线性代数行列式的展开计算课件.ppt

线性代数行列式的展线性代数行列式的展开计算开计算第1页，此课件共57页哦第2页，此课件共57页哦决这个问题决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念先学习余子式和代数余子式的概念.一般来说一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便的计算要简便,于是于是,自然地考虑用低阶行列式来自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题表示高阶行列式的问题.本节我们要解决的问题本节我们要解决的问题是是,如何把高阶行列式降为低阶行列式如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解为了解第3页，此课件共57页哦第三节第三节 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则三、小结三、小结第4页，此课件共57页哦例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式第5页，此课件共57页哦启示启示:三阶行列式三阶行列式可按第一行可按第一行“展开展开”.对对式适当重新组合式适当重新组合,易见该三阶行列式也可按第易见该三阶行列式也可按第易见该三阶行列式也可按第易见该三阶行列式也可按第一列一列“展开展开”.第6页，此课件共57页哦余子式和代数余子式余子式和代数余子式Aij 叫做元素叫做元素叫做元素叫做元素 a aij 的的代数余子式代数余子式.定义定义 在在在在 n 阶行列式中阶行列式中,把元素把元素 a aij 所在的第所在的第所在的第所在的第i i 行和第行和第行和第行和第 j 列划去后列划去后列划去后列划去后,剩下的元素按它们在原行列剩下的元素按它们在原行列剩下的元素按它们在原行列剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的式中的相对位置组成的 n 1 1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 a aij ij的的余子式余子式,记作记作 Mij ij;A Aij ij=(1)=(1)i+jMij,记记第7页，此课件共57页哦在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如第8页，此课件共57页哦第9页，此课件共57页哦引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如例如例如第10页，此课件共57页哦定理定理1 1 1 1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则这个定理叫做这个定理叫做行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则.第11页，此课件共57页哦证明证明证明证明第12页，此课件共57页哦例例1 1 计算行列式计算行列式解解解解按第二行展开，得第13页，此课件共57页哦例例2试按第三列展开计算行列式试按第三列展开计算行列式解解将将按第三列展开按第三列展开,则有则有其中其中第14页，此课件共57页哦解解其中其中所以所以第15页，此课件共57页哦例例3第16页，此课件共57页哦第17页，此课件共57页哦例例例例4 4 4 4 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式解解解解第18页，此课件共57页哦第19页，此课件共57页哦例例5证明范德蒙德证明范德蒙德证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式行列式行列式行列式的每列都是某一个数行列式的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下的不同方幂，且自上而下方幂次数由方幂次数由0 0递增至递增至n n-1-1第20页，此课件共57页哦证明证明对对 n 作归纳法作归纳法.当当 n=2 时，时，结论成立结论成立.设对于设对于 n 1 阶范德蒙德行列式结论阶范德蒙德行列式结论成立，现在来看成立，现在来看 n 阶的情形阶的情形.在在 n 阶范德蒙德行阶范德蒙德行列式中，第列式中，第 n 行减去第行减去第 n 1 行的行的 a1 倍，第倍，第 n 1 行行减去第减去第 n 2 行的行的 a1 倍倍.也就是由下而上依次地从也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的每一行减去它上一行的 a1 倍，有倍，有第21页，此课件共57页哦按第按第 1 列展开，并把列的公因子列展开，并把列的公因子(ai a1)提出，得提出，得第22页，此课件共57页哦上式右端行列式是上式右端行列式是 n 1 阶范德蒙德行列式，按归阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有纳法假设，它等于所有(ai aj)因子的乘积，其中因子的乘积，其中2 j 2).第32页，此课件共57页哦按按 Dn 的第的第 n 列展开列展开,得得证明证明第33页，此课件共57页哦展开展开,即为即为上式中上式中 n 的代数余子式是与的代数余子式是与 Dn 同类型的同类型的 n-1-1 阶行列式阶行列式 Dn-1-1 ,而对而对 n-1-1 的余子式按第的余子式按第 n-1-1 行行第34页，此课件共57页哦 n-1-1Dn-2-2 ,至此我们至此我们得到得到Dn=nDn-1-n-1n-1Dn-2 .证毕证毕关系式在计算数学中常被引用关系式在计算数学中常被引用.Dn 是常见的是常见的 n 阶三对角行列式阶三对角行列式,所证的递推所证的递推第35页，此课件共57页哦 例例 计算计算 n 阶行列式阶行列式第36页，此课件共57页哦=D1+(n-1)=n+1.这是一个三对角行列式这是一个三对角行列式,在这里在这里i=2,i=i=1 (i=1,2,n),由由果可得果可得 Dn=2Dn-1-Dn-2.适当移项可得关于适当移项可得关于 Dn 的递推关系式的递推关系式Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=Dn-2-Dn-3=D2-D1.