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普通物理学力学第1页，共51页，编辑于2022年，星期日力学（4）傅傅科科摆摆第2页，共51页，编辑于2022年，星期日第第3章章 动量、动量守恒定律和能量守恒定律动量、动量守恒定律和能量守恒定律 3-1 质点的动量、冲量、动量定理、守恒律质点的动量、冲量、动量定理、守恒律 3-2质点组的动量、冲量、动量定理、守恒律质点组的动量、冲量、动量定理、守恒律 3-3 碰撞碰撞 3-4 角动量定理与角动量守恒定律角动量定理与角动量守恒定律第3页，共51页，编辑于2022年，星期日（1）动量定理：）动量定理：动量：质点质量与速度的乘积动量：质点质量与速度的乘积3-1 质点的动量、冲量、动量定理、守恒律质点的动量、冲量、动量定理、守恒律第4页，共51页，编辑于2022年，星期日动量定理：动量定理：按牛顿定律按牛顿定律而而 ,m,m为为常量，常量，故故表述：质点的动量对时间的变化率就等表述：质点的动量对时间的变化率就等于作用在该质点上的合力。于作用在该质点上的合力。或或表述：质点动量的微分就等于作用在表述：质点动量的微分就等于作用在该质点上各力的元冲量的矢量和。该质点上各力的元冲量的矢量和。第5页，共51页，编辑于2022年，星期日若对该式积分若对该式积分称为质点动量定理的积分式，称为质点动量定理的积分式，v v1 1,v,v2 2表示质点在瞬时表示质点在瞬时t t1 1,t,t2 2的速度。的速度。表述：力在某一时间内的冲量等于物体在这时间内的表述：力在某一时间内的冲量等于物体在这时间内的 动量的增量。动量的增量。用二维直角坐标表示：用二维直角坐标表示：第6页，共51页，编辑于2022年，星期日（2 2）动量守恒：）动量守恒：若若则则第7页，共51页，编辑于2022年，星期日3-2质点组的动量、冲量、动量定理、守恒律质点组的动量、冲量、动量定理、守恒律（1）动量定理）动量定理N N个质点构成的质点组，某一个质点的质量为个质点构成的质点组，某一个质点的质量为m mi i,对惯性坐对惯性坐标系，原点标系，原点O O的位矢为的位矢为 ，作用于质点上的合力为，作用于质点上的合力为 。第8页，共51页，编辑于2022年，星期日共有共有n n个方程，由于内力未知，无法求解，对这个方程，由于内力未知，无法求解，对这n n个方程求个方程求和则为和则为 由牛顿定理由牛顿定理 ，内力总和为，内力总和为0 0 左式左式其中其中 为质点组总动量为质点组总动量或或第9页，共51页，编辑于2022年，星期日或或表述：质点组动量对时间的微商，等于作用在质点组上表述：质点组动量对时间的微商，等于作用在质点组上诸外力之矢量和，或质点组动量的微分等于作用在质点诸外力之矢量和，或质点组动量的微分等于作用在质点组上诸外力的元冲量的矢量和。组上诸外力的元冲量的矢量和。积分形式积分形式:第10页，共51页，编辑于2022年，星期日（2）守恒律）守恒律若质点组只在内力作用下运动，则若质点组只在内力作用下运动，则 于是于是故故 为恒矢量为恒矢量 表述：质点组不受外力作用，或总受外力作用的矢量和为表述：质点组不受外力作用，或总受外力作用的矢量和为零而运动时，质点组的动量为宜恒矢量。零而运动时，质点组的动量为宜恒矢量。第11页，共51页，编辑于2022年，星期日二维直角坐标：二维直角坐标：当当时时,时时,第12页，共51页，编辑于2022年，星期日【例例】讨论讨论m m1 1,m,m2 2两个质点系统的动量定理两个质点系统的动量定理 解：解：两个质点相互作用的内力为两个质点相互作用的内力为f f1212,f,f2121,令两个质点在令两个质点在t t0 0时刻的速度为时刻的速度为v v1010,v,v2020,两个质点在两个质点在t t时刻的速度为时刻的速度为v v1 1,v,v2 2。第13页，共51页，编辑于2022年，星期日根据牛顿三定律根据牛顿三定律两式相加两式相加 如果作用于系统的合外力为零如果作用于系统的合外力为零 则则两个质点构成系统的总动量在运动过程中保持不变。两个质点构成系统的总动量在运动过程中保持不变。