第十四讲 第六章能量法精选PPT.ppt
第十四讲 第六章能量法第1页，此课件共16页哦 设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给结构一个肯发生的设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给结构一个肯发生的设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给结构一个肯发生的设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给结构一个肯发生的位移即虚位移，则外力对虚位移所做的功必等于结构因变形获得的位移即虚位移，则外力对虚位移所做的功必等于结构因变形获得的位移即虚位移，则外力对虚位移所做的功必等于结构因变形获得的位移即虚位移，则外力对虚位移所做的功必等于结构因变形获得的虚应变能，称为虚位移原理。虚应变能，称为虚位移原理。虚应变能，称为虚位移原理。虚应变能，称为虚位移原理。（证明部分自习）（证明部分自习）（证明部分自习）（证明部分自习）ExitNextPre 虚功虚功虚功虚功原理原理原理原理 “虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理”“虚力原理虚力原理虚力原理虚力原理”一组真实力系在任意满足变形协调条件的虚位一组真实力系在任意满足变形协调条件的虚位一组真实力系在任意满足变形协调条件的虚位一组真实力系在任意满足变形协调条件的虚位移过程中作功的情况，等价于移过程中作功的情况，等价于移过程中作功的情况，等价于移过程中作功的情况，等价于结构的平衡条件结构的平衡条件结构的平衡条件结构的平衡条件 任一组满足平衡条件的虚力系在真实位移任一组满足平衡条件的虚力系在真实位移任一组满足平衡条件的虚力系在真实位移任一组满足平衡条件的虚力系在真实位移过程中的作功情况过程中的作功情况过程中的作功情况过程中的作功情况,等价于等价于等价于等价于变形协调条件变形协调条件变形协调条件变形协调条件或或或或6-3 6-3 6-3 6-3 虚功原理虚功原理1、虚位移原理、虚位移原理第2页，此课件共16页哦 设结构在外力作用下处于平衡状态设结构在外力作用下处于平衡状态设结构在外力作用下处于平衡状态设结构在外力作用下处于平衡状态,如果给外力一个如果给外力一个如果给外力一个如果给外力一个破坏静力平衡条件及静力边界条件的虚变化，并且由此破坏静力平衡条件及静力边界条件的虚变化，并且由此破坏静力平衡条件及静力边界条件的虚变化，并且由此破坏静力平衡条件及静力边界条件的虚变化，并且由此虚力产生的变形是协调的虚力产生的变形是协调的虚力产生的变形是协调的虚力产生的变形是协调的,则外力的虚余功必等于结构的则外力的虚余功必等于结构的则外力的虚余功必等于结构的则外力的虚余功必等于结构的虚余能虚余能虚余能虚余能,这就是虚力原理。这就是虚力原理。这就是虚力原理。这就是虚力原理。ExitNextPre或或或或2、虚力原理、虚力原理第3页，此课件共16页哦 虚位移原理中要求虚设一个可能位移，与真实力系发生关系；虚虚位移原理中要求虚设一个可能位移，与真实力系发生关系；虚虚位移原理中要求虚设一个可能位移，与真实力系发生关系；虚虚位移原理中要求虚设一个可能位移，与真实力系发生关系；虚力原理要求虚设一个可能力系与真实变形发生关系。力原理要求虚设一个可能力系与真实变形发生关系。力原理要求虚设一个可能力系与真实变形发生关系。力原理要求虚设一个可能力系与真实变形发生关系。一般来说一般来说一般来说一般来说,一个结构可以选取若干个可能位移一个结构可以选取若干个可能位移一个结构可以选取若干个可能位移一个结构可以选取若干个可能位移,也可以选取若干个可能力也可以选取若干个可能力也可以选取若干个可能力也可以选取若干个可能力系。