弹性力学 第四章PPT讲稿.ppt
弹性力学 第四章第1页，共41页，编辑于2022年，星期日复习复习典型轴对称问题解法：典型轴对称问题解法：（1）圆环或圆筒受均布压力边界条件：位移单值条件B=0第2页，共41页，编辑于2022年，星期日（2）压力隧洞rr rRRRr r六个条件位移单值条件光滑接触边界条件第3页，共41页，编辑于2022年，星期日工程结构中常开设孔口，最简单的为圆孔。工程结构中常开设孔口，最简单的为圆孔。本节研究本节研究小孔口问题小孔口问题，应符合，应符合:（1）孔口尺寸弹性体尺寸，）孔口尺寸弹性体尺寸，故孔口引起的应力扰动局限于小范围内。故孔口引起的应力扰动局限于小范围内。（2）孔边距边界较远（）孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）倍孔口尺寸）孔口与边界不相互干扰。孔口与边界不相互干扰。48 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中第4页，共41页，编辑于2022年，星期日当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。第5页，共41页，编辑于2022年，星期日1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图，图(a)。将外边界改造成为圆边界，作圆将外边界改造成为圆边界，作圆 则圆边界上点的应力与无孔时相同，即则圆边界上点的应力与无孔时相同，即A A的直角坐标应力：的直角坐标应力：由直角坐标到极坐标的转换公由直角坐标到极坐标的转换公式，得式，得A点的极坐标应力点的极坐标应力第6页，共41页，编辑于2022年，星期日yxjrq令令q1=0,q2=-q，且取且取 r/R=0有有问题简化为：问题简化为：第7页，共41页，编辑于2022年，星期日2.左右受左右受q拉，上下受拉，上下受q压压 对三角形单元体有对三角形单元体有由公式由公式(4-7)，有，有A点点(圆周圆周)的应力的应力(边边界条件界条件)应力分量应力分量推测推测第8页，共41页，编辑于2022年，星期日将函数将函数带入相容方程带入相容方程可得：可得：即：即：做做Euler变换：变换：第9页，共41页，编辑于2022年，星期日写出特征方程写出特征方程一实根一实根r对应解的一项：对应解的一项：一对相等的实根一对相等的实根r对应解的两项：对应解的两项：一对共轭复根一对共轭复根 对应解的两项：对应解的两项：第10页，共41页，编辑于2022年，星期日得应力分量：得应力分量：代入代入得应力函数得应力函数代入代入(4-5)第11页，共41页，编辑于2022年，星期日求得系数求得系数边界条件：边界条件：第12页，共41页，编辑于2022年，星期日将将A、B、C、D带入式，得带入式，得:(418)3.左右受左右受q1拉，上下受拉，上下受q2拉拉 第13页，共41页，编辑于2022年，星期日第14页，共41页，编辑于2022年，星期日特例：单向受拉板（长柱体）特例：单向受拉板（长柱体）令令q1=q,q2=0 基尔斯（基尔斯（G.Kirsch）解解第15页，共41页，编辑于2022年，星期日讨论：讨论：（1 1）孔边应力，）孔边应力，最大应力最大应力 3 3q，最小应力，最小应力-q。第16页，共41页，编辑于2022年，星期日（2)2)y 轴轴 上应力，上应力，可见，距孔边可见，距孔边1.5D1.5D处处 ，由于，由于孔口引起的应力扰动孔口引起的应力扰动5%5%。第17页，共41页，编辑于2022年，星期日（3）x 轴 上应力，同样，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力扰动远处的应力，孔口附近应力无孔时的应力。（2）局部性应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般5%。第19页，共41页，编辑于2022年，星期日（3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。因此，工程上应尽量避免接因此，工程上应尽量避免接近直角的凹角出现。近直角的凹角出现。如正方孔 的角点，角点曲率半径角点曲率半径第20页，共41页，编辑于2022年，星期日5.5.一般小孔口问题的分析：一般小孔口问题的分析：45相应于孔中心的应力相应于孔中心的应力 45孔附近应力孔附近应力附近应力附近应力主应力主应力第21页，共41页，编辑于2022年，星期日任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一作用，在距边界较远处有一小孔，只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力小孔，只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力 （1）假设无孔，求出结构在孔心处的）假设无孔，求出结构在孔心处的 、。