第14页，共51页，编辑于2022年，星期日【例例2 2】一个质量为一个质量为m m1 1的人手上拿着一个质量为的人手上拿着一个质量为m m2 2的物体，的物体，此人与地面成此人与地面成角的速度角的速度v v0 0向前跳去，当他达到最高点时，向前跳去，当他达到最高点时，将物体以相对速度将物体以相对速度v v水平向后抛出。问由于物体的抛出，跳的水平向后抛出。问由于物体的抛出，跳的距离增加多少？距离增加多少？第15页，共51页，编辑于2022年，星期日解：解：m m2 2物体相对地面的绝对速度物体相对地面的绝对速度 v v绝绝绝对绝对m m2 2物体相对人体系的速度物体相对人体系的速度 v v相相相对相对抛后，人相对地面的速度抛后，人相对地面的速度 v v0 0牵牵牵连牵连X X轴轴 X X方向动量守恒方向动量守恒 抛出后人的速度抛出后人的速度第16页，共51页，编辑于2022年，星期日抛出后人的速度抛出后人的速度而人由最高点落地所需时间由动力学可知而人由最高点落地所需时间由动力学可知第17页，共51页，编辑于2022年，星期日可见：可见：当质点系所受外力在某一轴上投影的代数和等于当质点系所受外力在某一轴上投影的代数和等于零，且需要求速度时，可用动量守和定律求解。对于碰零，且需要求速度时，可用动量守和定律求解。对于碰撞、发射、投掷等动力学问题，常用动量定理求解。撞、发射、投掷等动力学问题，常用动量定理求解。在应用质点组动量守恒律解题时需注意到：公式中出现的在应用质点组动量守恒律解题时需注意到：公式中出现的速度必须是在同一惯性坐标系下的速度。速度必须是在同一惯性坐标系下的速度。本题中任何物体组成的质点系的总动量不守恒，而是不断本题中任何物体组成的质点系的总动量不守恒，而是不断地改变着大小和方向，而且在铅垂方向质点系的动量的投地改变着大小和方向，而且在铅垂方向质点系的动量的投影也不守恒，而只是水平轴上的投影才守恒。影也不守恒，而只是水平轴上的投影才守恒。只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变质点系的动只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变质点系的动量，内力可以改变质点系中各质点的动量。使人的动量在水量，内力可以改变质点系中各质点的动量。使人的动量在水平方向内平方向内第18页，共51页，编辑于2022年，星期日3-3 碰撞碰撞 自然界中有大量的宏观和围观的碰撞现象，碰撞的机自然界中有大量的宏观和围观的碰撞现象，碰撞的机理是非常复杂的，它涉及到物体的形变和内部结构。理是非常复杂的，它涉及到物体的形变和内部结构。在许多物体碰撞问题中，可以认为相碰撞的物体在碰在许多物体碰撞问题中，可以认为相碰撞的物体在碰前和碰后都没有相互作用，它们分别作惯性运动，只有在前和碰后都没有相互作用，它们分别作惯性运动，只有在相碰的瞬间（相碰的瞬间（tt），它们才发生相互作用，如果这种相），它们才发生相互作用，如果这种相互作用遵循牛顿三定律。互作用遵循牛顿三定律。物体的碰撞一般分为三种：物体的碰撞一般分为三种：完全弹性碰撞完全弹性碰撞弹性碰撞弹性碰撞完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞第19页，共51页，编辑于2022年，星期日完全弹性碰撞完全弹性碰撞弹性碰撞弹性碰撞完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞为两种特殊情况，日常遇到完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞为两种特殊情况，日常遇到的是介于两者之间的碰撞，即两物体碰撞后多少有点形变，的是介于两者之间的碰撞，即两物体碰撞后多少有点形变，并以不同速度分开。并以不同速度分开。物体弹性碰撞的动力学特征为动量守恒，相互作用力为短物体弹性碰撞的动力学特征为动量守恒，相互作用力为短程力，但机械能并不守恒。程力，但机械能并不守恒。