所以灵活地选取虚位移状态或虚力系系。所以灵活地选取虚位移状态或虚力系系。所以灵活地选取虚位移状态或虚力系系。所以灵活地选取虚位移状态或虚力系,就可以解决不同的问题。就可以解决不同的问题。就可以解决不同的问题。就可以解决不同的问题。单位载荷法单位载荷法单位载荷法单位载荷法虚力原理的应用虚力原理的应用虚力原理的应用虚力原理的应用 如果要求结构中的某个位移如果要求结构中的某个位移如果要求结构中的某个位移如果要求结构中的某个位移,可以使用虚力原理可以使用虚力原理可以使用虚力原理可以使用虚力原理.首先首先首先首先,根据要求的位移根据要求的位移根据要求的位移根据要求的位移 i i,虚设与之相对应的单位载荷虚设与之相对应的单位载荷虚设与之相对应的单位载荷虚设与之相对应的单位载荷PPi i=1,=1,并将此单位载荷下及其作用下的静力可能内并将此单位载荷下及其作用下的静力可能内并将此单位载荷下及其作用下的静力可能内并将此单位载荷下及其作用下的静力可能内力力力力,作为虚设可能受力状态作为虚设可能受力状态作为虚设可能受力状态作为虚设可能受力状态,则虚力方程可变为则虚力方程可变为则虚力方程可变为则虚力方程可变为:式中式中式中式中,0 0 是单位载荷引起的应力是单位载荷引起的应力是单位载荷引起的应力是单位载荷引起的应力,为真实应变为真实应变为真实应变为真实应变,等式右边的积分是单位载荷引起的等式右边的积分是单位载荷引起的等式右边的积分是单位载荷引起的等式右边的积分是单位载荷引起的虚应力在真实应变上作的功虚应力在真实应变上作的功虚应力在真实应变上作的功虚应力在真实应变上作的功,即结构获得的虚余能即结构获得的虚余能即结构获得的虚余能即结构获得的虚余能.单位载荷法单位载荷法单位载荷法单位载荷法3、虚功原理的应用、虚功原理的应用第4页，此课件共16页哦对于梁的弯曲问题对于梁的弯曲问题对于梁的弯曲问题对于梁的弯曲问题,上式又可化为上式又可化为上式又可化为上式又可化为:式中式中式中式中MM为真实外力引起的弯矩为真实外力引起的弯矩为真实外力引起的弯矩为真实外力引起的弯矩,MdxMdx/EIEI=0=0为真实外力引起的变形为真实外力引起的变形为真实外力引起的变形为真实外力引起的变形,MM0 0为在为在为在为在i i处处处处的单位载荷引起的弯矩的单位载荷引起的弯矩的单位载荷引起的弯矩的单位载荷引起的弯矩,所以等式右边仍为虚余能所以等式右边仍为虚余能所以等式右边仍为虚余能所以等式右边仍为虚余能.例例例例1 1 计算图中所示的刚架计算图中所示的刚架计算图中所示的刚架计算图中所示的刚架1 1）分析：）分析：）分析：）分析：这是个空间刚架这是个空间刚架这是个空间刚架这是个空间刚架,直接解比较复杂直接解比较复杂直接解比较复杂直接解比较复杂.但可以将但可以将但可以将但可以将中间支承刚架化为其上端中间支承刚架化为其上端中间支承刚架化为其上端中间支承刚架化为其上端承受外载荷的弹性支座承受外载荷的弹性支座承受外载荷的弹性支座承受外载荷的弹性支座,使使使使承受外载荷的梁化为有弹性支座的连续梁。承受外载荷的梁化为有弹性支座的连续梁。承受外载荷的梁化为有弹性支座的连续梁。承受外载荷的梁化为有弹性支座的连续梁。以支撑刚架以支撑刚架以支撑刚架以支撑刚架ABCABC为例，它受到其支撑的受外载荷作用的梁传来的为例，它受到其支撑的受外载荷作用的梁传来的为例，它受到其支撑的受外载荷作用的梁传来的为例，它受到其支撑的受外载荷作用的梁传来的压力压力压力压力R R，它向上支撑梁的力也是，它向上支撑梁的力也是，它向上支撑梁的力也是，它向上支撑梁的力也是R R。它受力情况如图所示。它受力情况如图所示。它受力情况如图所示。