多面体与欧拉公式精.ppt

多面体与欧拉公式第1页，本讲稿共21页問題：以下哪些是多面體？哪些是正多面體呢？第2页，本讲稿共21页多面體與正多面體的定義多面體與正多面體的定義n多面體：由若干個多邊形圍成的封閉立體圖形。n正多面體：每個面都有相同邊數的正多邊形，而每個頂點都有相同棱數的凸多面體。第3页，本讲稿共21页究竟有多少個正多面體呢？第4页，本讲稿共21页歐拉公式n對簡單多面體而言，其頂點數(V)、面數(F)及棱數(E)滿足以下公式：nV+F E=2第5页，本讲稿共21页例子例子：若一凸三十二面體的頂點數是60，求它的棱數。n解：V=60,F=32n代入 V+F-E=2，得：n E=V+F-2 n =60+32-2n =90n該多面體的棱數是90。第6页，本讲稿共21页例子例子：若一凸多面體的面全是三角形，證明 F=2V-4。n解：由於每塊面有3條邊，而每條邊是兩 塊相鄰面所共有，所以：n E=3F/2.(*)n引用歐拉公式 V+F-E=2，得：n 2V+2F-2E=4n把(*)代入，得：2V+2F3F=4n 2V-F=4n F=2V 4。第7页，本讲稿共21页m的意義nm代表一個正多面體每塊面上的邊數正六面體m=4正四面體m=3第8页，本讲稿共21页n的意義nn代表一個正多面體每個頂點上的邊數正六面體n=3正八面體n=4第9页，本讲稿共21页想想看：mF=?nm代表一個正多面體每塊面上的邊數正六面體m=4正八面體m=3F=6F=8mF=24=2EE=12E=12mF=24=2E第10页，本讲稿共21页想想看：nV=?nn代表一個正多面體每個頂點上的邊數正六面體n=3正八面體n=4V=8V=6nV=24=2EE=12E=12nV=24=2E第11页，本讲稿共21页n一般而言，對任意正多面體，有以下結果：nmF=2E 及 nV=2E第12页，本讲稿共21页一個幾何定理n定理：正多面體只有五種第13页，本讲稿共21页證明：正多面體只有五種n假設m代表一正多面體每塊面上的邊數n n代表它的每個頂點上的邊數n考慮以下公式：(1)(2)第14页，本讲稿共21页n將(1)、(2)式代入歐拉公式，得：(3)第15页，本讲稿共21页第16页，本讲稿共21页m-2n-21112132131mn3334353345第17页，本讲稿共21页把不同的m,n值代回(1)、(2)、(3)，得：mnEF多面體名稱多面體名稱3364正四面體34128正八面體353020正二十面體43126正六面體533012正十二面體第18页，本讲稿共21页結論n正多面體只有以下五種：第19页，本讲稿共21页第20页，本讲稿共21页第21页，本讲稿共21页