北师大版九年级数学（上）6.3 反比例函数的应用常考题及答案解析.docx

6.3 反比例函数的应用常考题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 小明乘车从家到学校行车的速度v(km/)和行车时间t()之间的函数图象是(    )A. B. C. D. 2. 某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数：p=mV，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是(    )A. B. C. D. 3. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t()与行驶速度v(km/)满足函数关系：t=kv，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5)，若行驶速度不得超过60(km/)，则汽车通过该路段最少需要时间为(    )A. 23分B. 40分C. 60分D. 2003分4. 小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力×阻力臂=动力×动力臂.现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数图象大致是(    )A. B. C. D. 5. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)与气体体积V(m3)之间的函数关系如图所示，当气球的体积是1m3，气球内的气压是kPa(    )A. 96B. 150C. 120D. 646. 已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U=IR(或者I=UR)，实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是(    )A. B. C. D. 7. 某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是(    )A. 4月份的利润为45万元B. 改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C. 改造完成前后共有5个月的利润低于135万元D. 9月份该企业利润达到205万元8. 如图，点A、B为直线y=x上的两点，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=1x(x>0)于点C、D两点若BD=2AC，则4OC2OD2的值为(    )A. 5B. 6C. 7D. 89. 如图，A、B是函数y=6x上两点，P为一动点，作PB/y轴，PA/x轴，下列说法正确的是(    )AOPBOP；SAOP=SBOP；若OA=OB，则OP平分AOB；若SBOP=2，则SABP=8A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y=kx(k<0)经过C、E两点，若平行四边形ABOC的面积为10，则k的值是(    )A. 52B. 103C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)成反比例函数关系，图象如图所示，则这个反比例函数解析式为_ 12. 一菱形的面积为12cm2，它的两条对角线长分别acm，bcm，则a与b之间的函数关系为a=_；这个函数的图象位于第_象限13. 在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示，点P(4,3)在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是           m.14. 如图，点A是双曲线y=9x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=kx上运动，则k的值为          15. 如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=kx(k0)与ABC有交点，则k的取值范围是_ 三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. (本小题8.0分)泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y()与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y()与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是20，降温过程中水温不低于20(1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：(2)从水壶中的水烧开(100)降到90就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？17. (本小题8.0分)某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如下图所示：(1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；(2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？(3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F在什么范围内？