它受力情况如图所示。令令令令R=1R=1时得出时得出时得出时得出A A点的挠度，即求得弹性支座的柔性系数。点的挠度，即求得弹性支座的柔性系数。点的挠度，即求得弹性支座的柔性系数。点的挠度，即求得弹性支座的柔性系数。2 2）解解解解:设水平杆设水平杆设水平杆设水平杆ABAB和垂直杆和垂直杆和垂直杆和垂直杆BCBC的抗弯刚度均为的抗弯刚度均为的抗弯刚度均为的抗弯刚度均为EIEI，长度为，长度为，长度为，长度为L L。水平杆在水平杆在水平杆在水平杆在R R的作用下断面弯矩为的作用下断面弯矩为的作用下断面弯矩为的作用下断面弯矩为 M=RxM=Rx，竖直杆在竖直杆在竖直杆在竖直杆在R R的作用下断面弯矩为的作用下断面弯矩为的作用下断面弯矩为的作用下断面弯矩为 M=RlM=Rl 第5页，此课件共16页哦 水平杆在单位载荷的作用下水平杆在单位载荷的作用下水平杆在单位载荷的作用下水平杆在单位载荷的作用下断面弯矩为断面弯矩为断面弯矩为断面弯矩为 MM0 0=x=x 竖直杆在单位载荷作用下的竖直杆在单位载荷作用下的竖直杆在单位载荷作用下的竖直杆在单位载荷作用下的断面弯矩为断面弯矩为断面弯矩为断面弯矩为 MM0 0=l=l 将将将将MM和和和和MM0 0代入代入代入代入可得到可得到可得到可得到A A A A点的挠度为：点的挠度为：点的挠度为：点的挠度为：柔性系数为柔性系数为柔性系数为柔性系数为:注意注意注意注意:单位载荷法在选取单位载荷时单位载荷法在选取单位载荷时单位载荷法在选取单位载荷时单位载荷法在选取单位载荷时,一定要在所求的位移处一定要在所求的位移处一定要在所求的位移处一定要在所求的位移处,且与且与且与且与 所求位移性质相对应所求位移性质相对应所求位移性质相对应所求位移性质相对应.如求线位移如求线位移如求线位移如求线位移,则在所求位移处加单位力则在所求位移处加单位力则在所求位移处加单位力则在所求位移处加单位力;如求转角如求转角如求转角如求转角,则加单位力矩则加单位力矩则加单位力矩则加单位力矩 第6页，此课件共16页哦ExitNextPre总位能总位能总位能总位能(total(total potential energy)potential energy)其中其中其中其中V V-应变能；应变能；应变能；应变能；U U-力函数；力函数；力函数；力函数；V VU U-力位能力位能力位能力位能位能驻值原理位能驻值原理位能驻值原理位能驻值原理（principle of stationary principle of stationary potential energypotential energy）在虚位移原理中在虚位移原理中在虚位移原理中在虚位移原理中,我们有我们有我们有我们有WW=VV,其中其中其中其中WW=P Pi i i i为外力对为外力对为外力对为外力对虚位移的虚功，由于在发生虚位移过程中外力不变，故上式中的虚位移的虚功，由于在发生虚位移过程中外力不变，故上式中的虚位移的虚功，由于在发生虚位移过程中外力不变，故上式中的虚位移的虚功，由于在发生虚位移过程中外力不变，故上式中的P Pi i不随不随不随不随 i i变化，因此变化，因此变化，因此变化，因此WW又可写作：又可写作：又可写作：又可写作：此式中之此式中之此式中之此式中之 P Pi i i i不是外力功不是外力功不是外力功不是外力功,现另用符号现另用符号现另用符号现另用符号U U表示表示表示表示,并称为并称为并称为并称为“力函数力函数力函数力函数”,即即即即于是于是于是于是虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理变为变为变为变为UU=VV，或可改写为，或可改写为，或可改写为，或可改写为（U U-V V）=0=06-4 6-4 虚位移原理的应用虚位移原理的应用虚位移原理的应用虚位移原理的应用1、位能驻值原理、位能驻值原理第7页，此课件共16页哦ExitNextPre例例例例 用位能驻值原理解图中的静不定桁架。