2022年挑战中考数学压轴题函数图象中点的存在性问题相似三角形.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相像三角形问题例 1 2022年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24 题如图 1,在平面直角坐标系中,双曲线（k 0）与直线yx2 都经过点 A2, m（1）求 k 与 m 的值；（2）此双曲线又经过点Bn, 2,过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C,联结 AB、AC,求 ABC 的面积；（3）在（ 2）的条件下,设直线y x2 与 y 轴交于点 D,在射线 CB 上有一点 E,如果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相像,且相像比不为1,求点 E 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“15 宝山嘉定 24” ,拖动点E 在射线 CB 上运动,可以体验到, ACE 与 ACD 相像,存在两种情形思路点拨1直线 AD/BC,与坐标轴的夹角为 45° 2求 ABC 的面积,一般用割补法程3争论 ACE 与 ACD 相像, 先查找一组等角,再依据对应边成比例分两种情形列方满分解答（1）将点 A2, m代入 yx2,得 m4所以点 A 的坐标为 2, 4将点 A2, 4代入 y k,得 k8x（2）将点 Bn, 2,代入 y 8,得 n4x所以点 B 的坐标为 4, 2名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载设直线 BC 为 yxb,代入点 B4, 2,得 b 2所以点 C 的坐标为 0,2由 A2, 4 、B4, 2 、C 0,2,可知 A、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4所以 AB 2 2 ,BC 42 , ABC90° 图 2 所以 S ABC1 2BA BC 1 222428（3）由 A2, 4 、D0, 2 、C 0,2,得 AD 2 2 ,AC 2 10 由于 DAC ACD 45° , ACE ACD 45° ,所以 DAC ACE所以 ACE 与 ACD 相像,分两种情形：如图 3,当CE CAAD时, CEAD 22 2 此时 C、E 两点间的水AC此时 ACD CAE,相像比为1解得 CE 10如图 4,当CE CAAC时,CE2 10AD2 102 2平距离和竖直距离都是10,所以 E10, 8图 4 图 3 考点舒展第（ 2）题我们在运算ABC 的面积时,恰好ABC 是直角三角形一般情形下,在坐标平面内运算图形的面积,用割补法如图 5,作 ABC 的外接矩形 HCNM ,MN /y 轴由 S 矩形 HCNM 24,S AHC6,S AMB2,S BCN8,得 S ABC8名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载图 5 例 2 2022 年武汉市中考第 24 题如图 1,Rt ABC 中, ACB90° , AC6 cm ,BC8 cm ,动点 P 从点 B 动身,在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动, 同时动点Q 从点 C 动身,在 CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动,运动时间为t 秒（ 0t2）,连接 PQ（1）如 BPQ 与 ABC 相像,求 t 的值；（2）如图 2,连接 AQ、CP,如 AQCP,求 t 的值；（3）试证明： PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“14 武汉 24” ,拖动点 P 运动,可以体验到,如 BPQ 可以两 次成为直角三角形,与 ABC 相像当 AQCP 时, ACQ CDPPQ 的中点 H 在 ABC 的中位线 EF 上名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载思路点拨1 BPQ 与 ABC 有公共角,依据夹角相等,对应边成比例,分两种情形列方程2作 PDBC 于 D,动点 P、Q 的速度,暗含了 BDCQ3PQ 的中点 H 在哪条中位线上？画两个不同时刻满分解答P、Q、H 的位置,一目了然（1）Rt ABC 中, AC6,BC8,所以 AB10 BPQ 与 ABC 相像,存在两种情形： 假如BP BQBA,那么5 t10解得 t1图 4 BC84t8 假如BP BQBC,那么5 t8解得t32BA84t1041图 3 （2）作 PD BC,垂足为 D在 Rt BPD 中, BP 5t,cosB4 5当 AQCP 时, ACQ CDP ,所以 BDBPcosB4t,PD3t所以AC QCCD,即6 4 t84t解得t7图 6 PD3 t8图 5 （3）如图 4,过 PQ 的中点 H 作 BC 的垂线,垂足为 F,交 AB 于 E由于 H 是 PQ 的中点, HF /PD,所以 F 是 QD 的中点又由于 BDCQ4t,所以 BF CF因此 F 是 BC 的中点, E 是 AB 的中点所以 PQ 的中点 H 在 ABC 的中位线 EF 上考点舒展名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此题情形下,假如以学习好资料欢迎下载t 的值PQ 为直径的 H 与 ABC 的边相切,求如图 7,当 H 与 AB 相切时, QPAB,就是BP BQBC,t328 2,BA41如图 8,当 H 与 BC 相切时, PQBC,就是BP BQBA,t1BC如图 