第2章线性系统的数学模型分PPT讲稿.ppt

第2章线性系统的数学模型分第1页，共118页，编辑于2022年，星期一知 识 要 点 线性系统的数学模型，拉普拉斯变换，传递函数的定义，方框图的简化，梅逊公式的含义和应用。第2页，共118页，编辑于2022年，星期一 描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。常用的数学关系的数学表达式，称为系统的数学模型。常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。和状态空间表达式等。建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。系统数学模型的建立，一般采用解析法或关重要的。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。实验法。第3页，共118页，编辑于2022年，星期一 2.1 线性系统的微分方程（1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可考确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可考虑列写一个方程；虑列写一个方程；（2）根据各变量所遵循的基本定律）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学定律物理定律、化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化；程式，并考虑适当简化和线性化；第4页，共118页，编辑于2022年，星期一 2.1 线性系统的微分方程（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；（4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。第5页，共118页，编辑于2022年，星期一例例2-1 试试列列写写图图中中所所示示RC无无源源网网络络的的微微分分方方程程。输输入入为为ui(t)，输出为输出为u0(t)。解解 根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：第6页，共118页，编辑于2022年，星期一整理得：整理得：令令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2则得则得 该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。第7页，共118页，编辑于2022年，星期一2-2 2-2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型 由由2-1节的叙述可知，对于线性定常连续系节的叙述可知，对于线性定常连续系统来说，描述其性能的基本数学模型是常系数线统来说，描述其性能的基本数学模型是常系数线性微分方程，其一般形式为：性微分方程，其一般形式为：但从分析系统性能的方便与否这一角度衡量，但从分析系统性能的方便与否这一角度衡量，微分方程虽是微分方程虽是基本基本的数学模型，却并不是一个使的数学模型，却并不是一个使用起来最方便的数学模型。用起来最方便的数学模型。第8页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型困难：困难：（1）从微分方程出发，分析系统的性能，就）从微分方程出发，分析系统的性能，就方程来说，必须求出求解并非易事。方程来说，必须求出求解并非易事。微分方程的解微分方程的解,而对于阶数大于而对于阶数大于2的微分的微分 （2）当系统参数变化后，对系统性能的影响很难从微）当系统参数变化后，对系统性能的影响很难从微分方程本身及其解中很容易地看出来，这就对分析系分方程本身及其解中很容易地看出来，这就对分析系统尤其是综合系统带来很大的困难。统尤其是综合系统带来很大的困难。第9页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型解决方法：解决方法：对于解高阶微分方程的困难，可用拉氏变换，将微积分对于解高阶微分方程的困难，可用拉氏变换，将微积分运算转换为代数运算，求出微分方程的解。运算转换为代数运算，求出微分方程的解。第10页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型 从而人们设想，能否利用从而人们设想，能否利用从而人们设想，能否利用从而人们设想，能否利用拉氏变换这一工具，不解拉氏变换这一工具，不解拉氏变换这一工具，不解拉氏变换这一工具，不解 微分方程，就能知道系统的性能，甚至当系统参数变化微分方程，就能知道系统的性能，甚至当系统参数变化后，也能方便地看出它对系统性能的影响呢后，也能方便地看出它对系统性能的影响呢?这就引出了这就引出了传递函数概念。传递函数概念。传递函数在古典自控理论中是一个很重要的函数，古传递函数在古典自控理论中是一个很重要的函数，古典自控理论的两大分支，根轨迹法和频率法，就是在传递典自控理论的两大分支，根轨迹法和频率法，就是在传递函数的基础上建立起来的函数的基础上建立起来的.。第11页，共118页，编辑于2022年，星期一2.3 传递函数 2.3.1 传递函数 在在零零初初始始条条件件下下，线线性性定定常常系系统统输输出出量量的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换与与输输入入量量的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换之之比比，定定义义为为线线性性定定常常系系统的传递函数。