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第四章 电磁波的传播1第1页，此课件共49页哦电磁场在真空中的波动方程波动方程:或表为，其中讨论讨论：上述方程的解决定于边界条件，有多种形式的解 所有频率的电磁波在真空中都以光速传播（如无线电波、光、X射线和 g g 射线等）。光速是最基本的物理参数量之一。（c:电磁现象；G:万有引力；k:热现象，h:量子现象）2.2.在介质中在介质中 极化率与电磁波频率有关 在线性介质中，电容率和磁导率与频率有关的现象称为介质的色散色散。2第2页，此课件共49页哦注意注意：由于色散效应，一般而言，对于介质中没有和真空情形类似的波动方程（不能以 替换 ）。对于非单一频率（非正弦变化）的电磁波，一般不再满足 。二、时谐电磁波二、时谐电磁波 时谐电磁波：时谐电磁波：指电场和磁场随时间作谐振变化的电磁波。时谐电磁波是单一频率单一频率电磁波，也称为单色单色电磁波。讨论讨论：为什么要研究时谐电磁波？许多实际电磁波（如无线电广播、通讯中的载波、激光器辐射的光束等）可近似作为单一频率电磁波；对一般电磁波，可作Fourier频谱分析，电磁波可分解为不同频率单色波的叠加。3第3页，此课件共49页哦1.1.1.1.时谐电磁波满足的方程时谐电磁波满足的方程时谐电磁波满足的方程时谐电磁波满足的方程时谐电磁波的复数形式 单一频率的电磁波满足 空间部分满足Helmholtz方程方程 其中 对某一频率，Helmholtz方程一般有多种电磁波解，每种解称为一种波模波模。4第4页，此课件共49页哦2.2.2.2.电场与磁场的关系电场与磁场的关系电场与磁场的关系电场与磁场的关系 三、平面电磁波三、平面电磁波 Helmholtz方程最简单情形：电场和磁场只与x有关。以电场为例 ，它的一个解为 考虑时间部分 讨论讨论：称为相位相位。在某一时刻，相位相同的点构成等相面等相面（波阵面）。上述平面波的等相面与 x 轴正交；他是沿x 轴正向传播的平面波。在某一时刻，空间位置变化一个波长l，相位变化2p，5第5页，此课件共49页哦 等相面移动速度称为相速相速。设一等相面满足，经过时间Dt，该等相面移动了Dx平面波的相速平面电磁波沿任意方向传播时平面电磁波沿任意方向传播时其中 称为波矢，等相面与波矢方向垂直。相速方向与波矢方向一致，大小6第6页，此课件共49页哦平面电磁波的电场和磁场的关系平面电磁波的电场和磁场的关系 可见，平面电磁波是横波横波。、和 两两相互垂直，沿 方向。且 和和 同相同相。7第7页，此课件共49页哦四、平面电磁波的能量和能流四、平面电磁波的能量和能流 1.1.能量密度和能流密度能量密度和能流密度 对于线性介质，能量密度能量密度 能流密度能流密度 平面电磁波能量沿波矢方向传播，能量传输速度等于相速。8第8页，此课件共49页哦2.2.瞬时值和平均值的计算瞬时值和平均值的计算 在电场和磁场的复数形式中，实部才有实际意义，能量密度和能流密度涉及场量的二次项，不能用复数形式进行计算。v 瞬时值瞬时值空间变化周期缩小为场量的一半。v 平均值平均值数学补充数学补充：设两个复函数 和 ，考虑其乘积在一个周期内的平均值。9第9页，此课件共49页哦设两个矢量函数 和 ，也有能量密度和能流密度的平均值能量密度和能流密度的平均值能量密度和能流密度的平均值能量密度和能流密度的平均值10第10页，此课件共49页哦2 2 电磁波在介质界面上的反射与折射电磁波在介质界面上的反射与折射 平面电磁波是电磁波的最基本形式电磁波的最基本形式。复杂电磁波可以分解为平面电磁波的叠加傅立叶频谱分析。v 分离（频）谱情形v 连续（频）谱情形一、反射和折射定律一、反射和折射定律 当一束平面电磁波投射到介质表面时，在空间中存在入射、反射和折射（电磁）波。入射波反射波折射波 电磁波的折射和反射现象属于电磁场边值问题。电磁波在介质分界面处，波矢、振幅改变，但频率不变。11第11页，此课件共49页哦1 1 1 1电磁场边值关系电磁场边值关系电磁场边值关系电磁场边值关系 电磁波满足的Maxwell方程 对单一频率电磁波 散度方程自然满足。可见只有两个方程是独立的。只有两个独立的边值关系：边值关系：2.2.波矢关系式波矢关系式波矢关系式波矢关系式设介质分界面附近 在分界面上满足。