9,当 H 与 AC 相切时,直径PQPD2QD23 28半径等于 FC 4所以3 288 28图 10 解得t128,或 t 0（如图 10,但是与已知0t2 冲突）73图 7 图 8 图 9 例 3 2022 年苏州市中考第 29 题名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图 1,已知抛物线学习好资料1xb欢迎下载y12 x1 b4（b 是实数且 b 2）与 x 轴的正半轴分别交44于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧）,与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为 _,点 C 的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探究在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB 的面积等于2b,且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？假如存在,求出点 明理由；P 的坐标；假如不存在,请说（3）请你进一步探究在第一象限内是否存在点 Q,使得QCO、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相像（全等可看作相像的特别情形）？假如存在,求出点 Q 的坐标；假如不存在,请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 苏州 29” ,拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动,可以体验到,点 P 到两坐标轴的距离相等,存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“ 第（3）题” ,拖动点 B,可以体验到,存在OQA B 的时刻,也存在OQA B 的时刻思路点拨1第（ 2）题中,等腰直角三角形PBC 示意了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP,把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b 的式子表示3第（ 3）题要探究三个三角形两两相像,第始终觉这三个三角形是直角三角形,点 Q最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为 b, 0,点 C 的坐标为 0, b 4（2）如图 2,过点 P 作 PDx 轴,PE y 轴,垂足分别为 因此 PDPE设点 P 的坐标为 x, x 如图 3,联结 OPD、E,那么 PDB PEC名师归纳总结 所以 S 四边形 PCOBS PCOS PBO1 2b x 41b x5bx2b第 6 页,共 17 页28- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得x16学习好资料欢迎下载所以点 P 的坐标为 16 16 ,5 55图 2 图 3 （3）由 y 1 x 2 1 b 1 x b 1 x 1 x b,得 A1, 0,OA14 4 4 4如图 4,以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC,那么OQC QOA当BA QA,即 QA 2BA OA 时, BQA QOAQA OA所以 b 2b 1解得 b 8 4 3所以符合题意的点 Q 为 1,2 3 4如图 5,以 OC 为直径的圆与直线 因此 OCQ QOAx1 交于点 Q,那么 OQC90° ；当BA QAQA时, BQA QOA此时 OQB90° 4此时 Q1,4OA所以 C、Q、B 三点共线因此BOQA,即bQA解得QACOOAb14图 4 图 5 考点舒展第（ 3）题的思路是,A、C、O 三点是确定的,B 是 x 轴正半轴上待定的点,而QOA与 QOC 是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情形这样, 先依据QOA 与 QOC 相像把点 Q 的位置确定下来,再依据两直角边对应成比例确定点 B 的位置名师归纳总结 如图中,圆与直线x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？第 7 页,共 17 页假如符合题意的话,那么点B 的位置距离点A 很近,这与OB4OC 冲突- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载例 4 2022 年黄冈市中考模拟第 25 题如图 1,已知抛物线的方程C1：y1 mx2xm m 0与 x 轴交于点 B、 C,与y 轴交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧（1）如抛物线C1 过点 M2, 2 ,求实数 m 的值；H,使得 BHEH 最小,求出点H（2）在（ 1）的条件下,求BCE 的面积；（3）在（ 1）的条件下,在抛物线的对称轴上找一点的坐标；（4）在第四象限内,抛物线C1 上是否存在点F,使得以点B、C、F 为顶点的三角形与 BCE 相像？