用位能驻值原理解图中的静不定桁架。用位能驻值原理解图中的静不定桁架。用位能驻值原理解图中的静不定桁架。解解解解:为了计算结构的总位能为了计算结构的总位能为了计算结构的总位能为了计算结构的总位能,先算出结构的应变能先算出结构的应变能先算出结构的应变能先算出结构的应变能.设各杆断面面积均为设各杆断面面积均为设各杆断面面积均为设各杆断面面积均为A A,则则则则对杆对杆对杆对杆1,31,3有有有有:对杆对杆对杆对杆2,2,有有有有:有有有有外力的力函数为外力的力函数为外力的力函数为外力的力函数为P P，故结构的总位能为，故结构的总位能为，故结构的总位能为，故结构的总位能为:第8页，此课件共16页哦根据题意根据题意根据题意根据题意,是未知的，现变化是未知的，现变化是未知的，现变化是未知的，现变化满足满足满足满足=0=0=0=0条件条件条件条件,故得故得故得故得:从而得到从而得到从而得到从而得到:所以得所以得所以得所以得:求得后，即可求出各杆的力，可见用位能驻值原理的计算方法求得后，即可求出各杆的力，可见用位能驻值原理的计算方法求得后，即可求出各杆的力，可见用位能驻值原理的计算方法求得后，即可求出各杆的力，可见用位能驻值原理的计算方法是是是是“位移法位移法位移法位移法”，并且所得的就是力的平衡方程式。若以，并且所得的就是力的平衡方程式。若以，并且所得的就是力的平衡方程式。若以，并且所得的就是力的平衡方程式。若以为纵坐标，为纵坐标，为纵坐标，为纵坐标，为横坐标作图，得图如下为横坐标作图，得图如下为横坐标作图，得图如下为横坐标作图，得图如下,可见满足结构平衡条件的可见满足结构平衡条件的可见满足结构平衡条件的可见满足结构平衡条件的 值使总位能值使总位能值使总位能值使总位能获得极小值。获得极小值。获得极小值。获得极小值。第9页，此课件共16页哦ExitNextPre根据虚位移原理公式根据虚位移原理公式根据虚位移原理公式根据虚位移原理公式,我们有我们有我们有我们有 由于在发生虚位移由于在发生虚位移由于在发生虚位移由于在发生虚位移 1 1,2 2,时，应变能时，应变能时，应变能时，应变能V V的变分可写作的变分可写作的变分可写作的变分可写作有有有有由于虚位移的任意性由于虚位移的任意性由于虚位移的任意性由于虚位移的任意性,故有故有故有故有或或或或，.称为称为称为称为“应变能原理应变能原理应变能原理应变能原理”或或或或“卡氏第一定理卡氏第一定理卡氏第一定理卡氏第一定理”,它代它代它代它代表了结构力的平衡条件表了结构力的平衡条件表了结构力的平衡条件表了结构力的平衡条件,在结构分析中可用来建立位移法方程在结构分析中可用来建立位移法方程在结构分析中可用来建立位移法方程在结构分析中可用来建立位移法方程式。式。式。式。2、应变能原理、应变能原理第10页，此课件共16页哦单位位移法单位位移法单位位移法单位位移法式中：式中：式中：式中：1 1 1 1结构在结构在结构在结构在I I I I 处发生一单处发生一单处发生一单处发生一单位虚位移，单位虚位移引位虚位移，单位虚位移引位虚位移，单位虚位移引位虚位移，单位虚位移引起的虚应变。可用来计算结构在起的虚应变。可用来计算结构在起的虚应变。可用来计算结构在起的虚应变。可用来计算结构在某点需施加多大的力才能才能保某点需施加多大的力才能才能保某点需施加多大的力才能才能保某点需施加多大的力才能才能保证结构的平衡。证结构的平衡。证结构的平衡。证结构的平衡。