统的传递函数。即，即，第12页，共118页，编辑于2022年，星期一若已知线性定常系统的微分方程为若已知线性定常系统的微分方程为 式中c(t)为输出量，r(t)为输入量。设设c(t)和和r(t)及及其其各各阶阶导导数数初初始始值值均均为为零零，对对上上式式取取拉氏变换，得拉氏变换，得 第13页，共118页，编辑于2022年，星期一则系统的传递函数为或写为传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。第14页，共118页，编辑于2022年，星期一2.3.2 传递函数的特点1.作作为为一一种种数数学学模模型型，传传递递函函数数只只适适用用于于线线性性定定常常系系统统，这这是是由由于于传传递递函函数数是是经经拉拉普普拉拉斯斯变变换换导导出出的的，而而拉氏变换是一种线性积分运算。拉氏变换是一种线性积分运算。2.2.传传递递函函数数是是以以系系统统本本身身的的参参数数描描述述的的线线性性定定常常系系统统输输入入量量与与输输出出量量的的关关系系式式，它它表表达达了了系系统统内内在在的的固固有有特特性性，只只与与系系统统的的结结构构、参参数数有有关关，而而与与输输入入量量或或输输入入函数的形式无关。函数的形式无关。第15页，共118页，编辑于2022年，星期一3.传传递递函函数数可可以以是是无无量量纲纲的的，也也可可以以是是有有量量纲纲的的，视视系系统统的的输输入入、输输出出量量而而定定，它它包包含含着着联联系系输输入入量量与与输输出出量量所所必必须须的的单单位位，它它不不能能表表明明系系统统的的物物理理特特性性和和物物理理结结构构。许许多多物物理理性性质质不不同同的的系系统统，有有着着相相同同的的传传递递函函数数，正正如如一一些些不不同同的的物物理理现象可以用相同的微分方程描述一样。现象可以用相同的微分方程描述一样。4.传传递递函函数数只只表表示示单单输输入入和和单单输输出出(SISO)之之间间的的关关系系，对多输入多输出对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。系统，可用传递函数阵表示。第16页，共118页，编辑于2022年，星期一5.传递函数式可表示成传递函数式可表示成 式式中中p1，p2pn为为分分母母多多项项式式的的根根，称称为为传传递递函函数数的的极极点点；z1、z2、zn为为分分子子多多项项式式的的根根，称称为为传递函数的零点；传递函数的零点；第17页，共118页，编辑于2022年，星期一6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为传递函数分母多项式称为特征多项式，记为而而D(s)=0称称为为特特征征方方程程。传传递递函函数数分分母母多多项项式式的的阶阶次次总是大于或等于分子多项式的阶次，即总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。第18页，共118页，编辑于2022年，星期一2.3.3 典型环节的传递函数 控控制制系系统统由由许许多多元元件件组组合合而而成成，这这些些元元件件的的物物理理结结构构和和作作用用原原理理是是多多种种多多样样的的，但但抛抛开开具具体体结结构构和和物物理理特特点点，从从传传递递函函数数的的数数学学模模型型来来看看，可可以以划划分分成成几几种种典典型型环环节节，常常用用的的典典型型环环节节有有比比例例环环节节、惯惯性性环环节节、积积分分环环节节、微微分分环环节节、振振荡荡环环节节、延延迟迟环节等。环节等。第19页，共118页，编辑于2022年，星期一 复杂一些的元件，其数学模型可以是几个典型复杂一些的元件，其数学模型可以是几个典型环节的数学模型组合，而一个复杂的系统的数学模环节的数学模型组合，而一个复杂的系统的数学模型也无非是一些典型环节的数学模型组合而成。型也无非是一些典型环节的数学模型组合而成。因此从分析和综合系统的角度来看，按数学模因此从分析和综合系统的角度来看，按数学模型来划分环节，更能抓住事物的本质。型来划分环节，更能抓住事物的本质。在介绍典型环节的传递函数前，先补充算子阻在介绍典型环节的传递函数前，先补充算子阻抗法。补充算子阻抗法的目的是为了便于推导所举抗法。补充算子阻抗法的目的是为了便于推导所举典型环节的物理原型的传递函数。典型环节的物理原型的传递函数。第20页，共118页，编辑于2022年，星期一 设电阻设电阻R的输入信号是流过电阻的电流的输入信号是流过电阻的电流,输输出信号是电阻两端的电压出信号是电阻两端的电压,如下图所示如下图所示:则则对其两边进行拉氏变换对其两边进行拉氏变换,得得:从而从而 称称R为电阻的为电阻的算子阻抗。算子阻抗。第21页，共118页，编辑于2022年，星期一 设电容设电容C的输入信号是流过电容的电流的输入信号是流过电容的电流,输出信号是输出信号是电容两端的电压电容两端的电压,如下图所示如下图所示,则则设初始条件为零，对上式两边进行拉氏变换设初始条件为零，对上式两边进行拉氏变换得得:称称称称为电容的算子阻抗为电容的算子阻抗.第22页，共118页，编辑于2022年，星期一设电感设电感L的输入信号是流过电感的电流的输入信号是流过电感的电流,输出信号是输出信号是电感两端的电压电感两端的电压,如下图所示如下图所示,则则设初始条件为零设初始条件为零,对上式两边进行对上式两边进行拉氏变换拉氏变换,得得:称称Ls为电感的算子阻抗为电感的算子阻抗.