碰撞后形状和体碰撞后形状和体积完全没有改变积完全没有改变碰撞后有剩余形变，碰撞后有剩余形变，并且两体并在一起，并且两体并在一起，以同一速度运动以同一速度运动第20页，共51页，编辑于2022年，星期日（1 1）沿一直线的碰撞问题）沿一直线的碰撞问题正碰或对碰，碰撞过程可分为两个阶段。正碰或对碰，碰撞过程可分为两个阶段。压缩阶段：压缩阶段：质量分别为质量分别为m m1 1，m m2 2的两物体，以不同的速度的两物体，以不同的速度相接近，接触到以同一速度相接近，接触到以同一速度u u运动，是最大的压缩阶运动，是最大的压缩阶段。段。恢复阶段：恢复阶段：两个物体形变逐渐恢复，由同一速度两个物体形变逐渐恢复，由同一速度u u分分别变为不同速度别变为不同速度v v1 1，v v2 2而分离开。而分离开。第21页，共51页，编辑于2022年，星期日根据动量守恒根据动量守恒为未知，根据冲量定理，寻找其他方程。为未知，根据冲量定理，寻找其他方程。第22页，共51页，编辑于2022年，星期日压缩阶段：挤压冲力为压缩阶段：挤压冲力为 同一直线同一直线对对m m1 1的力的力F F沿沿X X轴负方向轴负方向为为 时间内冲力时间内冲力F(t)F(t)的的压缩冲量。压缩冲量。和和第23页，共51页，编辑于2022年，星期日恢复阶段：恢复冲力恢复阶段：恢复冲力 恢复冲量恢复冲量和和第24页，共51页，编辑于2022年，星期日实验测定：恢复冲量与压缩冲量之比，对于一定的材料为实验测定：恢复冲量与压缩冲量之比，对于一定的材料为一常数，称为恢复系数。一常数，称为恢复系数。得得e=1 e=1 完全弹性体完全弹性体 象牙象牙e=0 e=0 完全非弹性体完全非弹性体 泥土、棉花泥土、棉花0e1 0e1 一般弹性体一般弹性体第25页，共51页，编辑于2022年，星期日把把A A消去消去 两弹性体碰后的相对速度与碰前相对接近速度的两弹性体碰后的相对速度与碰前相对接近速度的e e倍，当倍，当e e为已知，可确定两弹性体碰撞后的而速度。为已知，可确定两弹性体碰撞后的而速度。和和联立联立若若e=1,e=1,第26页，共51页，编辑于2022年，星期日弹性碰撞时的动能损失弹性碰撞时的动能损失第27页，共51页，编辑于2022年，星期日讨论：讨论：对于完全弹性碰撞对于完全弹性碰撞 体系动能守恒体系动能守恒不存在势不存在势机械能守恒机械能守恒a a）时，时，此种情况，二球交换速度此种情况，二球交换速度特别是当特别是当 ，碰后，碰后 。停下来，停下来，以以 的速度继续运动，如运动员接力赛一样。的速度继续运动，如运动员接力赛一样。时，时，碰后，质量大的物体碰后，质量大的物体 基本保持原有速度基本保持原有速度 ，而质量小，而质量小的物体的物体 则跟着质量大的物体，以速度则跟着质量大的物体，以速度 减去它俩相减去它俩相对速度对速度 为速度而运动。为速度而运动。b b）c c）时，讨论类似。时，讨论类似。第28页，共51页，编辑于2022年，星期日对于完全非弹性碰撞，对于完全非弹性碰撞，e=0e=0，体系的动能损失的最多，转变，体系的动能损失的最多，转变为物体的其他形式的能量或辐射。动能不守恒。为物体的其他形式的能量或辐射。动能不守恒。完全非弹性碰撞，碰撞后两球粘合在一起，并以同一速度完全非弹性碰撞，碰撞后两球粘合在一起，并以同一速度v v1 1=v=v2 2=v=v运动。运动。(4-30)(4-30)第29页，共51页，编辑于2022年，星期日碰后动能与碰前动能之比碰后动能与碰前动能之比将将(4-30)(4-30)式代入式代入若球若球m m2 2原来静止原来静止v v20200 0，即碰撞后的动能减少了。，即碰撞后的动能减少了。第30页，共51页，编辑于2022年，星期日（2 2）斜碰（瞄准距不同的碰撞）斜碰（瞄准距不同的碰撞）斜碰亦称二维碰撞。斜碰亦称二维碰撞。令质量为令质量为m m1 1的小球以速度的小球以速度v v1010 运动，与原来静止质运动，与原来静止质量为量为m m2 2的小球完全发生碰撞，碰撞后各沿与的小球完全发生碰撞，碰撞后各沿与m m1 1的初运动的初运动方向成倾角方向成倾角1 1及及2 2的方向以速度的方向以速度v v1 1及及v v2 2运动。运动。