x，y是任意的，所以有12第12页，此课件共49页哦波矢关系式：波矢关系式：，三个波矢共面。3 3 3 3反射定律反射定律反射定律反射定律 对单色平面波，相速 由波矢关系式，电磁波反射定律反射定律 4 4 4 4折射定律折射定律折射定律折射定律 电磁波折射定律折射定律 讨论讨论：电磁波在介质中的相速：介质的折射率介质的折射率13第13页，此课件共49页哦 相对折射率相对折射率（介质2相对于介质1）对非铁磁介质，由于电容率与频率有关，电磁波折射时有色散现象。二、振幅关系二、振幅关系 Fresnel Fresnel公式公式 平面电磁波有两个独立（相互垂直）的偏振方向。常选择为：与入射面垂直和与入射面平行 1 1 入射面入射面在界面附近在界面附近相因子相同，上式中是场量的振幅。对于平面电磁波 利用和折射定律可得14第14页，此课件共49页哦2 2 入射面入射面以上关于振幅的关系式称为Fresnel公式。公式。讨论讨论：Fresnel公式表明垂直和平行于入射面的电磁波具有不同的反射和折射行为；15第15页，此课件共49页哦 自然光（两种成份偏振光等量混合）反射或折射后变为部分偏振光；当 时，Fresnel公式 表明：反射光中没有平行于入射面的成份，是完全偏振的。这就是光学中的Brewster定律定律，相应的入射角称为布儒斯特角布儒斯特角；若 （电磁波由光疏向光密介质入射光疏向光密介质入射），垂直于入射面的分量存在半波损失半波损失。由折射定律，。FresnelFresnel公式公式表明：垂直于入射面的分量，反射波与入射波反相。三、全反射三、全反射设（电磁波由光密向光疏介质入射光密向光疏介质入射），令当入射角时，将发生全反射现象。16第16页，此课件共49页哦全反射时，由电磁场的边值关系，介质2中存在电磁场。1.1.1.1.介质介质介质介质2 2 2 2中的电磁波中的电磁波中的电磁波中的电磁波由波矢关系式，又如果令选入射面为 xz 面，则介质2中的电磁波:全反射时介质2中仍存在电磁波，它是沿x轴方向传播，且沿z轴指数衰减的平面电磁波。衰减长度衰减长度为：透射到介质2中的薄层厚度与电磁波波长数量级；随入射角减小，投入薄层厚度增大。17第17页，此课件共49页哦2.2.2.2.介质介质介质介质2 2 2 2中的电场和磁场中的电场和磁场中的电场和磁场中的电场和磁场 电场垂直于入射面情形，即 对于平面电磁波有磁场有两个分量全反射时，介质2中磁场的x分量与电场存在与电场存在 p p/2 2 相差相差。18第18页，此课件共49页哦3.3.3.3.能量能量能量能量 考虑电场强度垂直于入射面情形 介质2中，能流密度的z分量不为零，表明有能量进入介质2。注意到，在全反射时，沿z方向透入介质2的平均能流密度为零。19第19页，此课件共49页哦4.4.4.4.反射波反射波反射波反射波全反射时，Fresnel公式仍然成立，只要作如下变换其中 讨论讨论：全反射情形 反射波与入射波振幅相同，表明反射波平均能流密度与入射波相同，能量被全部反射能量被全部反射；反射波与入射波有一定相差，表明反射、入射波瞬时能流密度不同；20第20页，此课件共49页哦 能流密度z分量瞬时值不为零而平均值为零，表明在全反射时，介质2具有（临时存储能量的）实际物理作用：在半周内能量进入介质2，在另一半周释放能量到介质1。21第21页，此课件共49页哦3 3 有导体存在时电磁波的传播有导体存在时电磁波的传播一、导体内自由电荷分布一、导体内自由电荷分布 如果导体内存在电荷，则 ，又由欧姆定律 ，由电荷守恒定律 可得 导体中电荷密度满足方程 其解为电荷随时间指数衰减，衰减特征时间衰减特征时间:讨论讨论：理想导体电导率无穷大，其内部无电荷分布。对于实际导体，如果电场变化周期 满足即可近似认为内部无电荷分布，这样的导体称为良良导导体体。22第22页，此课件共49页哦一般金属 ，只要电磁波频率不是太高，均可视为良导体。二、导体内电磁波、复电容率二、导体内电磁波、复电容率1.1.导体内的电磁波方程导体内的电磁波方程对单一频率电磁波 引入复电容率复电容率 这与介质情形在形式上是一致的。23第23页，此课件共49页哦讨论：讨论：在 中，第一项是位移电流，第二项是传导电流。