB+EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=BCAB，设ABCDa，BCADb，DEx，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，BCD90°，由翻折可知，DAFE90°，AFB+EFC90°，EFC+CEF90°，AFBFEC，ABFFCE（2）设ECx，由翻折可知，ADAF4，BF=AF2-AB2=16-12=2，CFBCBF2，ABFFCE，ABCF=BFEC，232=2x，x=233，EC=233（3）ABFFCE，AFEF=ABCF，tan+tan=BFAB+EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=BCAB，设ABCDa，BCADb，DEx，AEDE+2CEx+2（ax）2ax，ADAFb，DEEFx，BCD90°，BF=b2-a2，CF=x2-(a-x)2=2ax-a2，AD2+DE2AE2，b2+x2（2ax）2，a2ax=14b2，ABFFCE，ABCF=BFEC，ax2-(a-x)2=b2-a2a-x，a2ax=b2-a22ax-a2，14b2=b2-a2a2-12b2，整理得，16a424a2b2+9b40，（4a23b2）20，ba=233，tan+tan=BCAB=23316（2020广元）在RtABC中，ACB90°，OA平分BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D（1）如图1，求证：AB为O的切线；（2）如图2，AB与O相切于点E，连接CE交OA于点F试判断线段OA与CE的关系，并说明理由若OF：FC1：2，OC3，求tanB的值【答案】见解析。【分析】（1）过点O作OGAB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OGOC，即可证明；（2）利用切线长定理，证明OEOC，结合OEOC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；根据OF：FC1：2，OC3求出OF和CF，再证明OCFOAC，求出AC，再证明BEOBCA，得到BEBC=OEAC=BOAB，设BOx，BEy，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果【解析】（1）如图，过点O作OGAB，垂足为G，OA平分BAC交BC于点O，OGOC，点G在O上，即AB与O相切；（2）OA垂直平分CE，理由是：连接OE，AB与O相切于点E，AC与O相切于点C，AEAC，OEOC，OA垂直平分CE；OF：FC1：2，OC3，则FC2OF，在OCF中，OF2+（2OF）232，解得：OF=355，则CF=655，由得：OACE，则OCF+COF90°，又OCF+ACF90°，COFACF，而CFOACO90°，OCFOAC，OCOA=OFOC=CFAC，即3OA=3553=655AC，解得：AC6，AB与圆O切于点E，BEO90°，ACAE6，而BB，BEOBCA，BEBC=OEAC=BOAB，设BOx，BEy，则y3+x=36=xy+6，可得：6y=9+3x6x=3y+18，解得：x=5y=4，即BO5，BE4，tanB=OEBE=3417某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为 元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？【答案】见解析。【解析】（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元故答案为240（2）3600÷240=15，3600÷150=24，收费标准在BC段，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得，y=6x+300，由题意（6x+300）x=3600，解得x=20或30（舍弃）答：参加这次旅游的人数是20人18.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，EAC=130°，求水坝原来的高度BC（参考数据：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.2）【答案】见解析。【解析】设BC=x米，在RtABC中，CAB=180°EAC=50°，AB=x，在RtEBD中，i=DB：EB=1：1，BD=BE，CD+BC=AE+AB，即2+x=4+x，解得x=12，即BC=12，答：水坝原来的高度为12米【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般19（2019辽宁本溪）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，O是DEF的外接圆，连接DP（1）求证：DP是O的切线；（2）若tanPDC，正方形ABCD的边长为4，求O的半径和线段OP的长【答案】见解析。【解析】（1）连接OD，正方形ABCD中，CDBC，CPCP，DCPBCP45°，CDPCBP（SAS），CDPCBP，BCD90°，CBP+BEC90°，ODOE，ODEOED，OEDBEC，BECOEDODE，CDP+ODE90°，ODP90°，DP是O的切线；（2）CDPCBE，tan，CE，DE2，EDF90°，EF是O的直径，F+DEF90°，FCDP，在RtDEF中，DF4，2，FPDE，DPEFPD，DPEFPD，设PEx，则PD2x，解得x，OPOE+EP