因因 D2=4-1=3,D1=2,D2-D1=1,所以所以Dn=Dn-1+1=(Dn-2+1)+1=的结的结解解第37页，此课件共57页哦第四节第四节 Cramer法则法则一、非齐次与齐次线性方程组一、非齐次与齐次线性方程组的概念的概念二、二、Cramer法则法则三、小结三、小结第38页，此课件共57页哦设线性方程组设线性方程组设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组.一、齐次与非齐次线性方程组的概念一、齐次与非齐次线性方程组的概念第39页，此课件共57页哦二、二、Cramer法则法则定理定理1 如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即第40页，此课件共57页哦其中其中其中其中Di i是把系数行列式是把系数行列式是把系数行列式是把系数行列式D中第中第i i 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的n n阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为第41页，此课件共57页哦例例1 用用用用CramerCramer法则法则解方程组解方程组解方程组解方程组解解:第42页，此课件共57页哦第43页，此课件共57页哦89-50第44页，此课件共57页哦第45页，此课件共57页哦程的个数与未知量的个数不等时程的个数与未知量的个数不等时程的个数与未知量的个数不等时程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉就不能用克拉就不能用克拉就不能用克拉通过上述例子通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解我们看到用克拉默法则求解线性方程组时线性方程组时线性方程组时线性方程组时,要计算要计算要计算要计算 n+1+1+1+1 个个 n 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式,这个这个这个这个计算量是相当大的计算量是相当大的,所以所以,在具体求解线性方程在具体求解线性方程组时组时,很少用克拉默法则很少用克拉默法则.另外另外,当方程组中方当方程组中方当方程组中方当方程组中方默法则求解默法则求解默法则求解默法则求解.第46页，此课件共57页哦但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位中的重要地位中的重要地位中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件唯一解的条件唯一解的条件唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组并且给出了方程组的解与方程组并且给出了方程组的解与方程组并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系的系数和常数项的关系.第47页，此课件共57页哦 定理定理 1 如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组克拉默法则可叙述为下面的重要定理克拉默法则可叙述为下面的重要定理.式式 D 0 0 0 0,则则则则 (1 1)一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的.二、线性方程组有解的条件二、线性方程组有解的条件定理定理 1 的逆否定理为的逆否定理为:定理定理 1如果线性方程组如果线性方程组 (1 1)无解或有无无解或有无无解或有无无解或有无穷个不同的解穷个不同的解,则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零.的系数行列的系数行列的系数行列的系数行列第48页，此课件共57页哦全为零时全为零时,线性方程组线性方程组(1)叫做叫做齐次线性方程组齐次线性方程组.线性方程组线性方程组b1 ,b2 ,bn不全为零时不全为零时,线性方程组线性方程组 (1)叫做叫做非齐次线性方非齐次线性方程组程组;当当b1 ,b2 ,bn 右端的常数项右端的常数项第49页，此课件共57页哦对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 (2)x1=x2=xn=0 一定是它的解一定是它的解,这个解叫做这个解叫做齐次线性方程组齐次线性方程组 (2)的零解的零解.第50页，此课件共57页哦 定理定理 2如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2 2)有非零有非零如果一组不全为零的数是如果一组不全为零的数是做做齐次线性方程组齐次线性方程组(2 2)的非零解的非零解的非零解的非零解.齐次线性方程齐次线性方程组组(2)一定有零解一定有零解,但不一定有非零解但不一定有非零解.对于齐次线对于齐次线性方程组性方程组 (2)有以下定理有以下定理.定理定理 2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)的系数行的系数行列式列式列式列式 D D 0 0,则齐次线性方程组则齐次线性方程组(2)没有非零解没有非零解.解解,则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零.的解的解,则它叫则它叫第51页，此课件共57页哦例例2 2 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？有非零解？有非零解？解解解解第52页，此课件共57页哦齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.第53页，此课件共57页哦EXEX2.问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？有非零解？有非零解？EX1.用用CramerCramer法则解方程组法则解方程组第54页，此课件共57页哦EX1.用用用用CramerCramer法则解方程组法则解方程组解解第55页，此课件共57页哦第56页，此课件共57页哦EXEX2.问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？有非零解？有非零解？解解第57页，此课件共57页哦