第23页，共118页，编辑于2022年，星期一由式由式(21)，(22)，(23)可见可见电阻的性质电阻的性质,从而电路中电容和电感串联或并联连从而电路中电容和电感串联或并联连接时接时,就与电阻的串联或并联的运算方法一样。就与电阻的串联或并联的运算方法一样。都具有都具有第24页，共118页，编辑于2022年，星期一1.比例环节比例环节 环环节节输输出出量量与与输输入入量量成成正正比比，不不失失真真也也无无时时间间滞滞后后的的环环节节称称为为比比例例环环节节，也也称称无无惯惯性性环环节节。输输入入量量与与输输出出量之间的表达式为量之间的表达式为c(t)=Kr(t)比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 式中式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。为常数，称为比例环节的放大系数或增益。第25页，共118页，编辑于2022年，星期一2.惯性环节惯性环节(非周期环节非周期环节)惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程 其传递函数为其传递函数为 式中式中 T 惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数 K 惯性环节的增益或放大系数惯性环节的增益或放大系数 第26页，共118页，编辑于2022年，星期一当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 第27页，共118页，编辑于2022年，星期一惯惯性性环环节节实实例例很很多多，如如图图所所示示的的R-L网网络络，输输入入为为电电压压u，输输出出为为电电感感电电流流i，其其传递函数传递函数式中式中 第28页，共118页，编辑于2022年，星期一2.积分环节积分环节 输输出出量量正正比比于于输输入入量量的的积积分分的的环环节节称称为为积积分分环环节节，其动态特性方程其动态特性方程 其传递函数其传递函数 式中式中Ti为积分时间常数。为积分时间常数。第29页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型积分环节的单位阶跃响应为积分环节的单位阶跃响应为 它它随随时时间间直直线线增增长长，当当输输入入突突然然消消失失，积积分分停停止止，输输出出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。第30页，共118页，编辑于2022年，星期一上上图图为为运运算算放放大大器器构构成成的的积积分分环环节节，输输入入ui(t)，输输出出u0(t)，其传递函数为其传递函数为 式中式中Ti=RC 第31页，共118页，编辑于2022年，星期一4.微分环节理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程其传递函数式中Td称微分时间常数它的单位阶跃响应曲线第32页，共118页，编辑于2022年，星期一5.二阶振荡环节(二阶惯性环节)二阶振荡环节的动态方程为其传递函数式中为无阻尼自然振荡角频率，为阻尼比，在后面时域分析中将详细讨论。第33页，共118页，编辑于2022年，星期一图中所示为RLC网络，输入为ui(t)、输出u0(t)，其动态特性方程其传递函数式中第34页，共118页，编辑于2022年，星期一 2.4 方框图 在在控控制制工工程程中中，为为了了便便于于对对系系统统进进行行分分析析和和设设计计，常常将将各各元元件件在在系系统统中中的的功功能能及及各各部部分分之之间间的的联联系系用用图图形形来来表表示示，即即方方框框图图和和信号流图。信号流图。第35页，共118页，编辑于2022年，星期一2.4.1方框图 方方框框图图也也称称方方块块图图或或结结构构图图，具具有有形形象象和和直直观观的的特特点点。系系统统方方框框图图是是系系统统中中各各元元件件功功能能和和信信号号流流向向的的图图解解，它它清清楚楚地地表表明明了了系系统统中中各各个个环环节节间间的的相相互互关关系系。构构成成方方框框图图的的基基本本符符号号有有四四种种，即即信信号号线线、比比较较点点、传传递递环环节节的方框和引出点。的方框和引出点。第36页，共118页，编辑于2022年，星期一第37页，共118页，编辑于2022年，星期一2.4.2系统方框图的构成 对对于于一一个个系系统统在在清清楚楚系系统统工工作作原原理理及及信信号号传传递递情情况况下下，可可按按方方框框图图的的基基本本连连接接形形式式，把把各各个个环环节节的方框图，连接成系统方框图。的方框图，连接成系统方框图。第38页，共118页，编辑于2022年，星期一2.4.2系统方框图的构成对对于于一一个个系系统统在在清清楚楚系系统统工工作作原原理理及及信信号号传传递递情情况况下下，可可按按方方框框图图的的基基本本连连接接形形式式，把把各各个个环环节节的的方方框框图，连接成系统方框图。图，连接成系统方框图。第39页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型例例2-5 图图中中为为一一无无源源RC网网络络。选选取取变变量量如如图图所所示示，根根据电路定律，写出其微分方程组为据电路定律，写出其微分方程组为 第40页，共118页，编辑于2022年，星期一第41页，共118页，编辑于2022年，星期一零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得 第42页，共118页，编辑于2022年，星期一RC网络方框图各环节方框图第43页，共118页，编辑于2022年，星期一例例:一一RC网络如下图所示网络如下图所示,画出它的结构图画出它的结构图.