传导电流引起的焦耳热损耗，其平均耗散功率密度平均耗散功率密度 说明说明：（关于耗散功率密度）考虑最简单情形：长度为Dl，横截面为DS 的一段导体，电阻为R，内部电场为E，电流为I，两端电压为U，电流密度为J，则单位时间的焦耳热损耗 单位体积单位时间的焦耳热损耗为 当J 和E 方向不一致时，应改写为 ，它适用于一般情形。耗散耗散（Dissipation）功率密度功率密度：24第24页，此课件共49页哦 位移电流与电场存在 p/2 相差，在一个周期内不消耗功率。对复电容率 ，实部对应位移电流的贡献，不引起电磁波功率耗散；虚部是传导电流的贡献，引起能量耗散。2.2.2.2.导体内电磁波解导体内电磁波解导体内电磁波解导体内电磁波解 导体内，单一频率电磁波满足Helmholtz方程 其中。平面波解为：导体中的波矢导体中的波矢是复矢量，令导体中的电磁波导体中的电磁波 是衰减的平面电磁波。3.3.3.3.与与与与 的关系：的关系：的关系：的关系：和 有6个未知量，上述两个方程对求解它们是不够的，还需考虑具体问题的边值关系。25第25页，此课件共49页哦例如例如，当电磁波从真空投射到导体表面时，以xz为入射面，由波矢关系 ，可得 。真空中波矢是实数，根据前面的方程可以完全解出 和 。3.3.3.3.趋肤效应和穿透深度趋肤效应和穿透深度趋肤效应和穿透深度趋肤效应和穿透深度 讨论最简单的情形：平面电磁波垂直投射到导体表面。在导体外，波矢只有z方向分量，由波矢关系可知，和 也只有z方向分量，导体中电磁波的形式（以电场为例）和 只有两个分量，满足方程 要求26第26页，此课件共49页哦电磁波沿方向传播z 轴从传播，b不可取负值，对良导体 ，有 穿透深度穿透深度 对高频电磁波，电场、磁场和电流均存在趋肤效应趋肤效应。例：例：对于铜，当频率为50Hz 时，；当频率为100MHz 时，。27第27页，此课件共49页哦4.4.4.4.导体内电场和磁场的关系导体内电场和磁场的关系导体内电场和磁场的关系导体内电场和磁场的关系 对于垂直入射的单一频率电磁波，由Maxwell方程 导体内电场和磁场的关系导体内电场和磁场的关系 良导体情形（），磁场相位比电场滞后p/4；，磁场的作用远比电场重要。28第28页，此课件共49页哦三、导体表面上电磁波的反射三、导体表面上电磁波的反射 讨论简单情形：电磁波从真空垂直入射到导体表面，电场垂直于入射面。在导体内（介质2）作替换 后，应认为无传导电流（描述了电流）。界面附近的切向边值关系 对于入射波 对于反射波 对于透射波（在导体中），由 29第29页，此课件共49页哦对于非铁磁性导体 ，从边值关系 对良导体():与电场边值关系联立，可得 定义反射系数反射系数 对于良导体可把 作为小量（因为 与 同量级），30第30页，此课件共49页哦讨论讨论：s 越大，R越接近1；w 越小（l 越大），R 越接近1。微波或无线电波的频率很小，一般金属均可近似看作理想导体（），电磁波近似全部反射（如微波炉）。物理图象：物理图象：进入导体的电磁波诱导传导电流，传导电流激发的电磁场将减弱原电磁场（否则不稳定），使导体内电磁场迅速衰减，电磁波只能透入导体表面薄层。薄层厚度与w 和s 有关。w 或s 越大，厚度越小。导体内诱导的传导电流激发电磁场形成反射电磁波。反射波强度接近入射波，对于良导体，入射波能量几乎全部反射。同时，实际导体有焦耳热损耗，电磁波能量部分耗散，一般情况，良导体吸收很少部分电磁波能量。31第31页，此课件共49页哦Ex.1 证明对于良导体，在非垂直入射时有 解：解：设入射波矢为 ，有 对良导体 导体内波矢 而选入射面为xz 面（与 同级，）又略去且 垂直于表面，接近法线方向，穿透深度由 给出。32第32页，此课件共49页哦Ex.2 高频下良导体的表面电阻。趋肤效应使电流分布于表面薄层，这样的电流分布可看成面电流分布（把薄层压缩到导体表面），用线电流密度描述电流面分布。线电流密度线电流密度 定义为：通过单位横截线的电流。与电流密度的关系：考虑垂直入射，导体内电磁波33第33页，此课件共49页哦令其中平均损耗功率密度 平均损耗功率面密度 对于良导体 良导体在高频下的电阻相当于厚度为 d 的薄层直流电阻。