x xy y第31页，共51页，编辑于2022年，星期日令初速度令初速度v v1010的方向为的方向为x x轴的正方向。轴的正方向。由动量守恒由动量守恒x xy y第32页，共51页，编辑于2022年，星期日由完全弹性碰撞，动能守恒由完全弹性碰撞，动能守恒3 3个方程，个方程，4 4个未知数，个未知数，v v1 1，v v2 2，1 1及及2 2，只给出，只给出m m1 1，m m2 2，v v1010的值，不能决定碰撞后的运动，还要给出另一个量，的值，不能决定碰撞后的运动，还要给出另一个量，如如1 1（或（或2 2）的值才能确定碰撞后的运动。）的值才能确定碰撞后的运动。第33页，共51页，编辑于2022年，星期日【例例】：质量相同的两个小球：质量相同的两个小球A A和和B B在水平面上作完全弹性在水平面上作完全弹性碰撞（不是对心碰撞），最初碰撞（不是对心碰撞），最初B B球静止，球静止，A A球以速度球以速度v v1010=20m/s=20m/s向向B B球运动。碰撞后，球运动。碰撞后，A A球沿与它的初速度成球沿与它的初速度成3030角的方向运角的方向运动，球碰撞后动，球碰撞后B B球运动的方向及球运动的方向及A A、B B两球的速度和大小。两球的速度和大小。30303030第34页，共51页，编辑于2022年，星期日解：令解：令A A、B B球质量均为球质量均为m m，碰后速度分别为，碰后速度分别为v v1 1，v v2 2，水平不受，水平不受力，动量守恒力，动量守恒 完全弹性碰撞，碰撞前后动能守恒完全弹性碰撞，碰撞前后动能守恒式说明矢量式说明矢量 构成三角形，构成三角形，式说明三角形式说明三角形是以是以 为斜边的直角三角形。由题意，为斜边的直角三角形。由题意，与与 的夹的夹角为角为3030，所以，所以 与与 的夹角的夹角 第35页，共51页，编辑于2022年，星期日的大小为的大小为以上计算看出，当两个质量相同的物体作完全弹性的非对心碰撞以上计算看出，当两个质量相同的物体作完全弹性的非对心碰撞时，如果其中一个是静止的，那么碰撞后两物体的速度相互垂直。时，如果其中一个是静止的，那么碰撞后两物体的速度相互垂直。第36页，共51页，编辑于2022年，星期日3-4 角动量定理与角动量守恒定律角动量定理与角动量守恒定律(1)(1)力矩与角动量力矩与角动量力和动量都是矢量，我们可以求出它们对空间某点或某轴线力和动量都是矢量，我们可以求出它们对空间某点或某轴线的矩。的矩。力矩：力矩：对空间某一点的距，对空间某一点的距，的分量的分量第37页，共51页，编辑于2022年，星期日式中式中(yF(yFz z-zF-zFy y)，(zF(zFx x-xF-xFz z)，(xF(xFy y-yF-yFx x)是力矩是力矩M M在三坐标轴在三坐标轴的分量，也是离的分量，也是离F F分别对三个坐标轴分别对三个坐标轴x x，y y，z z的力矩。的力矩。M Mx x=(yF=(yFz z-zF-zFy y)M My y=(zF=(zFx x-xF-xFz z)M Mz z=(xF=(xFy y-yF-yFx x)要求力对某一轴线的力矩要求力对某一轴线的力矩M Mz z，可先求，可先求F F对该轴线上某一点对该轴线上某一点O O的的力矩力矩M M，在投到该直线上即可。，在投到该直线上即可。第38页，共51页，编辑于2022年，星期日角动量：动量对空间某点的矩，只要把力换成动量角动量：动量对空间某点的矩，只要把力换成动量即可。即可。第39页，共51页，编辑于2022年，星期日我们知道力和力矩都能使物体的运动状态发生变化，当该点我们知道力和力矩都能使物体的运动状态发生变化，当该点受到力作用时，它的速度就要发生变化，亦即它的动量要发受到力作用时，它的速度就要发生变化，亦即它的动量要发生变化，那么当该点受到力矩作用时，什么物理量将发生变生变化，那么当该点受到力矩作用时，什么物理量将发生变化呢？化呢？下面我们来研究这个问题。下面我们来研究这个问题。第40页，共51页，编辑于2022年，星期日（2 2）角动量定理）角动量定理 在没有定量关系以前，我们可以定性猜想：既然在没有定量关系以前，我们可以定性猜想：既然力能使质点的动量发生变化，那么力矩就应当能实力能使质点的动量发生变化，那么力矩就应当能实质点的动量距发生变化，他们应一一对应，从牛顿质点的动量距发生变化，他们应一一对应，从牛顿 运动方程出发，用位矢运动方程出发，用位矢 叉乘叉乘 两侧。