（2）求出孔心处主应力）求出孔心处主应力（3）在远处的均匀应力场）在远处的均匀应力场 作用下，求作用下，求 出孔口附近的应力。出孔口附近的应力。注：以上近似方法虽然并非严格的力学推导，但实验证实是可行的。注：以上近似方法虽然并非严格的力学推导，但实验证实是可行的。第22页，共41页，编辑于2022年，星期日例：在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量例：在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量s sx=s sy=0,t txy=q,如果如果该处有一个小圆孔，试求孔边的最大正应力。该处有一个小圆孔，试求孔边的最大正应力。解：该点的两个主应力为：解：该点的两个主应力为：则该问题可转化为：则该问题可转化为：第23页，共41页，编辑于2022年，星期日由由4-18式式:孔边只有环向正应力孔边只有环向正应力第24页，共41页，编辑于2022年，星期日在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量s sx=s sy=t txy=q,如果该处有一个小圆孔，试求孔边的最如果该处有一个小圆孔，试求孔边的最大正应力。大正应力。解：该点的两个主应力为：解：该点的两个主应力为：则该问题可转化为：则该问题可转化为：第25页，共41页，编辑于2022年，星期日由基尔斯（由基尔斯（G.Kirsch）解答得：）解答得：孔边只有环向正应力孔边只有环向正应力第26页，共41页，编辑于2022年，星期日4-9 4-9 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力1.应力函数和应力应力函数和应力采用半逆解法采用半逆解法如图所示，无限大半平面体，如图所示，无限大半平面体，在其边界上受集中力在其边界上受集中力F（实际为（实际为沿厚度方向的分布力，单位是沿厚度方向的分布力，单位是N/m，量纲为，量纲为MT-2）。求其应力）。求其应力和位移。和位移。用量纲分析法，由于用量纲分析法，由于F的量纲为的量纲为MT-2，应力的量纲为，应力的量纲为L-1MT-2，r r为为长度量纲长度量纲,b b、j j无量纲，因此应力可能取为无量纲，因此应力可能取为F/r r乘以乘以j j 的某一函数的形的某一函数的形式。式。Fxyo第27页，共41页，编辑于2022年，星期日代入相容方程：代入相容方程：解得：解得：第28页，共41页，编辑于2022年，星期日由于由于 不影响应力，可以略去。不影响应力，可以略去。所以取：所以取：对应的应力为：对应的应力为：第29页，共41页，编辑于2022年，星期日应力边界条件为：xbFy显然满足。第30页，共41页，编辑于2022年，星期日xbFy由圣维南原理，在原点附近应有：应力的合力等于F。为此如图绕P点作任意小半径r的半圆，则：第31页，共41页，编辑于2022年，星期日由此解得：应力分量得解答为：第32页，共41页，编辑于2022年，星期日利用极坐标与直角坐标的应力转换式（利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得），可求得（4-23）或将其改为直角坐标表或将其改为直角坐标表示，有示，有（4-24）第33页，共41页，编辑于2022年，星期日代入物理方程：当F垂直作用时：2.竖直力作用下的位移竖直力作用下的位移FxyO第34页，共41页，编辑于2022年，星期日再代入几何方程：(a)(b)(c)第35页，共41页，编辑于2022年，星期日积分式（积分式（a）得，）得，(d)将式（将式（d）代入式（）代入式（b），有），有积分上式，得积分上式，得(e)第36页，共41页，编辑于2022年，星期日将式（将式（d）(e)代入式（代入式（c）得，得，(d)(e)(c)第37页，共41页，编辑于2022年，星期日要使上式成立，须有：要使上式成立，须有：以上方程求解参见以上方程求解参见4-54-5第38页，共41页，编辑于2022年，星期日可解得：第39页，共41页，编辑于2022年，星期日由于问题的对称性，所以有：由于问题的对称性，所以有：可得：可得：即即H=K=0所以位移解答为：所以位移解答为：其中的其中的I无法再由边界条件确定，它实际上代表的是无法再由边界条件确定，它实际上代表的是物体的刚体位移。物体的刚体位移。FxyO第40页，共41页，编辑于2022年，星期日3.3.边界沉陷计算边界沉陷计算FxyOrM任意任意M点的下沉量：点的下沉量：Bs由于常数由于常数 I 无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界上取一基准点上取一基准点B，如图所示。，如图所示。M点相对于基准点点相对于基准点B的沉陷为的沉陷为:第41页，共41页，编辑于2022年，星期日