由虚位移原理公式，由虚位移原理公式，由虚位移原理公式，由虚位移原理公式，若结构仅在若结构仅在若结构仅在若结构仅在i i处发生一单位虚位移处发生一单位虚位移处发生一单位虚位移处发生一单位虚位移 i i=1,=1,则公式变为则公式变为则公式变为则公式变为:单位位移法在以后总结构分析的单元刚度矩阵计算单位位移法在以后总结构分析的单元刚度矩阵计算单位位移法在以后总结构分析的单元刚度矩阵计算单位位移法在以后总结构分析的单元刚度矩阵计算中十分有用中十分有用中十分有用中十分有用.3、单位位移法、单位位移法第11页，此课件共16页哦ExitNextPre待定系数；待定系数；待定系数；待定系数；形状函数或基函数（不破坏梁端位移形状函数或基函数（不破坏梁端位移形状函数或基函数（不破坏梁端位移形状函数或基函数（不破坏梁端位移边界条件的函数）。边界条件的函数）。边界条件的函数）。边界条件的函数）。位能驻值原理的重要应用之一是对于不能精确求解的结构或求解比较困难位能驻值原理的重要应用之一是对于不能精确求解的结构或求解比较困难位能驻值原理的重要应用之一是对于不能精确求解的结构或求解比较困难位能驻值原理的重要应用之一是对于不能精确求解的结构或求解比较困难的结构进行近似分析。以梁的弯曲为例，可以利用位能驻值原理近似地求出梁的结构进行近似分析。以梁的弯曲为例，可以利用位能驻值原理近似地求出梁的结构进行近似分析。以梁的弯曲为例，可以利用位能驻值原理近似地求出梁的结构进行近似分析。以梁的弯曲为例，可以利用位能驻值原理近似地求出梁的挠曲线方程式。的挠曲线方程式。的挠曲线方程式。的挠曲线方程式。Ritz method or Rayliegh-Ritz methodRitz method or Rayliegh-Ritz method是变分法中的直接法，是利用位是变分法中的直接法，是利用位是变分法中的直接法，是利用位是变分法中的直接法，是利用位能驻值原理能驻值原理能驻值原理能驻值原理把变分问题看作是求一个包含有有限个变量的平台把变分问题看作是求一个包含有有限个变量的平台把变分问题看作是求一个包含有有限个变量的平台把变分问题看作是求一个包含有有限个变量的平台函数的极值问题。函数的极值问题。函数的极值问题。函数的极值问题。对于梁的弯曲，先把梁的挠曲线方程写成如下的级数形式：对于梁的弯曲，先把梁的挠曲线方程写成如下的级数形式：对于梁的弯曲，先把梁的挠曲线方程写成如下的级数形式：对于梁的弯曲，先把梁的挠曲线方程写成如下的级数形式：然后将此然后将此然后将此然后将此v v(x x)代入总位能代入总位能代入总位能代入总位能中，使中，使中，使中，使变为含有参数变为含有参数变为含有参数变为含有参数a a1 1,a a2 2,的多元函数的多元函数的多元函数的多元函数,于是按多元函数求极值的方法将于是按多元函数求极值的方法将于是按多元函数求极值的方法将于是按多元函数求极值的方法将对对对对a ai i求偏导数后令其等于零，即可定出求偏导数后令其等于零，即可定出求偏导数后令其等于零，即可定出求偏导数后令其等于零，即可定出a a1 1,a a2 2,。最后将求得之。最后将求得之。最后将求得之。最后将求得之a ai i代入，即得满足代入，即得满足代入，即得满足代入，即得满足为极值的为极值的为极值的为极值的v v(x x)的解。的解。的解。的解。6-5 6-5 6-5 6-5 位能驻值原理的近似解法位能驻值原理的近似解法1、李兹法、李兹法第12页，此课件共16页哦ExitNextPre应变能应变能应变能应变能 V V力函数力函数力函数力函数U U当当当当i i为偶数时为偶数时为偶数时为偶数时 0 0，则，则，则，则解解解解:考虑到边界条件考虑到边界条件考虑到边界条件考虑到边界条件x x=0,=0,x x=l l时时时时,v v=0,=0,v v0,0,则则则则 可选取可选取可选取可选取v v(x x):):例例:考虑图中两端自由支持受均布荷重作用考虑图中两端自由支持受均布荷重作用考虑图中两端自由支持受均布荷重作用考虑图中两端自由支持受均布荷重作用的单跨梁。