画结构图的过程为画结构图的过程为:1.列写出列写出S域的代数方程组域的代数方程组2.由代数方程组画结构图由代数方程组画结构图.第44页，共118页，编辑于2022年，星期一2.4.3环节间的连接环节的连接有串联、并联和反馈三种基本形式。环节的连接有串联、并联和反馈三种基本形式。1.串串联联：在在单单向向的的信信号号传传递递中中，若若前前一一个个环环节节的的输输出出就就是是后后一一个个环环节节的的输输入入，并并依依次次串串接接，这这种种联联接接方方式称为串联。式称为串联。第45页，共118页，编辑于2022年，星期一即即环环节节串串联联后后总总的的传传递递函函数数等等于于串串联联的的各各个个环环节节传传递递函函数数的乘积。的乘积。环节的串联环节的串联n个环节串联后总的传递函数个环节串联后总的传递函数:第46页，共118页，编辑于2022年，星期一2.并并联联:若若各各个个环环节节接接受受同同一一输输入入信信号号而而输输出出信信号号又又汇汇合合在在一一点点时时，称称为为并联。并联。如图所示。由图可知如图所示。由图可知 总的传递函数为环节的并联第47页，共118页，编辑于2022年，星期一3.反反馈馈：若若将将系系统统或或环环节节的的输输出出信信号号反反馈馈到到输输入入端端，与与输输入入信信号号相相比比较较，就就构构成成了了反反馈馈连连接接，如如图图所所示示。如如果果反反馈馈信信号号与与给给定定信信号号极极性性相相反反，则则称称负负反反馈馈连连接接。反反之之，则为正反馈连接，若反馈环节则为正反馈连接，若反馈环节H(s)=1称为单位反馈。称为单位反馈。反馈连接第48页，共118页，编辑于2022年，星期一反反馈馈连连接接后后，信信号号的的传传递递形形成成了了闭闭合合回回路路。通通常常把把由由信信号号输输入入点点到到信信号号输输出出点点的的通通道道称称为为前前向向通通道道；把把输输出出信信号反馈到输入点的通道称为反馈通道。号反馈到输入点的通道称为反馈通道。对对于于负负反反馈馈连连接接，给给定定信信号号r(t)和和反反馈馈信信号号b(t)之之差差，称为偏差信号称为偏差信号e(t)即即 第49页，共118页，编辑于2022年，星期一通通常常将将反反馈馈信信号号B(s)与与误误差差信信号号E(s)之之比比，定定义义为开环传递函数，即为开环传递函数，即 开环传递函数开环传递函数=第50页，共118页，编辑于2022年，星期一输输出出信信号号C(s)与与偏偏差差信信号号E(s)之之比比，称称为为前前向向通通道道传传递函数，即递函数，即 前向通道传递函数前向通道传递函数=第51页，共118页，编辑于2022年，星期一而而系系统统输输出出信信号号C(s)与与输输入入信信号号R(s)之之比比称称为为闭闭环传递函数，记为环传递函数，记为(s)或或GB(s)。第52页，共118页，编辑于2022年，星期一得闭环传递函数为得闭环传递函数为 对于正反馈连接，则闭环传递函数为对于正反馈连接，则闭环传递函数为 第53页，共118页，编辑于2022年，星期一2.4.4方框图的变换和简化有有了了系系统统的的方方框框图图以以后后，为为了了对对系系统统进进行行进进一一步步的的分分析析研研究究，需需要要对对方方框框图图作作一一定定的的变变换换，以以便便求求出出系系统的闭环传递函数。方框图的变换应按等效原则进行。统的闭环传递函数。方框图的变换应按等效原则进行。所所谓谓等等效效，即即对对方方框框图图的的任任一一部部分分进进行行变变换换时时，变换前、后输入输出总的数学关系式应保持不变。变换前、后输入输出总的数学关系式应保持不变。第54页，共118页，编辑于2022年，星期一2.4.4方框图的变换和简化 除除了了前前面面介介绍绍的的串串联联、并并联联和和反反馈馈连连接接可可以以简简化化为为一一个个等等效效环环节节外外，还还有有信信号号引引出出点点及及比比较较点点前前后移动的规则。后移动的规则。第55页，共118页，编辑于2022年，星期一 对于一个闭环控制系统对于一个闭环控制系统,不管其结构图多么复杂不管其结构图多么复杂,总总可通过一些等效变换的方法可通过一些等效变换的方法,把它简化成上面三种基本形式把它简化成上面三种基本形式,从而求出它的从而求出它的传递函数。传递函数。下面介绍五种常用的下面介绍五种常用的等效变换法则。等效变换法则。（1）信号引出点后移）信号引出点后移（2）信号引出点前移）信号引出点前移（3）信号比较点后移）信号比较点后移（4）信号比较点前移）信号比较点前移（5）信号比较点交换或合并）信号比较点交换或合并第56页，共118页，编辑于2022年，星期一(1)信号引出点后移信号引出点后移(2)信号引出点前移信号引出点前移第57页，共118页，编辑于2022年，星期一(3)信号比较点后移信号比较点后移（4）信号比较点前移）信号比较点前移第58页，共118页，编辑于2022年，星期一(5)信号比较点交换或合并信号比较点交换或合并第59页，共118页，编辑于2022年，星期一例例 2-7化 简图(a)所 示系统方框图，并求系统传递函数第60页，共118页，编辑于2022年，星期一例例2-7化简图(a)所示系统方框图，并求系统传递函数第61页，共118页，编辑于2022年，星期一第62页，共118页，编辑于2022年，星期一 图2-37(a)是一个交错反馈多路系统，采用引出点后移或前移，比较点前移等，逐步变换简化，可求得系统的闭环传递函数为例例2-8 试化简如图2-37(a)所示系统的方框图，并求闭环传递函数。