如存在,求m 的值；如不存在,请说明理由图 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载动感体验请打开几何画板文件名“12 黄冈 25”,拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动,观看左图,可以体验到, EC 与 BF 保持平行,但是BFC 在无限远处也不等于 45° 观看右图,可以体验到, CBF 保持 45° ,存在 BFC BCE 的时刻思路点拨1第（ 3）题是典型的“ 牛喝水” 问题,当H 落在线段 EC 上时, BH EH 最小2第（ 4）题的解题策略是：先分两种情形画直线 BF ,作 CBF EBC45° ,或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 于 m 的方程满分解答F 的坐标然后依据夹角相等,两边对应成比例列关（1）将 M2, 2代入y1 mx2xm ,得211242m 解得 m4m（2）当 m4 时,y1x2x41 4x2x所以 C4, 0, E0, 242所以 S BCE1 2BC OE1 2626（3）如图 2,抛物线的对称轴是直线x1,当 H 落在线段 EC 上时, BHEH 最小设对称轴与x 轴的交点为P,那么HP CPEO1, 32CO因此HP 32解得HP3 2所以点 H 的坐标为4（4）如图 3,过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于F,过点 F 作 FF x 轴于 F由于 BCE FBC,所以当CE CBBC,即BC2CE BF 时,BCE FBCBF设点 F 的坐标为 ,1x2xm ,由FF'EO,得1 mx2xm 2mBF'COx2m解得 xm2所以 Fm2, 0由COBF',得m42m4所以BFm42 m4CEBFm2BFm由BC2CE BF ,得 m22 m4m42 m4m整理,得 016此方程无解名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 2 学习好资料图 3 欢迎下载图 4 如图 4,作 CBF 45° 交抛物线于F,过点 F 作 FF x 轴于 F,由于 EBC CBF,所以BE BC,即 BC 2BE BF 时, BCE BFCBC BF在 Rt BFF中,由 FF BF,得1 x 2 x m x 2m解得 x2m所以 F 2 m ,0所以 BF 2m 2,BF 22 m 2由 BC 2BE BF ,得 m 2 22 2 22 m 2解得 m 2 2 2综合、,符合题意的 m 为 2 2 2考点舒展第（ 4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F、F 的坐标后,依据两点间的距离公式求 BF 的长名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载例 5 2022 年义乌市中考第 24 题如图 1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O（0,0）、A（2,0）、B（6, 3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线OA、CB 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S,A1、 B1 的坐标分别为 x1,y1、x2,y2用含 S 的代数式表示 x2 x1,并求出当 S=36时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中,设点 D 的坐标为 1,3,动点 P 从点 B 动身,以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动,动点 Q 从点 D 动身,以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动 P、Q 两点同时动身,当点 Q 到达点 M 时,P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t,是否存在某一时刻 t,使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相像？如存在,恳求出t 的值；如不存在,请说明理由图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24” ,拖动点 I 上下运动,观看图形和图象,可以体验到, x2 x1 随 S的增大而减小双击按钮“ 第（3）题” ,拖动点 Q 在 DM 上运动,可以体验到,假如 GAF GQE,那么GAF 与 GQE 相像思路点拨名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1第（ 2）题用含学习好资料欢迎下载x1,x2 表示 S再注S的代数式表示x2x1,我们反其道而行之,用意平移过程中梯形的高保持不变,即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图,在没有运算结果的情形下,无法画出精确的位置关系,因此此题的策略是先假设,再说理运算,后验证3第（ 3）题的示意图,不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变,直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率,因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方,或者假设交点 G 在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 x 1,解析式为 y 1 x 2 1 x ,顶点为 M（1,1）8 4 8（ 2 ）梯 形 O1A1B1C1 的 面 积 S 2 x 1 1 x 2 1 3 x 1 x 2 6, 由 此 得 到2x 1 x 2 s 2由于 y 2 y 1 3,所以 y 2 y 1 1 x 2 2 1 x 2 1 x 1 2 1 x 1 3整理,得3 8 4 8 4 x 2 x 1 1 x 2 x 1 13因此得到 x 2 x 1 728 4 Sx 2 x 1 14, x 1 6,当 S=36 时,解得 此时点 A1 的坐标为（ 6,3）x 2 x 1 2. x 2 8.