的单跨梁。的单跨梁。的单跨梁。第13页，此课件共16页哦 李兹法不仅适用于梁的弯曲问题李兹法不仅适用于梁的弯曲问题李兹法不仅适用于梁的弯曲问题李兹法不仅适用于梁的弯曲问题,而且可广泛地应用于其他结构而且可广泛地应用于其他结构而且可广泛地应用于其他结构而且可广泛地应用于其他结构,如板的弯曲问题和杆、板的稳定性问题如板的弯曲问题和杆、板的稳定性问题如板的弯曲问题和杆、板的稳定性问题如板的弯曲问题和杆、板的稳定性问题,有关的内容将在以后介绍。有关的内容将在以后介绍。有关的内容将在以后介绍。有关的内容将在以后介绍。在表在表在表在表6-16-1中给出了梁在某些边界条件时的位移函数中给出了梁在某些边界条件时的位移函数中给出了梁在某些边界条件时的位移函数中给出了梁在某些边界条件时的位移函数,可供计算时选用。可供计算时选用。可供计算时选用。可供计算时选用。选取一挠曲线方程，若其满足选取一挠曲线方程，若其满足选取一挠曲线方程，若其满足选取一挠曲线方程，若其满足所有的边界条件所有的边界条件所有的边界条件所有的边界条件，则根据虚位移原理中的公式可得：则根据虚位移原理中的公式可得：则根据虚位移原理中的公式可得：则根据虚位移原理中的公式可得：将代入即可得到：将代入即可得到：将代入即可得到：将代入即可得到：上式是一个包含上式是一个包含上式是一个包含上式是一个包含a a i i 的方程组，求解后可得的方程组，求解后可得的方程组，求解后可得的方程组，求解后可得a a i i，从而可以求得挠曲，从而可以求得挠曲，从而可以求得挠曲，从而可以求得挠曲线方程。这个方法叫做线方程。这个方法叫做线方程。这个方法叫做线方程。这个方法叫做“迦僚金法迦僚金法迦僚金法迦僚金法”。2、迦僚金法、迦僚金法第14页，此课件共16页哦ExitNextPre积分并化简得：积分并化简得：积分并化简得：积分并化简得：解：解：解：解：对于两端自由支持受均布载荷对于两端自由支持受均布载荷对于两端自由支持受均布载荷对于两端自由支持受均布载荷的单跨梁，的单跨梁，的单跨梁，的单跨梁，满足所有的边界条件：满足所有的边界条件：满足所有的边界条件：满足所有的边界条件：故梁的挠曲线方程式为故梁的挠曲线方程式为故梁的挠曲线方程式为故梁的挠曲线方程式为:这个结果与李兹法的结果式完全相同这个结果与李兹法的结果式完全相同这个结果与李兹法的结果式完全相同这个结果与李兹法的结果式完全相同,这是由于这是由于这是由于这是由于v v(x x)取得一样的缘故取得一样的缘故取得一样的缘故取得一样的缘故第15页，此课件共16页哦李兹法与伽略金法的主要差异李兹法与伽略金法的主要差异李兹法与伽略金法的主要差异李兹法与伽略金法的主要差异:1)1)李兹法要求选取的位移函数满足位移边界条件即可李兹法要求选取的位移函数满足位移边界条件即可李兹法要求选取的位移函数满足位移边界条件即可李兹法要求选取的位移函数满足位移边界条件即可,再无其他限制再无其他限制再无其他限制再无其他限制,所以环境宽松所以环境宽松所以环境宽松所以环境宽松,选取函数容易选取函数容易选取函数容易选取函数容易.2)2)伽略金法要求选取的位移函数不仅满足位移边界条件伽略金法要求选取的位移函数不仅满足位移边界条件伽略金法要求选取的位移函数不仅满足位移边界条件伽略金法要求选取的位移函数不仅满足位移边界条件,还要满足力边界条件还要满足力边界条件还要满足力边界条件还要满足力边界条件,要求的条件比较高要求的条件比较高要求的条件比较高要求的条件比较高,所以选取函数所以选取函数所以选取函数所以选取函数比李兹法困难比李兹法困难比李兹法困难比李兹法困难.第16页，此课件共16页哦