两侧。第41页，共51页，编辑于2022年，星期日但但因此因此第42页，共51页，编辑于2022年，星期日分量式分量式力矩使角动量发生变化。力矩使角动量发生变化。表述：作用在质点上的合力对某固定点的力矩，等于同表述：作用在质点上的合力对某固定点的力矩，等于同一固定，质点角动量对时间的变化率，此关系为角动量一固定，质点角动量对时间的变化率，此关系为角动量定理。定理。第43页，共51页，编辑于2022年，星期日积分积分质点角动量的变化，等于外力在该时间内该质点的冲量矩。质点角动量的变化，等于外力在该时间内该质点的冲量矩。第44页，共51页，编辑于2022年，星期日【例例】一质量为一质量为m m的质点，用两段长度各为的质点，用两段长度各为a a的绳系于竖直杆的绳系于竖直杆上，此系统杆的轴线以角速度上，此系统杆的轴线以角速度w w转动，求质点对转动，求质点对A A，B B及及O O点点的角动量，绳子与轴线间的夹角为的角动量，绳子与轴线间的夹角为。a aa aA AO OB B解：质点对解：质点对A A的角动量的角动量 的大小为：的大小为：质点对质点对B B的角动量的角动量 的大小为：的大小为：的方向向量垂直于的方向向量垂直于 与与 所决定所决定的平面。的平面。第45页，共51页，编辑于2022年，星期日a aa aA AO OB B 质点对质点对O O的角动量的角动量 的大小为：的大小为：依赖于参考点的选择。依赖于参考点的选择。的方向垂直于的方向垂直于 与与 所决定的所决定的平面，平面，的方向和大小是恒定的。但的方向和大小是恒定的。但 与与 的方向则是不恒定的，即的方向则是不恒定的，即不同瞬时，不同瞬时，与与 虽然大小保持不虽然大小保持不变，但方向是随时间而变化的。同一变，但方向是随时间而变化的。同一瞬时，瞬时，的方向并不同，即的方向并不同，即 第46页，共51页，编辑于2022年，星期日(3)(3)角动量守恒角动量守恒 当当恒矢量，或恒矢量，或包括两个方面包括两个方面 质点不受外力作用质点不受外力作用 受外力作用，但诸外力对质点受外力作用，但诸外力对质点 的合力矩为零。的合力矩为零。角动量守恒，不仅与质点受力的性质有关，而且还与参角动量守恒，不仅与质点受力的性质有关，而且还与参考点的选择有关。考点的选择有关。第47页，共51页，编辑于2022年，星期日因为力矩和角动量是对一定参考点的物理量，角动量因为力矩和角动量是对一定参考点的物理量，角动量定理是对一定参考点的规律。角动量作为矢量，它的定理是对一定参考点的规律。角动量作为矢量，它的守恒包含着方向不变、大小不变两个方面，守恒包含着方向不变、大小不变两个方面，的方向的方向不变，使质点只能在垂直于不变，使质点只能在垂直于 的某个固定平面内运动，的某个固定平面内运动，根据定义根据定义 与与 都必与都必与 垂直，行星与卫星的轨道都垂直，行星与卫星的轨道都是平面曲线，这是引力作用下角动量守恒的表现。是平面曲线，这是引力作用下角动量守恒的表现。的大小不变意味着面积速度守恒。的大小不变意味着面积速度守恒。如质点在有力作用下的角动量大小可由极坐标如质点在有力作用下的角动量大小可由极坐标 及横及横向速度向速度 的乘积表示的乘积表示第48页，共51页，编辑于2022年，星期日因质点受力的作用成始终通过因质点受力的作用成始终通过某一定点，角动量守恒，并始某一定点，角动量守恒，并始终在一平面内运动终在一平面内运动由于由于 为位置矢量在时间为位置矢量在时间dtdt内扫过的面积，内扫过的面积，于是得到于是得到 即在有心力作用下，质点相对质心的位置矢量扫过的面积即在有心力作用下，质点相对质心的位置矢量扫过的面积与时间成正比，说明了行点运动遵循角动量守恒，这就是与时间成正比，说明了行点运动遵循角动量守恒，这就是开普勒第二定律。开普勒第二定律。第49页，共51页，编辑于2022年，星期日第50页，共51页，编辑于2022年，星期日第51页，共51页，编辑于2022年，星期日