第63页，共118页，编辑于2022年，星期一图2-37方框图的变换与简化第64页，共118页，编辑于2022年，星期一返回第65页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型 2.5 信号流图 信信号号流流图图是是表表示示线线性性方方程程组组变变量量间间关关系系的的一一种种图图示示方方法法，将将信信号号流流图图用用于于控控制制理理论论中中，可可不不必必求求解解方方程程就就得得到到各各变变量量之之间间的的关关系系，既既直直观观又又形形象象。当当系系统统方方框框图图比比较较复复杂杂时时，可可以以将将它它转转化化为为信信号号流流图图，并并可可据据此此采采用用梅梅逊逊(Mason)公公式式求求出出系系统的传递函数。统的传递函数。第66页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型节点：表示变量或信号的点，用节点：表示变量或信号的点，用“”表示。表示。支路：连接两个节点之间的有向有权线段，方向支路：连接两个节点之间的有向有权线段，方向 用箭头表示，权值用传输函数表示。用箭头表示，权值用传输函数表示。输入支路：指向节点的支路。输入支路：指向节点的支路。输出支路：离开节点的支路。输出支路：离开节点的支路。源节点：只有输出支路的节点，也称输入节点源节点：只有输出支路的节点，也称输入节点。汇节点：只有输入支路的节点，如图节点汇节点：只有输入支路的节点，如图节点。第67页，共118页，编辑于2022年，星期一信号流图定义与术语混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点，混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点，如图中的如图中的X2、X3、X4、X5、X6。通道通道(路径路径)：沿着支路箭头方向通过各个相连支路：沿着支路箭头方向通过各个相连支路 的路径，并且每个节点仅通过一次。的路径，并且每个节点仅通过一次。如如X1到到X2到到X3到到X4。第68页，共118页，编辑于2022年，星期一前向通道：从输入节点(源节点)到汇节点的通道。如图X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7为一条前向通道，又如X1到X2到X3到X5到X6到X7也为另一条前向通道。闭通道(反馈通道或回环)：通道的起点就是通道的终点，如图X2到X3又反馈到X2；X4到X5又反馈到X4。自回环：单一支路的闭通道，如图中的-H3构成自回环。第69页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型通道传输或通道增益：沿着通道的各支路传输的乘积。如从X1到X7前向通道的增益G1G2G3G4G5G6。不接触回环：如果一些回环没有任何公共的节点，称它们为不接触回环。如G2H1与G4H2。第70页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型2.5.4信号流图的性质（1）信号流图只适用于线性系统；）信号流图只适用于线性系统；（2）信信号号流流图图所所依依据据的的方方程程式式，一一定定为为因因果果函函数数形形式式的的代数方程；代数方程；（3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；第71页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型2.5.4信号流图的性质（4）节节点点上上可可把把所所有有输输入入支支路路的的信信号号叠叠加加，并并把把总总和和信号传送到所有输出支路；信号传送到所有输出支路；（5）具具有有输输入入和和输输出出支支路路的的混混合合节节点点，通通过过增增加加一一个个具具有单位传输的支路，可把其变为输出节点，即汇节点；有单位传输的支路，可把其变为输出节点，即汇节点；（6）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。第72页，共118页，编辑于2022年，星期一 以前以前,我们已学过动态系统的结构图，那时采用结我们已学过动态系统的结构图，那时采用结构图简化法则将复杂的结构图简化为便于求出系统传构图简化法则将复杂的结构图简化为便于求出系统传递函数的简单的结构图。现在，可将结构图转化为信递函数的简单的结构图。现在，可将结构图转化为信号流图，再用梅逊公式求出系系统的传递函数。号流图，再用梅逊公式求出系系统的传递函数。2.5.5信号流图的绘制第73页，共118页，编辑于2022年，星期一 将结构图转化为信号流图时,应注意以下几点：(1)结构图中的输入信号应作为信号流图中的源节点;(2)结构图中的输出信号应作为信号流图中的汇节点;(3)结构图中信号加减点的输出应作为信号流图中的一个节点;2.5.5信号流图的绘制第74页，共118页，编辑于2022年，星期一 将结构图转化为信号流图时,应注意以下几点：(4)结构图中信号取出点应作为信号流图中的一个节点,当结构图中的输出信号线上也有信号取出点时,汇节点变成混合节点,此时应将这一混合节点增加一条单位传输支路,使这一混合节点变为汇节点。2.5.5信号流图的绘制第75页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章 线性系统的数学模型 例例:由给出的结构图绘制成信号流图由给出的结构图绘制成信号流图解解:确定节点确定节点.依次画出节点依次画出节点.用支路连接各节点用支路连接各节点.