说明：说明：说明：说明：右图为一薄层直流电阻，考虑一简谐变化的面电流，其线密度34第34页，此课件共49页哦耗散功率（单位时间的焦耳热损耗）平均耗散功率 表面平均损耗功率面密度损耗功率面密度 35第35页，此课件共49页哦4 4 谐振腔谐振腔 一、一、LCLC回路中的电磁振荡回路中的电磁振荡 电场能量与磁场能量相互转换，振荡频率 提高振荡频率，需减小C C 或 L L。1）C C 小，极板面积减小，电容器越难将电场束缚在板间，能量将向外辐射将变强。2）L减小，线圈长度(或密度）越小，向外辐射的能量越多。LC LC 回路只能产生低频振荡。要产生高频振荡，需将电磁场“封装”在某一有限空间，比如将电容器四周封闭，形成腔体。Q:这样的封闭导体腔能否产生电磁振荡？36第36页，此课件共49页哦二、理想导体边界二、理想导体边界理想导体s s 趋于无穷，穿透深度趋于0，电磁波被全部反射，理想导体构成电磁波存在的边界。理想导体的边界条件理想导体的边界条件理想导体的边界条件理想导体的边界条件 在介质一侧，电场强度切向分量为0；磁感应强度法向分量为0。可以形象地表述为：在理想导体表面，电力线与表面垂直，磁感应线与表面相切。对单一频率电磁波，Maxwell方程只有两个是独立的。边界条件其实也只有两个独立。对于线性介质，在介质一侧，（在界面附近，电场与表面垂直，选z z 方向为界面法线方向，可得上式）这一条件可以为求解带来方便。37第37页，此课件共49页哦Ex.两无限大平行导体板之间传播的TEM波。选平面电磁波传播方向为z 轴方向，电场有两个基本偏振方向，选为x 和y 方向。由电场边值关系，只允许电场沿y 方向偏振（磁场沿x 方向偏振）。无限大平行导体板间只能传播一种偏振的TEM平面波。三、谐振腔三、谐振腔考察对象考察对象：由理想导体构成的矩形腔。对单一频率电磁波，空间部分满足Helmholtz方程有三个分量方程，记为 表示电场分量 中的一个。38第38页，此课件共49页哦用分离变量法求解，令 分别只与有关。分析分析：保持 和 不变，改变 ，由于右端是常数，所以 应是与 无关的常数，设为 1）若 ，方程的解为 它在 x 方向不是平面波，在物理上不合理，舍弃。2）若 ，令 同理，39第39页，此课件共49页哦或写为复数形式 其中 可以是 中的任一个，设是 ，考虑其复数形式，在 x=0 表面在 z=0 表面在 y=0 表面要求对任意 x、y 成立，40第40页，此课件共49页哦同理 波矢的确定波矢的确定（m 取整数）利用 和 两表面附近，电场沿法向导数为零，可得其中，m、n、p=0，1，2，3，（无需取负整数）。讨论讨论：由腔内 中只有两个独立。腔内电磁波是注波形式，它是平面波叠加的结果。41第41页，此课件共49页哦谐振腔的频率选择性谐振腔的频率选择性 谐振腔只允许特定频率电磁波存在，频率离散分布。讨论讨论讨论讨论：若（m，n，p）中两个为0，则 E=0。腔内不存在波矢沿x、y或z单一方向的振荡。若 ，则最低频率谐振波模为（1，1，0）。最大波长：最大波长：对于每组（m，n，p），有两个独立偏振波模。最低频率最低频率：设 和 是独立的（），或 是两个独立偏振方向。对实际金属构成的谐振腔，存在损耗，需从外界提供能量维持电磁振荡。42第42页，此课件共49页哦5 5 波波 导导 一、高频电磁能量的传输一、高频电磁能量的传输 v 低频情形低频情形：频率小，波长长（l=c/f），波动性弱。可用电学参数（I、U、R、C、L等）等效描述场在线路中的作用。(比如交流电路)说明说明：考虑电学元件（电阻、电容、电感等）尺寸 b，波导管的最低截止角频率最低截止角频率 相应的最大截止波长最大截止波长波导管不能用来传播无线电波。47第47页，此课件共49页哦四、四、TETE10 10 波的电磁场和管型电流波的电磁场和管型电流对TE 波，管内空间各点由电场沿 y 方向 对单一频率电磁波，腔内磁场在 xz 面内，其两个分量同理而48第48页，此课件共49页哦管壁电流管壁电流 定义管壁法向指向波导管内管壁电流应与壁附近磁场垂直 在波导窄边，无纵向电流，在窄边的任何纵向裂缝对波的传播有较大的扰动，波将通过裂缝向外辐射；横向裂缝却几乎不影响TE10 波的传播）；在波导宽边中线上（x=a/2），即无横向电流，只有纵向电流。因此，中线上的纵向裂纹不会影响TE10波的传播。这种裂纹广泛用于探针测量波导内物理量的技术中。49第49页，此课件共49页哦