18. (本小题8.0分)如图，一次函数y=x2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=3x(x<0)的图象交于点B(1)求点B的坐标；(2)点C是线段AB上一点(不与点A、B重合)，若ACBC=12，求点C的坐标19. (本小题8.0分)某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P(件)由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x(元/件，x20)成反比例，销售过程中得到的部分数据如下： 售价x810销售数量P7058(1)求P与x之间的函数关系式；(2)当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；(3)设销售总额为W，求W的最大值20. (本小题8.0分)如图，直线AB与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为(6,1)，AOB的面积为8(1)填空：反比例函数的关系式为_；(2)求直线AB的函数关系式；(3)动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标答案和解析1.【答案】B 【解析】解：小明从家到学校路程固定，设为S，根据题意得：v=st(t>0)，v是t的反比例函数，故选：B根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v=st，则v是t的反比例函数，且t>0本题是一道反比例函数的实际应用题，注：在路程不变的条件下，v是t的反比例函数2.【答案】B 【解析】解：气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数：p=mV(V,p都大于零)，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：故选：B直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键3.【答案】B 【解析】解：由题意得，函数经过点(40,1)，把(40,1)代入t=kv，得k=40，则解析式为t=40v，再把(m,0.5)代入t=40v，得m=80；把v=60代入t=40v，得t=23，23小时=40分钟，则汽车通过该路段最少需要40分钟；故选：B把点A(40,1)代入t=kv，求得k的值，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值，然后把v=60代入t=40v，求出t的值即可此题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，注意要把小时化成分钟4.【答案】A 【解析】解：阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数解析式为：2400×1=Fl，则F=2400l，是反比例函数，A选项符合，故选：A直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键5.【答案】A 【解析】解：设球内气体的气压p(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为p=kV，图象过点(0.8,120)k=96，即气压p(kPa)与气体体积V(m3)之间的函数关系为p=96V，当V=1时，p=96故选：A根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，且过点(0.8,120)，代入解析式即可得到结论本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式6.【答案】A 【解析】解：当U一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为I=UR，I与R反比例函数关系，但R不能小于0，所以图象A不可能，B可能；当R一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U=IR，U和I成正比例函数关系，所以C、D均有可能，故选：A分不同的已知量分别讨论后即可确定符合题意的选项本题考查了反比例函数的图象，正比例函数的图象，解题的关键是能够根据不同的定值确定函数关系类型，难度不大7.【答案】D 【解析】解：A、设反比例函数的解析式为y=kx，把(1,180)代入得，k=180，反比例函数的解析式为：y=180x，当x=4时，y=45，4月份的利润为45万元，故此选项正确，不合题意；B、治污改造完成后，从4月到5月，利润从45万到75万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；C、当y=135时，则135=180x，解得：x=43，设一次函数解析式为：y=kx+b，则4k+b=455k+b=75，解得：k=30b=75，故一次函数解析式为：y=30x75，当x=6时，y=105，当x=7时，y=135，则只有2月，3月，4月，5月，6月共5个月的利润低于135万元，故此选项正确，不符合题意D、设一次函数解析式为：y=kx+b，则4k+b=455k+b=75，解得：k=30b=75，故一次函数解析式为：y=30x75，故y=205时，205=30x75，解得：x=283，则9月份之后该厂利润达到205万元，故此选项不正确，符合题意故选：D直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键8.【答案】B 【解析】解：延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y=x上的两点，A的坐标是(a,a)，B的坐标是(b,b).