（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G,直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E,直线 PQ 与 x轴交于点 F,那么要探求相像的GAF 与 GQE,有一个公共角G在 GEQ 中, GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角,为定值在 GAF 中, GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角,也为定值,而且GEQ GAF因此只存在 GQE GAF 的可能, GQE GAF这时 GAF GQE PQD 由于tanGAF3 4, tanPQDDQ5tt,所以3 45tt解得t20QP7图 3 图 4 考点舒展名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第（ 3）题是否存在点学习好资料欢迎下载G 在 x 轴上方的情形？如图4,假如存在,说理过程相同,求得名师归纳总结 的 t 的值也是相同的 事实上, 图 3 和图 4 都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3第 13 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载26 题例 6 2022年临沂市中考第如图 1,抛物线经过点A4,0、B（1, 0、 C（ 0, 2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点,过 P 作 PM x 轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相像？如存在,恳求出符合条件的 点 P 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点D,使得DCA 的面积最大, 求出点 D 的坐标,图 1 动感体验请打开几何画板文件名“ 09 临沂 26” ,拖动点 P 在抛物线上运动,可以体验到, PAM的外形在变化,分别双击按钮“P 在 B 左侧” 、“P 在 x 轴上方” 和“P 在 A 右侧” ,可以显示 PAM 与 OAC 相像的三个情形双击按钮“ 第 3题” , 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动,观看DCA 的外形和面积随 D 变化的图象,可以体验到,E 是 AC 的中点时,DCA 的面积最大思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便2数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长3依据两条直角边对应成比例,分两种情形列方程4把 DCA 可以分割为共底的两个三角形,高的和等于 OA满分解答名师归纳总结 y（ 1）由于抛物线与x 轴交于A4 , 0 、 B （ 1 , 0 两点,设抛物线的解析式为第 14 页,共 17 页a x1 x4,代入点 C 的 坐标（ 0, 2）,解得a1所以抛物线的解析式为2y1x1 x4 1x25x2222（2）设点 P 的坐标为x ,1x1 x4 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料PM欢迎下载1 x4 ,AM4x如图 2,当点 P 在 x 轴上方时, 1x4,1x2假如AMAO2,那么1x1 x42解得x5不合题意2PMCO4x假如AMAO1,那么1x1 x4 1解得x22PMCO24x2此时点 P 的坐标为（ 2,1）如图 3,当点 P 在点 A 的右侧时, x 4,PM1x1 x4 ,AMx42解方程1x1 x4 2,得x5此时点 P 的坐标为5 ,22x4解方程1x1 x4 1,得x2不合题意2x424x如图 4,当点 P 在点 B 的左侧时, x 1,PM1x1 x4 ,AM2解方程1x1 x4 2,得x3此时点 P 的坐标为3 ,1424x解方程1x1 x4 1,得x0此时点 P 与点 O 重合,不合题意24x2综上所述,符合条件的点 P 的坐标为（ 2,1）或,314或5 ,2 图 2 图 3 图 4 名师归纳总结 （3）如图 5,过点 D 作 x 轴的垂线交AC 于 E直线 AC 的解析式为y1 x 22第 15 页,共 17 页设点 D 的横坐标为m1m4,那么点 D 的坐标为 m ,1m25 2m,点 E 的2 2坐标为m ,1m2 所以DE12 m5m2 1m2 12mm222222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此学习好资料2欢迎下载S DAC11m22 m 4m4mm22422当mD 的坐标为（ 2,1）2时, DCA 的面积最大,此时点图 5 图 6 考点舒展第（ 3）题也可以这样解：如图 6,过 D 点构造矩形OAMN ,那么DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去 CDN 和 ADM 的面积名师归纳总结 设点 D 的横坐标为（ m,n）1m4 ,那么m m2 n4第 16 页,共 17 页2 1n 4S1 2 n2 41m n222由于n1m25m2,所以Sm24m22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习好资料欢迎下载第 17 页,共 17 页- - - - - - -