第76页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型2.5.6信号流图的增益公式给定系统信号流图之后，常常希望确定信号流图中输入变量与输出变量之间的关系，即两个节点之间的总增益或总传输。上节采用结构图简化规则，逐渐简化，最后得到总增益或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而梅逊(Mason)公式可以对复杂的信号流图直接求出系统输出与输入之间的总增益，或传递函数，使用起来更为方便。第77页，共118页，编辑于2022年，星期一梅逊增益公式可表示为式中，T 输出和输入之间的增益或传递函数；Pk 第k条前向通道的增益或传输函数；信号流图的特征值，Lj1所有不同回环增益之和；Lj2所有两两互不接触回环增益乘积之和；Lj3所有三个互不接触回环增益乘积之和k 与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的，称为第k条前向通道特征式的余子式。第78页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型例例2-11利用梅逊公式求图中所示系统的传递函数 C(s)/R(s)。第79页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型解解：输入量R(s)与输出量C(s)之间有三条前向通道，对应Pk与k为P1=G1G2G3G4G51=1P2=G1G6G4G52=1P3=G1G2G7G53=1P4=-G1G6G2G7G54=1第80页，共118页，编辑于2022年，星期一图中有五个单回环，其增益为：L1=-G3H2，L2=-G5H1，L3=-G2G3G4G5H3，L4=-G6G4G5H3，L5=-G2G7G5H3，其中L1与L2是互不接触的，其增益之积L1L2=G3G5H1H2第81页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型系统的特征式为系统的传递函数为第82页，共118页，编辑于2022年，星期一例例2:由给出的结构图绘制成信号流图由给出的结构图绘制成信号流图,并由信号流图用并由信号流图用梅逊增益公式求传递函数梅逊增益公式求传递函数.解解:确定节点确定节点.依次画出节点依次画出节点.用支路连接各节点用支路连接各节点.第83页，共118页，编辑于2022年，星期一由信号流图用梅逊增益公式求传递函数由信号流图用梅逊增益公式求传递函数.上图中有两条前向通道上图中有两条前向通道,故故n=2,即即第84页，共118页，编辑于2022年，星期一所以所以第85页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型例例2-12求图示信号流图的闭环传递函数解解：系统单回环有：L1=G1，L2=G2，L3=G1G2，L4=G1G2，L5=G1G2系统的特征式为：第86页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型前向通道有四条：P1=-G11=1 P2=G22=1 P3=G1G23=1 P4=G1G24=1系统的传递函数为返回第87页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型2.6 在MATLAB中数学模型的表示 控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相当重要的,在线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等,而这些模型之间又有着某些内在的等效关系。MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变系统(Linear TimeInvariant简记为LTI)。第88页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型2.6.1传递函数单输入单输出线性连续系统的传递函数为其中mn。G(s)的分子多项式的根称为系统的零点,分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零,得系统的特征方程:D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0第89页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型 因传递函数为多项式之比,所以我们先研究MATLAB是如何处理多项式的。MATLAB中多项式用行向量表示,行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数,例如多项式P(s)=s3+2s+4,其输入为P=1024注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为C=conv(A,B)第90页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型例如给定两个多项式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式A(s)和B(s),然后再调用conv()函数来求C(s)A=1,3;B=10,20,3；C=conv(A,B)C=1050639即得出的C(s)多项式为10s3+50s2+63s+9第91页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型MATLAB提供的conv()函数的调用允许多级嵌套,例如G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的语句来输入G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4)第92页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型 