则AE=OE=a，BF=OF=bC、D两点在交双曲线y=1x(x>0)上，则CE=1a，DF=1bBD=BFDF=b1b，AC=a1a又BD=2ACb1b=2(a1a)，两边平方得：b2+1b22=4(a2+1a22)，即b2+1b2=4(a2+1a2)6在直角OCE中，OC2=OE2+CE2=a2+1a2，同理OD2=b2+1b2，4OC20D2=4(a2+1a2)(b2+1b2)=6故选：B延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F.设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y=x上的两点，A的坐标是(a,a)，B的坐标是(b,b).则AE=OE=a，BF=OF=b.根据BD=2AC即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用BD=2AC得到a，b的关系是关键9.【答案】B 【解析】解：点P是动点，BP与AP不一定相等，BOP与AOP不一定全等，故不正确；设P(m,n)，BP/y轴，B(m,6m)，BP=|6mn|，SBOP=12×|6mn|×|m|=|312mn|，PA/x轴，A(6n,n)AP=|6nm|，SAOP=12×|6nm|×|n|=|312mn|，SAOP=SBOP，正确；如图1，作PEOB于E，PFOA于F，SAOP=SBOP，OA=OB，PE=PF，PE=PF，PEOB，PFOA，OP平分AOB，正确；如图2，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，AMy轴，BNx轴，又MON=90°，四边形OMPN是矩形，点A，B在双曲线y=6x上，SAMO=SBNO=3，SBOP=2，SPMO=SPNO=1，S矩形OMPN=2，mn=2，m=2n，BP=|6mn|=|3nn|=2|n|，AP=|6nm|=|4n|，SABP=12×2|n|×|4n|=4，错误；故选：B根据点P是动点，得到BP与AP不一定相等，判断出错误；设出点P的坐标，得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出正确；利用角平分线定理的逆定理判断出正确；求出矩形OMPN=2，进而得出mn=2，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解本题的关键10.【答案】B 【解析】解：设E的坐标是(m,n)，则mn=k，平行四边形ABOC中E是OA的中点，A的坐标是：(2m,2n)，C的纵坐标是2n，把y=2n代入y=kx得：x=k2n，即C的横坐标是：k2nOB=AC=k2n2m，OB边上的高是2n，(k2n2m)2n=10，即k4mn=10，k4k=10，解得：k=103故选：B设E的坐标是(m,n)，则mn=k，平行四边形ABOC中E是OA的中点，则A的坐标是：(2m,2n)，C的纵坐标是2n，表示出C的横坐标，则可以得到AC即OB的长，然后根据平行四边形的面积公式即可求得k的值本题是平行四边形与反比例函数的综合应用，根据E点的坐标表示出AC的长度是关键11.【答案】I=48R 【解析】解：由图象经过(8,6)，则IR=48，即I=48R故答案为：I=48R直接利用反比例函数解析式求法得出答案此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出IR之间的关系是解题关键12.【答案】24b  一 【解析】解：由菱形的面积公式得ab=24，则a=24b，a>0，b>0，这个函数的图象位于第一象限故答案为，一菱形的面积=对角线乘积的一半，列出关系式，写出a与b的函数关系式，根据变量的取值，确定函数所在的象限本题先根据反比例函数的性质求出图象两分支所在象限，再根据自变量的取值范围舍掉一个分支13.【答案】1.2 【解析】解：设函数的表达式为F=ks，将点P的坐标代入上式得：3=k4，解得k=12，则反比例函数表达式为F=12s，当F=10时，即F=12s=10，解得s=1.2(m)，故答案为：1.2利用点P的坐标求出F=12s，当F=10时，即F=12s=10，求出s，即可求解本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征14.【答案】3 【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定与性质，得出AODOCE是解题关键连接CO，过点A作ADx轴于点D，过点C作CEx轴于点E，证明AODOCE，根据相似三角形的性质求出AOD和OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出SAOD，得到SEOC，求出k的值【解答】解：连接CO，过点A作ADx轴于点D，过点C作CEx轴于点E，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB=120°，COAB，CAB=30°，则AOD+COE=90°，DAO+AOD=90°，DAO=COE，又ADO=CEO=90°，AODOCE，ADEO=ODCE=OAOC，在直角三角形AOC中，CAO=30°，AC=2OC，OA=3OC，即OAOC=3，SAODSEOC=(3)2=3，点A是双曲线y=9x在第二象限分支上的一个动点，SAOD=12|xy|=92，SEOC=32，即12×OE×CE=32，k=OE×CE=3，故答案为3  15.【答案】1k4 【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题注意等腰直角三角形的特殊性，根据双曲线上点的坐标特点求解设直线y=x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，则A(1,1)，而AB=AC=2，则B(3,1)，C(1,3)，ABC为等腰直角三角形，E为BC的中点，求E点坐标，当双曲线与ABC有唯一交点时，这个交点分别为A、E，由此可求k的取值范围【解答】解：如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，EF交AB于M，A点的横坐标为1，A点在直线y=x上，A(1,1)，又AB=AC=2，AB/x轴，AC/y轴，B(3,1)，C(1,3)，且ABC为等腰直角三角形，BC的中点坐标为(3+12,1+32)，即为(2,2)，点(2,2)满足直线y=x，点(2,2)即为E点坐标，E点坐标为(2,2)，k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4，当双曲线与ABC有交点时，1k4故答案为：1k4  16.【答案】解：(1)停止加热时，设y=kx，由题意得：50=k18，解得：k=900，y=900x，当y=100时，解得：x=9，C点坐标为(9,100)，B点坐标为(8,100)，当加热烧水时，设y=ax+20，由题意得：B点得坐标是(8,100)，代入上式得100=8a+20，解得：a=10，当加热烧水，函数关系式为y=10x+20(0x8)；当停止加热，得y与x的函数关系式为(1)y=100(8<x9)；y=900x(9<x45)；(2)把y=90代入y=900x，得x=10，因此从烧水开到泡茶需要等待108=2分钟 【解析】本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大(1)将D点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；(2)将y=90代入反比例函数的解析式，从而求得答案17.【答案】解：(1)设v与F之间的函数关系式为v=PF，把(3000,20)代入v=PF得，P=60000，这辆汽车的功率是60000瓦；这一函数的表达式为：v=60000F；(2)把F=1200牛代入v=60000F=600001200=50(米/秒)；v的速度是3600×50÷1000=180千米/时，(3)把v30代入v=60000F得：F2000(牛)，F2000牛 【解析】(1)设v与F之间的函数关系式为v=PF，把(3000,20)代入即可；(2)当F=1200牛时，求出v即可；(3)计算出v=30时的F值，F不小于这个值即可现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式18.【答案】解：(1)一次函数y=x2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=3x(x<0)的图象交于点By=x2y=3x，解得x1=3y1=1，x2=1y2=3，x<0，B(3,1)；(2)如图，过点C，B分别作CD，BE垂直y轴于点D，E，CD/BE，ACD=ABE，ADC=AEB，ACDABE，ACAB=CDBE，ACBC=12，ACAB=13，CDBE=ACAB=13，由(1)得：BE=3，CD=1，点C是线段AB上一点(不与点A、B重合)，点C的横坐标为1，将其代入直线y=x2得：y=1，C(1,1) 【解析】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数与方程的关系，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键(1)联立方程组并解方程组可得答案；(2)过点C，B分别作CD，BE垂直y轴于点D，E，利用ACDABE，求得CD=1，从而解决问题19.【答案】解：(1)由题意得：P=a+bx，将表格数据(8,70)、(10,58)代入上式得：P=10+480x，答：P关于x的函数关系式为P=10+480x；(2)由题意得：P=10+480x=50，解之得：x=12，经检验，x=12是原方程的根，该商品销售数量为50件时，每件商品的售价为12元(3)W=x(10+480x)=10x+480，当x=20，W最大，最大值为680元 【解析】(1)设P=a+bx，将(8,70)、(10,58)代入求解可得；(2)求出P=50时x的值即可得；(3)根据月销售额W=x(10+480x)=10x+480且x20可得本题主要主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式20.【答案】(1)y=6x;(2)过点A作ACx轴于点C，过B作BDy轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B(m,n)，mn=6，BE=DEBD=6m，AE=CEAC=n1，SABE=12AEBE=12(n1)(6m)，A、B两点均在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，SBOD=SAOC=12×6×1=3，SAOB=S矩形ODECSAOCSBODSABE=6n3312(n1)(6m)=3n12m，AOB的面积为8，3n12m=8，m=6n16，mn=6，3n28n3=0，解得：n=3或13(舍)，m=2，B(2,3)，设直线AB的解析式为：y=kx+b，则6k+b=12k+b=3，解得：k=12b=4，直线AB的解析式为：y=12x+4；(3)如图，根据“三角形两这边之差小于第三边可知：当点P为直线AB与y轴的交点时，PAPB有最大值是AB，把x=0代入y=12x+4中，得：y=4，P(0,4) 【解析】解：(1)解：(1)将点A坐标(6,1)代入反比例函数解析式y=kx，得k=1×6=6，则y=6x，故答案为：y=6x；(2)见答案；(3)见答案(1)将点A坐标(6,1)代入反比例函数解析式y=kx，求出k的值即可；(2)过点A作ACx轴于点C，过B作BDy轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B(m,n)，根据AOB的面积为8，得3n12m=8，得方程3n28n3=0，解出可得B的坐标，利用待定系数法可得AB的解析式；(3)如图，根据“三角形两这边之差小于第三边可知：当点P为直线AB与y轴的交点时，PAPB有最大值是AB，可解答本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，难度适中，利用数形结合是解题的关键