有了多项式的输入,系统的传递函数在MATLAB下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来,其格式为sys=tf(num,den)其中num为分子多项式，den为分母多项式num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；第93页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型对于其它复杂的表达式,如可由下列语句来输入num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den)Transferfunction:第94页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型2.6.2传递函数的特征根及零极点图 传递函数G(s)输入之后,分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统的零极点,MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用格式为roots(p)其中p为多项式。第95页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型例如,多项式p(s)=s3+3s2+4p=1,3,0,4;%p(s)=s3+3s2+4r=roots(p)%p(s)=0的根r=-3.35330.1777+1.0773i0.1777-1.0773i 反过来,若已知特征多项式的特征根,可调用MATLAB中的poly()函数,来求得多项式降幂排列时各项的系数,如上例poly(r)p=1.00003.00000.00004.0000第96页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型 而polyval函数用来求取给定变量值时多项式的值,其调用格式为polyval(p,a)其中p为多项式;a为给定变量值例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5时值：n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5)value=66第97页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型p,z=pzmap(num,den)其中,p传递函数G(s)=numden的极点z传递函数G(s)=numden的零点例如,传递函数传递函数在复平面上的零极点图,采用pzmap()函数来完成,零极点图上,零点用“。”表示,极点用“”表示。其调用格式为第98页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型 用MATLAB求出G(s)的零极点,H(s)的多项式形式,及G(s)H(s)的零极点图numg=6,0,1;deng=1,3,3,1;z=roots(numg)z=0+0.4082i00.4082i%G(s)的零点p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i1.0000+0.0000i%G(s)的极点1.0000+0.0000i第99页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i;d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2);denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)numh/denh=%H(s)表达式pzmap(num,den)%零极点图title(pole-zeroMap)第100页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型零极点图如图所示：第101页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型2.6.3 控制系统的方框图模型 若已知控制系统的方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。1.串联串联如图所示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series()来求G1(s)G2(s),其调用格式为num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：第102页，共118页，编辑于2022年，星期一第2章线性系统的数学模型2.并联并联如图所示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB的并联函数parallel()来实现,其调